基于对称约化的偏微分方程相似解研究

李晓燕+张成

摘 要： 由于非线性系统的复杂性，对于其求解问题的研究目前还没有通用的方法，为了丰富非线性系统的求解方法，在此通过偏微分方程的决定方程确定点对称无穷小生成元，结合对称约化中的非经典Lie群法得到热方程新的相似解，并基于符号计算系统Maple给出相应的符号计算方法和实现步骤。结果表明，该算法能够有效求解PDEs的相似解，并且不需要显示地求解对应于不变曲面条件的特征方程，同时也适用于其他的发展方程。

关键词： 偏微分方程； 对称约化； 非经典Lie群法； 相似解

中图分类号： TN911?34； O175.2 文献标识码： A 文章编号： 1004?373X（2014）22?0027?03

Study on similarity solution of partial differential equations based on symmetry reduction

LI Xiao?yan， ZHANG Cheng

（Network Information Center， Yanan University， Yanan 716000， China）

Abstract： Because of the complexity of nonlinear systems， the general method to solve the systems has not been found. In order to enrich the method for solving nonlinear systems， the point symmetry infinitesimal generator was determined by the decision equations of partial differential equations， and the new similarity solution of a heat conduction equation was obtained in combination with the non?classical Lie group approach in the symmetry reduction. The corresponding symbolic computation method and implementation steps are given according to the symbolic computation system Maple. The results demonstrate the method can solve the similarity solutions of PDEs effectively without the need to solve the characteristic equation corresponding to the invariant curved surface. It can also be applied to other evolution equations.

Keywords： partial differential equation； symmetry reduction； non?classical Lie group approach； similarity solution

0 引 言

近年来，在自然科学、工程技术及社会科学等众多领域相继获得了大量具有实际物理背景的偏微分方程。作为复杂物理现象的数学模型，研究偏微分方程的解能够揭示许多重要现象的本质及其动态演化过程，新的精确解和数值解还可以帮助人们发现新的非线性现象及规律，这引起了科学家的极大关注。寻找偏微分方程孤立子解及精确解的方法也随之蓬勃发展起来，如经典和非经典Lie群法[1?3]、CK直接法[4]、反散射方法（IST）[5]，Hirota双线性方法[6]， B?cklund变换法[7]， Tanh函数法[8]等。

本文基于符号计算系统Maple，提出用决定方程确定无穷小生成元的方法，结合非经典Lie群法得到热传导方程新的相似解，从而验证了该方法在求解偏微分方程中的有效性。

1 方法简介

考虑[m]阶偏微分方程

[P（x，u，ui，…）=0， x∈Rn] （1）

（其中：[ui≡?u?xi]）和不变曲面条件

[P1（x，u，ui，…）=i=1nξi（x，u）ui-η（x，u）=0] （2）

在单参数Lie群变换

[x′=x+εξ（x，t，u）+ο（ε2）t′=t+ετ（x，t，u）+ο（ε2）u′=u+εη（x，t，u）+ο（ε2）] （3）

下不变的性质。不变曲面条件式（2）表明解曲面在具有无穷小生成子

[X=i=1nξi（x，u）??xi+η（x，u）??u] （4）

参数Lie群变换（3）下是不变的。相应的对称条件是：

[X[m]PP=0?P1=0=0X[1]P1P=0?P1=0=0] （5）

2 应用举例

考虑热方程

[ut=uxx] （6）

热传导方程（或称热方程）是一个重要的偏微分方程，它可以描述热量的传导过程、分子扩散过程等物理现象[9?13]。

热方程式（6）的点对称无穷小成元为：

[X=ξx，t，u??x+τx，t，u??t+ηx，t，u??u] （7）

在热方程中，[x，t]为自变量，[u]为因变量，可知其二阶延拓为：

[pr2v=v+?x??ux+?t??ut+?xx??uxx+?xt??uxt+?tt??utt] （8）

式中：

由等式左右两端对应项系数相等，得到热方程对称群的决定方程如下：

[uxuxt： 0=-2τu] （11）

[u2xx： -τu=-τu] （12）

[uxt： 0=-2τx] （13）

[u2xuxx： 0=-τuu] （14）

[u3x： 0=-ξuu] （15）

[uxuxx： ξu=-2τxu-3ξu] （16）

[u2x： 0=?uu-2ξxu] （17）

[uxx： ?u-τt=-τxx+?u-2ξx] （18）

[ux： -ξt=2?xu-ξxx] （19）

[1： ?t=?xx] （20）

在决定方程中，由[uxuxt]和[uxt]的系数可知[τ]仅仅是关于[t]的函数；由[uxuxx]系数知[ξ]不依赖于[u]；由[uxx]系数知[τt=2ξx]，因此知[ξ]具有形式：

[ξx，t=12τtx+σt]

这里[σt]仅仅关于[t]的函数；由[u2x]的系数知，[?]与[u]线性相关，具有形式：

[?x，t，u=βx，tu+αx，t]

由[ux]系数知[ξt=-2βx]，将此式与[ξx，t]结合来看，易知[β]是关于[x]的二次函数：

[β=-18τttx2-12σtx+ρt]

由式（20）知函数[α]和[β]都是热方程的解：

[αt=αxx， βt=βxx]

通过[β]的函数形式以及[βt=βxx]可以计算得出：

[τttt=0， σtt=0， ρt=-14τtt]

综合以上分析，[τ]是关于[t]的二次函数，[σ]是[t]的线性函数，通过[ρ，σ]和[τ]直接得到[ξ]和[?]的公式，满足了所有的决定方程，可以得出热方程最一般的无穷小对称具有以下系数形式：

[ξ=c1+c4x+2c5t+4c6xtτ=c2+2c4t+4c6t2?=c3-c5x-2c6t-c6x2u+αx，t]

式中：[c1～c6]为任意常数；[αx，t]为热方程的任意解。因而，热方程具有的点对称生成元为：

[X1=?xX2=?tX3=u?uX4=x?x+2t?tX5=2t?x-xu?uX6=4tx?x+4t2?t-x2+2tu?u] （21）

考虑无穷小生成子[X6]（参数为[c6]），通过解一阶常微分方程组的初值问题：

[dx*dε=4x*t*，dt*dε=4t*2]

[du*dε=-x*2+2t*u*]

且[u*=u，x*=x，t*=tε=0]。借助符号计算软件Maple反解上式可得相应的单参数Lie点变换群

[x*=Xx，t，u；ε=x1-εtt*=Tx，t，u；ε=t1-εtu*=Ux，t，u；ε=1-εtexp-εx241-εtu]

下面用直接代入法，根据[X6]作用下热方程的不变性，求它的相似解[u=Θx，t]。

第一步：将不变曲面条件

[4xtux+4t2ut=-x2+2tu] （22）

表示为[ut]的可解形式 ：

[ut=-xtux-x24t2+12tu]（23） 第二步：利用Maple将式（23）代入热方程式（6），得到ODE：

[uxx+xtux+x24t2+12tu=0] （24）

式中[t]是参数。参数化ODE（14）的通解为

[u=At+Btxe-x24t] （25）

式中[At]，[Bt]为任意常数。

第三步：将式（25）代入不变曲面条件式（22），得到：

[A′t+12tAt+B′t+32tBtxe-x24t=0]

因而有：

[A′t+12tAt=0B′t+32tBt=0]

从而产生源于[X6]作用下式（6）的不变性的PDE（6）的相似解为：

[u=Θx，t=1tC1+C2xte-x24t] （26）

3 结 论

偏微分方程相似解的有效方法主要有经典Lie群变换法、非经典Lie群法、CK直接变换法。较其他方法而言，非经典Lie群法计算量更大、更复杂，但它有可能求出不同于经典Lie群变换法、CK直接变换法的新相似解。本文在前人工作的基础上，运用非经典Lie群法，借助符号计算软件Maple进行快速高效地计算，避免了复杂繁冗的手工计算，得到的结果丰富了热传导方程方程的相似解。这种方法也适用于其他的发展方程（组），这对于以后研究发展方程有一定的意义。

参考文献

[1] BLUMAN G W， ANCO S C. Symmetry and integration methods for differential equations [M]. New York： Springer?Verlag， 2002.

[2] BLUMANAND G W， COLE J D. Similarity method for differential equations [M]. New York： Springer?Verlag， 1974.

[3] OVSIANNIKOV L V. Group analysis of differential equations [M]. New York： Academic Press， 1982.

[4] CLARKSON P A， KRUSKAL M D. New similarity reductions of the Boussinesq [J]. Journal of Math Phys， 1989， 30（10）： 2201?2213.

[5] ABLOWITZ M. J， CLARKSON P A. Solitons， nonlinear evolution equations and inverse scattering [M]. UK： Cambridge University Press， 1991.

[6] HIROTA R. Exact solution of the Korteweg?de Vries equation for multiple collisions of solitons [J]. Physical Review Letters， 1971， 27： 1192?1194.

[7] MIURA M R. Backlund transformation [M]. Berlin： Springer?Verlag， 1987.

[8] WAZWAZ Abdul?Majid. The tanh method and a variable separated ODE method for solving double sine?Gordon equation [J]. Physics Letters A， 2006， 350： 367?370.

[9] OLVER P J. Applications of Lie groups to differential equations [M]. New York： Springer， 1993.

[10] 郭华，郑丽霞，白银.几个非线性偏微分方程的非古典对称及相似解[J].动力学与控制学报，2009（4）：289?292.

[11] 刘汉泽.基于李对称分析的偏微分方程精确解的研究[D].昆明：昆明理工大学，2009.

[12] 郭玉翠.非线性偏微分方程引论[M].北京：清华大学出版社，2008.

[13] 楼森岳，唐晓艳.非线性数学物理方法[M].北京：科学出版社，2006.

式中：

由等式左右两端对应项系数相等，得到热方程对称群的决定方程如下：

[uxuxt： 0=-2τu] （11）

[u2xx： -τu=-τu] （12）

[uxt： 0=-2τx] （13）

[u2xuxx： 0=-τuu] （14）

[u3x： 0=-ξuu] （15）

[uxuxx： ξu=-2τxu-3ξu] （16）

[u2x： 0=?uu-2ξxu] （17）

[uxx： ?u-τt=-τxx+?u-2ξx] （18）

[ux： -ξt=2?xu-ξxx] （19）

[1： ?t=?xx] （20）

在决定方程中，由[uxuxt]和[uxt]的系数可知[τ]仅仅是关于[t]的函数；由[uxuxx]系数知[ξ]不依赖于[u]；由[uxx]系数知[τt=2ξx]，因此知[ξ]具有形式：

[ξx，t=12τtx+σt]

这里[σt]仅仅关于[t]的函数；由[u2x]的系数知，[?]与[u]线性相关，具有形式：

[?x，t，u=βx，tu+αx，t]

由[ux]系数知[ξt=-2βx]，将此式与[ξx，t]结合来看，易知[β]是关于[x]的二次函数：

[β=-18τttx2-12σtx+ρt]

由式（20）知函数[α]和[β]都是热方程的解：

[αt=αxx， βt=βxx]

通过[β]的函数形式以及[βt=βxx]可以计算得出：

[τttt=0， σtt=0， ρt=-14τtt]

综合以上分析，[τ]是关于[t]的二次函数，[σ]是[t]的线性函数，通过[ρ，σ]和[τ]直接得到[ξ]和[?]的公式，满足了所有的决定方程，可以得出热方程最一般的无穷小对称具有以下系数形式：

[ξ=c1+c4x+2c5t+4c6xtτ=c2+2c4t+4c6t2?=c3-c5x-2c6t-c6x2u+αx，t]

式中：[c1～c6]为任意常数；[αx，t]为热方程的任意解。因而，热方程具有的点对称生成元为：

[X1=?xX2=?tX3=u?uX4=x?x+2t?tX5=2t?x-xu?uX6=4tx?x+4t2?t-x2+2tu?u] （21）

考虑无穷小生成子[X6]（参数为[c6]），通过解一阶常微分方程组的初值问题：

[dx*dε=4x*t*，dt*dε=4t*2]

[du*dε=-x*2+2t*u*]

且[u*=u，x*=x，t*=tε=0]。借助符号计算软件Maple反解上式可得相应的单参数Lie点变换群

[x*=Xx，t，u；ε=x1-εtt*=Tx，t，u；ε=t1-εtu*=Ux，t，u；ε=1-εtexp-εx241-εtu]

下面用直接代入法，根据[X6]作用下热方程的不变性，求它的相似解[u=Θx，t]。

第一步：将不变曲面条件

[4xtux+4t2ut=-x2+2tu] （22）

表示为[ut]的可解形式 ：

[ut=-xtux-x24t2+12tu]（23） 第二步：利用Maple将式（23）代入热方程式（6），得到ODE：

[uxx+xtux+x24t2+12tu=0] （24）

式中[t]是参数。参数化ODE（14）的通解为

[u=At+Btxe-x24t] （25）

式中[At]，[Bt]为任意常数。

第三步：将式（25）代入不变曲面条件式（22），得到：

[A′t+12tAt+B′t+32tBtxe-x24t=0]

因而有：

[A′t+12tAt=0B′t+32tBt=0]

从而产生源于[X6]作用下式（6）的不变性的PDE（6）的相似解为：

[u=Θx，t=1tC1+C2xte-x24t] （26）

3 结 论

偏微分方程相似解的有效方法主要有经典Lie群变换法、非经典Lie群法、CK直接变换法。较其他方法而言，非经典Lie群法计算量更大、更复杂，但它有可能求出不同于经典Lie群变换法、CK直接变换法的新相似解。本文在前人工作的基础上，运用非经典Lie群法，借助符号计算软件Maple进行快速高效地计算，避免了复杂繁冗的手工计算，得到的结果丰富了热传导方程方程的相似解。这种方法也适用于其他的发展方程（组），这对于以后研究发展方程有一定的意义。

参考文献

[1] BLUMAN G W， ANCO S C. Symmetry and integration methods for differential equations [M]. New York： Springer?Verlag， 2002.

[2] BLUMANAND G W， COLE J D. Similarity method for differential equations [M]. New York： Springer?Verlag， 1974.

[3] OVSIANNIKOV L V. Group analysis of differential equations [M]. New York： Academic Press， 1982.

[4] CLARKSON P A， KRUSKAL M D. New similarity reductions of the Boussinesq [J]. Journal of Math Phys， 1989， 30（10）： 2201?2213.

[5] ABLOWITZ M. J， CLARKSON P A. Solitons， nonlinear evolution equations and inverse scattering [M]. UK： Cambridge University Press， 1991.

[6] HIROTA R. Exact solution of the Korteweg?de Vries equation for multiple collisions of solitons [J]. Physical Review Letters， 1971， 27： 1192?1194.

[7] MIURA M R. Backlund transformation [M]. Berlin： Springer?Verlag， 1987.

[8] WAZWAZ Abdul?Majid. The tanh method and a variable separated ODE method for solving double sine?Gordon equation [J]. Physics Letters A， 2006， 350： 367?370.

[9] OLVER P J. Applications of Lie groups to differential equations [M]. New York： Springer， 1993.

[10] 郭华，郑丽霞，白银.几个非线性偏微分方程的非古典对称及相似解[J].动力学与控制学报，2009（4）：289?292.

[11] 刘汉泽.基于李对称分析的偏微分方程精确解的研究[D].昆明：昆明理工大学，2009.

[12] 郭玉翠.非线性偏微分方程引论[M].北京：清华大学出版社，2008.

[13] 楼森岳，唐晓艳.非线性数学物理方法[M].北京：科学出版社，2006.

式中：

由等式左右两端对应项系数相等，得到热方程对称群的决定方程如下：

[uxuxt： 0=-2τu] （11）

[u2xx： -τu=-τu] （12）

[uxt： 0=-2τx] （13）

[u2xuxx： 0=-τuu] （14）

[u3x： 0=-ξuu] （15）

[uxuxx： ξu=-2τxu-3ξu] （16）

[u2x： 0=?uu-2ξxu] （17）

[uxx： ?u-τt=-τxx+?u-2ξx] （18）

[ux： -ξt=2?xu-ξxx] （19）

[1： ?t=?xx] （20）

在决定方程中，由[uxuxt]和[uxt]的系数可知[τ]仅仅是关于[t]的函数；由[uxuxx]系数知[ξ]不依赖于[u]；由[uxx]系数知[τt=2ξx]，因此知[ξ]具有形式：

[ξx，t=12τtx+σt]

这里[σt]仅仅关于[t]的函数；由[u2x]的系数知，[?]与[u]线性相关，具有形式：

[?x，t，u=βx，tu+αx，t]

由[ux]系数知[ξt=-2βx]，将此式与[ξx，t]结合来看，易知[β]是关于[x]的二次函数：

[β=-18τttx2-12σtx+ρt]

由式（20）知函数[α]和[β]都是热方程的解：

[αt=αxx， βt=βxx]

通过[β]的函数形式以及[βt=βxx]可以计算得出：

[τttt=0， σtt=0， ρt=-14τtt]

综合以上分析，[τ]是关于[t]的二次函数，[σ]是[t]的线性函数，通过[ρ，σ]和[τ]直接得到[ξ]和[?]的公式，满足了所有的决定方程，可以得出热方程最一般的无穷小对称具有以下系数形式：

[ξ=c1+c4x+2c5t+4c6xtτ=c2+2c4t+4c6t2?=c3-c5x-2c6t-c6x2u+αx，t]

式中：[c1～c6]为任意常数；[αx，t]为热方程的任意解。因而，热方程具有的点对称生成元为：

[X1=?xX2=?tX3=u?uX4=x?x+2t?tX5=2t?x-xu?uX6=4tx?x+4t2?t-x2+2tu?u] （21）

考虑无穷小生成子[X6]（参数为[c6]），通过解一阶常微分方程组的初值问题：

[dx*dε=4x*t*，dt*dε=4t*2]

[du*dε=-x*2+2t*u*]

且[u*=u，x*=x，t*=tε=0]。借助符号计算软件Maple反解上式可得相应的单参数Lie点变换群

[x*=Xx，t，u；ε=x1-εtt*=Tx，t，u；ε=t1-εtu*=Ux，t，u；ε=1-εtexp-εx241-εtu]

下面用直接代入法，根据[X6]作用下热方程的不变性，求它的相似解[u=Θx，t]。

第一步：将不变曲面条件

[4xtux+4t2ut=-x2+2tu] （22）

表示为[ut]的可解形式 ：

[ut=-xtux-x24t2+12tu]（23） 第二步：利用Maple将式（23）代入热方程式（6），得到ODE：

[uxx+xtux+x24t2+12tu=0] （24）

式中[t]是参数。参数化ODE（14）的通解为

[u=At+Btxe-x24t] （25）

式中[At]，[Bt]为任意常数。

第三步：将式（25）代入不变曲面条件式（22），得到：

[A′t+12tAt+B′t+32tBtxe-x24t=0]

因而有：

[A′t+12tAt=0B′t+32tBt=0]

从而产生源于[X6]作用下式（6）的不变性的PDE（6）的相似解为：

[u=Θx，t=1tC1+C2xte-x24t] （26）

3 结 论

偏微分方程相似解的有效方法主要有经典Lie群变换法、非经典Lie群法、CK直接变换法。较其他方法而言，非经典Lie群法计算量更大、更复杂，但它有可能求出不同于经典Lie群变换法、CK直接变换法的新相似解。本文在前人工作的基础上，运用非经典Lie群法，借助符号计算软件Maple进行快速高效地计算，避免了复杂繁冗的手工计算，得到的结果丰富了热传导方程方程的相似解。这种方法也适用于其他的发展方程（组），这对于以后研究发展方程有一定的意义。

参考文献

[1] BLUMAN G W， ANCO S C. Symmetry and integration methods for differential equations [M]. New York： Springer?Verlag， 2002.

[2] BLUMANAND G W， COLE J D. Similarity method for differential equations [M]. New York： Springer?Verlag， 1974.

[3] OVSIANNIKOV L V. Group analysis of differential equations [M]. New York： Academic Press， 1982.

[4] CLARKSON P A， KRUSKAL M D. New similarity reductions of the Boussinesq [J]. Journal of Math Phys， 1989， 30（10）： 2201?2213.

[5] ABLOWITZ M. J， CLARKSON P A. Solitons， nonlinear evolution equations and inverse scattering [M]. UK： Cambridge University Press， 1991.

[6] HIROTA R. Exact solution of the Korteweg?de Vries equation for multiple collisions of solitons [J]. Physical Review Letters， 1971， 27： 1192?1194.

[7] MIURA M R. Backlund transformation [M]. Berlin： Springer?Verlag， 1987.

[8] WAZWAZ Abdul?Majid. The tanh method and a variable separated ODE method for solving double sine?Gordon equation [J]. Physics Letters A， 2006， 350： 367?370.

[9] OLVER P J. Applications of Lie groups to differential equations [M]. New York： Springer， 1993.

[10] 郭华，郑丽霞，白银.几个非线性偏微分方程的非古典对称及相似解[J].动力学与控制学报，2009（4）：289?292.

[11] 刘汉泽.基于李对称分析的偏微分方程精确解的研究[D].昆明：昆明理工大学，2009.

[12] 郭玉翠.非线性偏微分方程引论[M].北京：清华大学出版社，2008.

[13] 楼森岳，唐晓艳.非线性数学物理方法[M].北京：科学出版社，2006.