挖掘内涵 由此及彼

卜文静

用方程解决实际问题是数学的一个重要部分. 尤其是用一元二次方程解应用题，一般情况下会出现两个解，这两个解是否都符合题意（实际情况），我们怎样才能做到准确判断、加以取舍，针对这点我们将探讨一些具有代表性的题目，以帮助同学们攻克这个难关.

一、 由题目条件检验根的合理性

例1 值教师节来临之际，某学校决定为老师换一批新的办公桌，厂家的收费标准是：如果购买的套数不超过25套，每套的价钱为1 000元，若是超过25套，每多出一套，每套的价格将降低20元，但是每套的价格不得低于700元. 现在学校为购买办公桌准备了27 000元，请问该学校将会为老师购买多少套办公桌？

【分析】设购买x套办公桌. 看到题目首先要判断学校购买的办公桌是否超过25套，因为1 000×25=25 000<27 000，所以购买的办公桌数量一定超过25套. 由题意得每套办公桌的费用降低了20（x-25）元，每套办公桌实际的费用为[1 000-20（x-25）]元. 然后找等量关系列出方程.

解：设学校将为老师购买x套办公桌.

因为1 000×25=25 000<27 000，所以购买的办公桌的数量一定超过25套.

由题意得：[1 000-20（x-25）]x=27 000.

整理得 x2-75x+1 350=0.

解之得 x1=45，x2=30.

当x1=45时，1 000-20（x-25）=600<700，故舍去；

当x2=30时，1 000-20（x-25）=900>700，符合题意.

答：学校将为老师购买30套办公桌.

【点评】该题目中的两个解的取舍是由题意中的限制条件确定的（每套的价格不得低于700元），所以做题目时同学们一定要认真读题.

变式题1 某机械厂加工了一批零件，零件的成本是50元，如果每件按60元出售，那么可以卖出800件；假如每件都提价出售，那么每提价1元销售量将会减少20件. 现在机械厂预算要获取12 000元的利润，则每件的售价应定为多少元？工厂需要加工多少件零件？

二、 挖掘隐含条件检验根的合理性

例2 某家电公司2012年的各项经营收入中，经营等离子彩电的收入为600万元，占全年经营总收入的40%，该公司预计2014年经营总收入要达到2 160万元，且计划从2012年到2014年，每年经营总收入的年增长率相同，问2013年预计经营总收入为多少万元？

【分析】增长率问题是一元二次方程的一个典型问题. 关键是掌握公式，增长率公式：初期数×（1+增长率）n=末期数. 该题目的初期数为600÷40%=1 500（万元），末期数为2 160万元，设出平均每年的增长率x，然后直接代入公式即可.

解：设每年平均增长率为x.

由题意得：（1+x）2=2 160，

解之得：x1=0.2=20%，x2=-2.2=-220%（舍去）.

当x=20%时，

×（1+20%）=1 800（万元）.

答：2013年预计经营收入1 800万元.

变式题2 （2014·安徽省）据报道，我省农作物秸秆的资源巨大，但合理利用量十分有限，2006年的利用率只有30%，大部分秸秆被直接焚烧了.假定我省每年产出的农作物秸秆总量不变，且合理利用量的增长率相同，要使2008年的利用率提高到60%，求每年的增长率. （取≈1.41）

三、 根据题目要求将根合理取舍

例3 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元. 为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件.

（1） 若商场平均每天要盈利1 200元，每件衬衫应降价多少元？

（2） 每件衬衫降价多少元，商场平均每天盈利最多？

【分析】此题属于经营问题，若设每件衬衫应降价x元，则每件所得利润为（40-x）元，但每天多售出2x件，即售出件数为（20+2x）件，因此每天赢利为（40-x）（20+2x）元，进而可根据题意列出方程求解.

解：（1） 设每件衬衫应降价x元，

根据题意得（40-x）（20+2x）=1 200，

整理得2x2-60x+400=0，

解得x1=20，x2=10.

因为要“尽量减少库存”，在获利相同的条件下，降价越多，销售越快，故每件衬衫应降20元.

答：每件衬衫应降价20元.

（2） 设商场平均每天赢利y元，则

y=（20+2x）（40-x）

=-2x2+60x+800

=-2[（x-15）2-625]

=-2（x-15）2+1 250.

∴当x=15时，y取最大值，最大值为1 250.

答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天赢利最多，最大利润为1 250元.

【点评】（1） 当降价20元和10元时，每天都赢利1 200元，但降价10元不满足“尽量减少库存”，所以做题时应认真审题，不能漏掉任何一个条件；

（2） 用配方法将代数式变形，转化为一个完全平方式与一个常数的和或差的形式是解决此类问题的一种常用方法.

变式题3 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利45元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件，若商场平均每天要盈利2 100元，每件衬衫应降价多少元？