三维大气污染反应扩散方程模型*

陈英杰，刘玉良，刘 萍

(哈尔滨师范大学)

0 引言

随着现代工业和交通运输的发展，人类向大气中持续排放的污染物数量越来越多，种类越来越复杂，使得污染问题变得日趋严重［1－3］，引起大气成分发生急剧的变化.当大气正常成分之外的物质达到对人类健康、动植物生长以及气象气候产生危害的时候，就说大气受到了污染.大气污染源就是大气污染物的来源，主要有以下三个:工业是大气污染的一个重要来源;生活炉灶与采暖锅炉;汽车、火车、飞机、轮船烧煤或石油产生的废气也是重要的污染物.随着空气质量的恶化，雾霾天气现象出现增多，危害加重.譬如2013年10月21日，哈尔滨正式开始供暖，由于供暖导致燃煤污染物排放量增加，哈尔滨遭遇了严重的雾霾天气，多区域空气污染指数“爆表”，哈尔滨气象台持续发布雾霾橙色警报，其中，早上7时PM2.5指数已达872 μg/m3.哈尔滨部分区域的能见度不足20 m.恶劣天气致使学校停课、机场关闭，部分公共交通线路停运.因此，大气污染事故危害预测是应急的关键难题［4］.而大气污染受到世界各国学者的普遍关注，国内外的专家和学者从不同的角度进行了大量的基础研究，但是大多以某一具体的地区作为考察点，结合实际数据的测量得到污染状况等结论［5－6］.该文则是以空间三维污染为研究对象进行了污染的模型模拟，利用边值条件应用分离变量法求出了解析解.

图1 哈尔滨雾霾天气图

1 模型的假设及建立

为了更加真实的模拟出大气污染的情况，考虑污染物的扩散对大气的影响，建立三维大气污染模型［7］

进行模拟.这里N(x，y，z)为有害污染物的浓度，D1、D2、D3分别是 x、y、z轴方向上的扩散系数，K为吸收衰减系数且K ＞0，(μ，ν，w)是不变的风向量，θ(x，y，z，t)是(x，y，z)在t时刻单位体积单位时间污染物的排放量.假设任取空间一闭曲面S所围区域为τ，有害污染物在大气中吸收衰减.t≥ 0，x，y，z:x ∈［0，L1］，y ∈［0，L2］，z∈［0，L3］.由重积分的意义知道，通过S从t到t+Δt时间内流入τ的污染物质量为:

其中cosα、cosβ、cosγ是S的外法向余弦.由高斯公式得:

由于吸收衰减，在t到t+Δt时间内τ内污染物质减少量为:

由于空气流动，污染物随风从t到t+Δt时间内飘动流出S的质量为:

其中(μ，υ，ω)是不变的风向量，由高斯公式得:

由S内从t到t+Δt时间内共排放出污染物质量为:

从另一个角度看，由于浓度变化引起的τ内质量增加量为:

由质量守恒定律得:

由Δt，t，τ的任意性得大气污染的数学模型为:

为方便起见，令

边值条件为:

假设污染源在t=0时刻，且为瞬间点源，污染点在(x，y，z)=(l1，l2，l3)处，同时假设整个大气中没有其它污染物，设

这里

这样得到一个完整的线性偏微分方程组:

2 模型的求解

对方程组(1)应用分离变量的方法求解，假设

有

λ为一常数，这样，就得到一个以t为自变量的方程和一个以x，y，z为自变量的方程:

由Dirichlet边值条件得到方程组:

对方程组(2)继续应用分离变量的方法求解，假设

那么有

设 λ +K= λ1+λ2+λ3，再由Dirichlet边值条件得到方程组

综上求解为

又由 Vm(t)=eλmt，其中

因此模型解为

其中

3 结论与展望

大气污染是世界头号环境治理难题.国内外众多学者对各种大气污染情况进行了大量的模拟计算，并取得了丰硕的成果，对大气污染的防治起到了重要作用.该文以2013年10月份哈尔滨雾霾天气事故为背景进行了大气污染的模拟，根据情况应用三维反应扩散方程模型进行此次事故的模拟，并且该文的模拟还考虑了污染物的衰减情况，在构造模型时加入了衰减项进行研究，更加符合实际情况.在求解三维反应扩散方程模型时，根据模型情况和边值条件应用变量分离法求解方程.将定解问题的解表示成单变量函数之积，代入偏微分方程化为带参数的常微分方程，进而求出了解析解，令污染的预测更加接近真实情况.

大气污染模型具有广泛的研究前景，还有许多问题有待研究.如果技术条件允许、数据充分，可以进一步讨论有化学反应项的模型，那么可以更加精确的预测大气污染物的浓度变化，从而在制定防范措施时达到更好的效果.

［1］ 刘永红，余志，田丰，等.一种线源扩散模型的建立及算法实现［J］.环境科学与技术，2006，29(10):13－ 15.

［2］ 陈柳，马广大.小波分析应用于大气污染物浓度的预报［J］.环境科学与技术，2006，29(11):43 － 45.

［3］ 李松炳，汪丽华.开发区外场中距离大气扩散模式对城区影响研究［J］.环境科学与技术，2004，27(4):49－51.

［4］ 密保秀，李金龙.大气环境质量预测模型研究［J］.环境科学究，1997，10(5):39 －42.

［5］ Gokhale S，Khare M.A hybrid Model for predicting carbon monoxide from ve－hicular exhausts in urban environments［J］.Atmosphe ric Environment，2005，39:4025 －4040.

［6］ Varotsos C，Kondratyev K，Efstathiou M.On the seasonal variation of the surface ozone inathens［J］.Greece Atmospheric Environment，2001，35(2):315 －320.

［7］ 李树文，史建武，等.近地面大气污染模拟模型的建立与应用研究［D］.河北工程大学，2007.