基于简化梯度法的电力系统无功优化方法

【摘要】电力系统无功优化是保证电网安全、经济运行的一项有效手段，是降低网络损耗、提高电压质量的重要措施。无功优化的经典法算法理论严密、收敛速度快，但对无功优化问题的微分性质要求严格，而且往往容易陷入局部最优解，而基于随机搜索的现代人工智能算法可以对原问题直接进行搜索求解，具有良好的自适应性，且能以较大概率收敛到全局最优解。无功优化主要考虑在结构参数、负荷和电源给定的情况下，通过改变变压器分接头位置、无功补偿的最佳容量和发电机机端电压大小来进行。本文对无功优化模型及相关求解算法进行了深入研究，详细介绍了国内外无功优化现状，给出了电力系统无功优化的基本数学模型，综述了应用于电力系统无功优化问题求解的各种优化算法，并分析了各种优化算法的优缺点和适用范围。文中以有功网损最小作为电力系统无功优化模型的目标函数，并给出了简化梯度法求解该无功优化模型的具体方法。

【关键词】电力系统;无功优化;潮流计算;简化梯度法

1.引言

无功电压控制一直是电力系统的重要研究内容。电力系统无功电压控制可降低有功网损，提高电能质量，是维持正常电压水平，提高经济效益的有效手段。

李婧等人在文献[1]中对经典的规划算法进行了分类，包括了线性规划方法、非线性规划方法、混合整数规划方法和动态规划方法。

其中，线性规划方法是相对比较成熟的一种方法，代表算法有灵敏度算法、内点法等，其算法普遍有着收敛可靠，计算速度较快，并且对各种约束条件的处理简单等优点，但是在实际问题中，对于一些非线性规划，必须对目标函数进行线性化处理，这就必然造成优化误差大，需要进行潮流计算以修正，这也限制了其计算效率的提高;非线性规划方法有牛顿优化法、简化梯度法等，其算法一般能建立比较直观的数学模型，并且计算精度高，但是这些算法不同程度存在着计算量大，计算内存需求大，收敛差，稳定性不好，并且对不等式的处理存在一定的困难等问题，因此其运用也受到一定的限;混合整数规划方法能有效地解决变量的离散性问题，可是其计算时间是属于非多项式类型，随着维数的增加，计算时间甚至会爆炸性地增加;而动态规划方法能有效解决多阶段决策过程的最优解问题，但是其出现的因状态变量个数增加而出现的“维数灾”问题，很大程度地限制了其运用[1]。

由于传统优化算法所存在的一些弊端，近年来，各类人工智能方法在电力系统无功电压控制问题中得到了广泛的应用，具体包括：遗传算法、禁忌搜索和模擬退火算法，以及比较新的一些算法，包括：模糊优化、免疫算法、蚁群寻优算法、人工鱼群算法、粒子群算法以及这些算法的组合方法等。其中，遗传算法就是其中一种应用面很广的一种算法。

遗传算法（（Genetic Algorithms，GA）最早由美国密执根（Michigan）大学的Holland教授于20世纪70年代提出并逐步发展起来的。作为一种模拟生物进化过程的方法，遗传算法具有对非线性和复杂问题的全局搜索能力及其简单通用、鲁棒性强、可避免维数灾、占用内存少的显著特点，但其跳出局部最优的能力较差，对大型电力系统进行优化时所需时间较长。

由于遗传算法本身所具有的一些缺点，很多学者都对其进行了改进。

文献[2]就提出了参数的自适应性的改进方案，引入了自适应调整策略修改交叉概率和变异概率等主要参数，并应用了典型函数中去，提高了算法的计算速度和优化结果，但是策略的引入，使得算法过于复杂赘长。

文献[3]提出了一种灾变遗传算法（Catastrophic Genetic Algorithm，CGA），灾变遗传算法（Catastrophic Genetic Algorithm，CGA）以其良好的全局寻优能力，以及在保持解的多样性等方面的优势在电力系统中得到广泛应用。但灾变GA缺乏对局部搜索能力和收敛性能的考虑，其开拓能力提高的同时也增大了算法的随机性和降低了算法的稳定性。

文献[4]则提出了一种协同进化算法，对比一般的遗传算法，协同算法可对控制变量进行合理的种群划分，对较大规模的系统求解能有效地跳出局部最优点而寻找更好的优化解。

从以上算法可知，经典算法物理概念清晰，易于理解，但是过度依赖于精确的数学模型难以实现现代电网实时控制要求。人工智能算法对目标函数和约束条件要求不多，可以对问题直接搜索寻优，但潮流迭代次数高，计算量大。

2.电力系统无功优化的基本数学模型

电力系统无功优化是一个连续变量与离散变量共存的、多约束、非线性的混合规划问题。众多学者在总结电力系统无功优化问题的特点，建立一个比较成熟的基本数学模型。这个基本数学模型的建立主要分为三步，分别是建立目标函数、制定约束条件和确定优化算法。

2.1 目标函数

在我们进行电力系统优化前，我们必须先建立此次电力系统无功优化的目标。在满足电力系统运行的约束下，根据电力系统优化侧重点不同，我们优化的目标函数也是多种多样。我们通常选择的目标函数如下：

①各节点的电压质量，即以各节点电压幅值与其额定电压幅值之差的平方和最小作为目标函数。这样就能保证各节点电压保持在额定值附近，使电力系统络运行得更平稳和安全。

②电力系统最小的有功损耗，即以电力系统各线路线损之和最小作为目标函数。这样减少供电成本，提高电力系统的经济效益。

③无功补偿装置投资最小。

④变压器分接头和电容器投切数目最少。

⑤综合考虑以上几项或全部作为目标函数。

选以上哪一类目标函数更为合适，就应该根据电力系统络运行情况和现实要求。若电力系统络供电负荷是高精度机器加工厂，我们就应该选择以各节点的电压质量为目标函数。而当电力系统络中无功容量充足并且运行安全，则选择最小的有功损耗为目标函数。

而在本文中，我们先假设在电力系统络中无功容量充裕并且运行的安全性有保证，则可以选择最小的有功损耗为目标函数。在极坐标下，有：

式中，PL为系统网损，nl为电力系统络的总支路数;Gk（i，j）为对应支路i-j的电导;Ui、Uj分别为节点i、j的电压幅值;δi、δj分别为节点i、j的电压相位。

2.2 约束条件

2.2.1 等式约束

先假定一个任意电网络，它共有n个节点，其中前m个节点是PQ节点，第m+1～n-1号节点是PV节点，最后一个节点是平衡节点。功率约束等式约束如下式：

2.2.2 不等式约束

电力系统无功优化中，PQ节点无功补偿量Qci、PQ节点电压幅值Vi、发电机无功出力QGi、可调变压器变比Ti和发电机机端电压VGi都有其上下限。其约束条件如下：

（1）所有节点电压满足上下限约束：

（2）所有电源节点的有功功率和无功功率必须满足：

（3）某些节点之间的电压的相位差满足：

（4）PQ节点的无功补偿量以及可调变压器变比满足：

其中，nT为可调变压器的个数。

综上所述，电力系统无功优化基本数学模型：

式中，u为控制变量，包括PQ节点无功补偿量Qci、发电机无功出力QGi、可调变压器变比Ti和发电机机端电压VGi。x为状态变量，包括PQ节点电压幅值Vi。g（u，x），h（u，x）分别为上文提到的等式约束和不等式约束。

3.基于简化梯度法的电力系统无功优化

3.1 电力系统无功优化的潮流计算

在电力系统无功优化过程中，我们可以发现无论使用任何一种算法，都必须多次进行潮流计算，并且在最后优化结果分析中，我们也常常需要优化前的初始潮流与优化后潮流进行比较，分析算法优缺点，判定最后结果是否正确。故潮流计算是进行电力系统无功优化的基础。目前，基本的潮流算法包含高斯-塞德尔法、快速解耦法和牛顿-拉夫逊法。在本文我们采用极坐标下的牛顿-拉夫逊法，因为极坐标下的牛顿-拉夫逊法计算速度快，收敛性好，而且它的雅可比矩阵具有稀疏性。在电力系统无功优化过程中，如果电力系统络的变压器分接头发生改变，则其雅可比矩阵也会发生变化。由于它的稀疏性，我们只需要改变原来雅可比矩阵部分参数就可以，无形中减少计算量。

3.2 功率方程以及节点分类

电力系统潮流计算的基本方程为：

其中，Si，Pi和Qi分别是节点i的注入的视在功率，有功功率和无功功率，Vi为节点i的电压，Yij为节点导纳矩阵对应的元素，n为系统节点数。上式为非线性方程，在系统网络参数确定的前提下，令：

或

可知，式中，每个节点都含有ei，fi，Pi，Qi或Vi，δi，Pi，Qi，共4n个变量，而将公式实部和虚部分离，共有2n个方程。因此，要根据公式求解系统的电压、功率状态，对于每个节点，必须给定中两个变量，而留下另外两个作为待求变量，方程才可以求解。一般而言，潮流计算最直接的目的是求出网络中所有母线的电压，其他量可用之求取。

根据每个节点已知变量的类型，潮流计算中将系统节点分为以下几种节点类型：

●PQ节点

此类节点的节点注入有功功率P和无功功率Q是给定的，待求变量为e，f或V，δ。通常变电所都是这一类型的节点。这类节点一般都没有发电设备，故其发电功率为零。但是在有些情况下，系统中某些发电厂送出的功率在一定的时间内为固定时，该发电厂也可以作为PQ节点。因此，电力系统中的绝大多数节点属于这一类型。

此外，网络中还有一类既不接发电机，又没有负荷的联络节点（亦称浮游节点），也可以当作PQ节点，其中P=Q=0。

●PV节点

此类节点的节点注入有功功率P和电压幅值V是给定的，待求变量为δ（或e，f），Q可在潮流收敛后求得。这类节点必须有充足的可调无功容量，用以维持给定的电压幅值，因而又称为电压控制节点。一般是选择有一定无功储备的发电厂和具有可调无功电源设备的变电所作为PV节点。一般，在电力系统中，这一类节点的数目很少。

此類节点中，如果节点注入无功功率越限而失去无功调节能力，在潮流计算中，将转换为PQ节点，其注入无功功率为无功功率的边界值。

●平衡节点（Vδ节点）

此类节点的节点电压幅值V和电压相角δ是给定的，不用求解，P和Q可待潮流收敛后求取。在潮流收敛之前，系统的网损是未知的，故有功功率不平衡，需要有一个节点的有功功率P不能给定，用以承担系统的有功功率平衡（即承担系统的网损）。同时，系统必须选定一个节点，作为系统节点电压相角的参考。在电力系统中，平衡节点就承担了这样的角色，习惯上称为平衡节点。在潮流计算中，平衡节点只有一个，一般选择主调频发电厂作为平衡节点比较合理。或者，为了提高导纳矩阵潮流程序的收敛性，也可以选择出现最多的发电厂作为平衡节点。

3.3 极坐标下的牛顿-拉夫逊法

假定一个n节点的电力系统，前m号节点为PQ节点，第m+1～n-1号节点为PV节点，第n号节点为平衡节点。平衡节点的Vn和δn是给定的，PV节点的电压幅值Vm+1～Vn-1也是给定的。因此，未知量有 n-1个节点的电压相角δ1，δ2，…，δn-1和m个节点的电压幅值V1，V2，…，Vm。

极坐标下的功率方程有：

式中δij=δi-δj，是i、j两节点电压的相位差。因此，对于前n-1号节点（即所有PQ节点和所有PV节点）都可以列写一个有功功率不平衡量方程式：

而对于第m+1～n-1号节点（即所有PQ节点）还可以再列写一个无功功率不平衡量方程式：

修正方程式如下：

式中：

H是（n-1）×（n-1）阶方阵，N是（n-1）×m阶矩阵，K是m×（n-1）阶矩阵，L是m×m阶方阵。雅克比矩阵元素表达式如下：

当i≠j时：

当i=j时：

图1

最后求解修正方程得到修正量，再将修正变量代入有功功率和无功功率不平衡量方程式，判断是否收敛。如果不收敛，就用新的一组数据再次代入计算。反之，就退出循环，输出潮流结果。总结牛顿-拉夫逊法运用过程，我们可以设计出一个潮流计算程序框图，表示如图1所示。

3.4 简化梯度法在电力系统无功优化中运用

简单梯度法是Dommel和Tinney于1968年提出的在无功优化领域中第一个比较成功的实用算法。作为非线性规划法的一种，简单梯度法同样是利用罚函数和拉格朗日乘子矢量代入目标函数，建立拉格朗日函数，将有约束的非线性规划问题转化为无约束非线性规划问题，然后简化梯度法就等同于无约束非线性问题的最速下降法。而最速下降法基本思想是求出拉格朗日函数在迭代点最快下降方向，并以这个方向进行寻找最优解，进而使拉格朗日函数值达到最优。又因为拉格朗日函数下降最快的方向就是其负梯度方向，故我们把此法称为梯度法。

简化梯度法主要有以下几步：

（1）将不等式约束引入目标函数。用罚函数将函数不等式约束引入目标函数f（x，u），建立增广目标函数F（x，u），有：

式中co是越限函数下标集合，Sj为惩罚因子，hj lim为上、下限约束常数向量。

（2）用拉格朗日乘子矢量λ将等式约束条件引入增广目标函数F（x，u），建立拉格朗日函数，有：

这样，就把最优潮流问题转化为求取上式的拉各朗日函数的极值问题。即找一组合适的x，u，λ使上式取到极大值或极小值。

（3）用经典函数求极值的方法求解。先是拉格朗日函数L对u和x求偏导，有：

令：

=0

则可得：

在此处，拉格朗日函数L取得极值。回代到式子：

得到拉各朗日函数对控制变量的梯度：

即：

最后就按照梯度法求解，便可以得到各个控制变量的数值。

总的来说，简化梯度法简单直观，在初始点选择上没有严格要求，在进行迭代计算时，在开始阶段目标函数值下降比较快，一般只需少数几次迭代计算即可得到优化解。但是，当接近最优解时，梯度曲线存在锯齿现象，在最优解附近收敛相当缓慢，同时由于控制变量中一些分量的变动与另一些分量变动同样比例所引起的目标函数值的变化很不相同，这易使目标函数的Hessian矩阵的条件数（Hessian矩阵的最大最小特征值之比）较大，进一步使得算法的收敛性变坏;另一方面，其状态变量维数较高，意味着每次迭代用牛顿拉夫逊法解算潮流的工作量较大。另外，无功优化问题不仅是非线性的，而且它的变量也是离散的、多约束的，在进行梯度计算时可能力不从心，每进行一次迭代计算都需要进大量的梯度计算，而对一个非连续的、变量离散的目标函数来说，梯度的意义似乎不大。因此，梯度法在电力系统无功优化中的应用受到了很大的限制。

简化梯度法自被提出来后，虽然存在很多问题，但是一直都被运用于电力系统无功优化。同时，国内外学者也对简化梯度法进行研究和改进，取得了一定的成就，如简化共轭梯度法。简化共轭梯度法是简化梯度法和共轭梯度法组合起来的算法，有二阶收敛性，即在在初始点远离极小点时下降的速度比简化梯度法还要快。

当逼近最优解时，目标函数的形态近似于二次函数，这时运用共轭梯度法就可以减少计算。另外，简化共轭梯度法可以再取近似最优解的点作为初始点，重新进行迭代，从而减小了误差的积累。

基于简化梯度法的无功优化计算的程序框图如图2所示：

图2

4.算例分析

4.1 IEEE六节点算例数学模型建立

表1 IEEE六节点系统各支路阻抗数据

图3 IEEE六节点系统接线图

表2 IEEE六节点系统节点数据

如图3所示，IEEE六节点系统是电力系统的一小部分。其中第1～4號节点PQ节点，第5号节点为PV节点，而第6号节点为平衡节点。令第1～4号节点为无功补偿点，补偿容量分别为Qc1，Qc2，Qc3，Qc4，并以变压器T1和T2为可调的变压器（具有1±4×2.5%分接头），其变比用T1和T2表示。故此次无功优化的控制变量有Qc1，Qc2，Qc3，Qc4，T1和T2;由于此系统可调的无功功率充足且运行安全性有保证，仅选择最小有功损耗作为目标函数。

4.2 优化结果与分析

由于实际中两个控制量（变压器变比和无功补偿容量）是离散量，但在程序设计中，是当作连续量进行计算的。所以应该在用简化梯度法算出优化结果后，再根据实际情况，选择和计算结果最接近的实际可选量，然后再计算一次潮流，得出最后优化结果。用简化梯度法算出Qc1=0.0707、Qc2=0.1370、Qc3=0.0643、Qc4=0.0506，T1=1.0567、T2=1.0575。假如无功补偿是分组的并且每组容量是0.005，故第1～4号节点的补偿组数是14组、27组、13组、10组。而实际中，变压器T1、T2都具有抽头为1±4×2.5%，故T1、T2分别取1.050、1.050。综合以上分析，我们可以得到电力系统实际运行中的优化结果是Qc1=0.0700、Qc2=0.1350、Qc3=0.0650、Qc4=0.0500、T1=1.050、T2=1.050。

然后，把上述值代入潮流程序里计算，得出最终优化结果如表3所示：

表3 最终优化结果

变量名称 上限值 下限制 初始潮流 优化结果

变压器

变比 T1 1.10 0.90 1.100 1.050

T2 1.10 0.90 1.025 1.050

无功补偿容量 Qc1 0.100 0 0.000 0.0707

Qc2 0.150 0 0.000 0.1350

Qc3 0.100 0 0.000 0.0650

Qc4 0.100 0 0.000 0.0500

发电机

无功出力 QG2 1.00 -0.20 0.2109 0.1357

节点电压 V1 1.00 0.90 0.9084 0.9382

V2 1.00 0.90 0.9115 0.9533

V3 1.00 0.90 0.9859 0.9925

V4 1.00 0.90 0.9198 0.9628

V5 —— 1.1000 1.1000

V6 —— 1.0000 1.0000

有功网损 —— 0.1064 0.0939

由表3可见，最小有功网损由初始潮流的为0.1064，经优化后为0.0939。而优化后控制变量和状态变量的值都在限制范围内，符合要求，各PV节点电压比优化前电压更接近额定值，发电机QG2无功出力减少，由原来的0.2109变为0.1357。此结果表明，此次电力系统无功优化基本上达到减少有功网损的目标，并提高了负荷点的电压质量，无功优化取得实效。

与其他无功优化文献的优化结果比较，一些文献的优化结果可达0.0885，甚至更低。究其原因，应为算法本身并不相同，更重要的因为是本文的控制变量只有变压器变比和无功补偿容量，而其他文献控制量为不仅有变压器变比和无功补偿容量，还有发电机机端电压。而控制变量越多无疑使整个优化结果变得更好。当然各种算法优化效果也不尽相同。

图4

从算法收敛性上看，算法迭代次数为34次，在开始阶段，收敛曲线几乎呈线性下降，下降速度非常快。随着迭代次数的增加，其下降速度越来越小，最大梯度绝对值向0逼近。当迭代到第十五次时，最大梯度绝对值已很接近收敛值，即0。这就是说，简化梯度法在初始点远离极小点时，开头几步下降是比较快的。这证明了简化梯度发起步阶段收敛速度快的优点。但此后要经过34次的迭代才满足收敛值，这说明简化梯度法在最优解附近收敛相当缓慢的缺点。

5.结论

根据对电力系统的无功优化计算和结果分析，可以得到：简化梯度法解算电力系统无功优化，其微分计算方面要求严格，当状态变量维数越高时，简化梯度法每次迭代用牛顿拉夫逊法求解潮流计算的工作量越大。另外，和一般梯度法一样，简化梯度法虽然从局部看，每次迭代目标函数值下降最快，但从全局看，该法存在锯齿现象，特别是在最优解附近收敛非常慢。算法中控制量要求是连续量，这跟现实中控制量往往是离散量的实际情况不符。故在应用简化梯度法时，我们先把离散控制变量当做连续控制变量，然后再把优化结果按照实际情况修正。另外，罚因子的值和步长的选取对函数的收敛性有很大的影响，并且一维搜索步长确定较为困难。基于随机搜索的现代人工智能算法不需要建立精确的数学模型，可以对原问题直接进行搜索求解，具有良好的自适应性，且能以较大概率收敛到全局最优解。如能将简化梯度法和人工智能法相互结合，互相取长补短，应可形成一种优秀的算法。

参考文献

[1]李婧，李俊儒，刘玲.电力系统无功优化的模型及算法的综述[J].中国电力教育，2007（z2）：131-133.

[2]张一倩.遗传算法的自适应改进及在无功优化问题中的应用研究[D].山东：山东大学，2009，4.

[3]张勇军，任震，钟红梅，唐卓尧，尚春.基于灾变遗传算法的无功规划优化[J].电力系统自动化，2002，26（23）：29-32.

[4]王建学，王锡凡，陈皓勇，王秀丽.基于协同进化法的电力系统无功优化[J].中国电机工程学报，2004，24（9）：124-129.

[5]王德人编.非线性方程组解法与最优化方法[M].人民教育出版社，1979，6.

[6]刘学东.火力发电企业安全性评价体系的建设及应用[D].山东工业大学，2007.

[7]雷亚洲.随机规划理论在风电并网系统分析中的应用研究[D]，中国电力科学研究院，2001.10率综合优化一二次規划法[J].中国电机工程学报.1986，6（5）：40-47.

[8]李劲波.熊观佐.一种无功优化有效算法[J].武汉水利电力学院学报，1992，25（3）：278-284.

[9]方述诚.线性优化及扩展——理论与算法[M].北京：科学出版社，1994.

[10]刘明波，程劲晖.电力系统无功综合优化的线性规划内点法[M].电力系统及其自动化学报，1999，11（6）：88-92.

[11]李乃湖.计及整型控制变量的电压-无功功率优化[M].电力系统自动化，1994，18（12）：5-11.

[12]文福栓，韩祯祥.人工神经元网络模型的无功电源最优分布及经济调度[J].中国电机工程学报，1992，12（3）：20-28.

[13]马晋韬，杨以涵.遗传算法在电力系统无功优化中的应用[J].中国电机工程学报，1995，15（5）：347-353.

[14]刘源棋，张航，刘玉田等.地区电网无功优化[J].山东工业大学学报.2000，30（5）：401-407.

[15]万耀青等编.最优化计算方法常用程序汇编[M]，工人出版社，1983.

[16]Back T，Fiammel U，Schwefel H P.Evolutionary computation： comments on the history and current state[J].IEEE Traps on Evolutionary Computation，1997，1（1）：3-17.

[17]袁亚湘.非线性规划数值方法[M].上海：上海科技技术出版社，1993.

[18]李林川，夏道止等.电力系统电压和网损优化计算[J].电力系统自动化，1995，19（7）：30-33.

[19]李林川，王建勇，陈礼义，宋文南.电力系统无功补偿优化规划[J].中国电机工程学报，1999，19（2）： 66-69.

作者简介：熊焰雄（1963—），男，硕士，广东电力投资有限公司工程师，从事变电继电保护、运行检修、电力工程及规划等工作。