基于双光栅衍射成像颜色信息传递特点的研究

黄萌 张卫平

【摘 要】本文利用颜色表征RGB模型，从基本的光传播理论和光栅衍射性质出发，研究了双光栅衍射成像中颜色信息的传递的特点，得到了汇合光谱的光谱分布函数的公式，从而分析汇合光谱所表现出来的颜色信息。结合双光栅衍射成像方程，分析了两片光栅的衍射性质对汇合光谱的分布函数的影响。分析表明两片光栅的空间频率及衍射级数的选取与汇合光谱中各频率光所占比重息息相关，从而影响物象显示的颜色。通过分析比较不同情况下的双光栅衍射成像效果，实验结果与理论分析基本一致。

【关键词】衍射与光栅;双光栅衍射成像;汇合光谱;汇合光颜色

0 引言

目前人们熟知的“光栅成像”一般指的是泰伯效应和劳效应，它们所成的像为光栅自成像。而2006年报道了一种新型的光栅成像——双光栅衍射成像，它是指物光波经过两光栅两次衍射后形成原物虚像的过程。目前的文献报道双光栅衍射成像的相关理论分析都是站在光學的角度研究其成像原理及光能量大小，并未以信息处理的角度去分析汇合光谱的组成。任何的光学成像系统都可以看作是信息传递及处理的过程，双光栅衍射成像也是如此。在双光栅衍射成像过程中，携带物体信息的物光波经过第一片光栅G1后色散成各级物光谱波，当其中某级物光谱波再进入第二片光栅G2并满足汇合光谱条件时，在光栅G2后形成的各级光谱中得到某级汇合光束，由该汇合光束可观察到原物体图像。

本文就是以双光栅衍射成像系统为研究对象，重点研究该系统成像过程中颜色信息传递的特点。根据描述彩色图像的RGB模型理论和双光栅衍射成像的成像原理，计算通过双光栅衍射成像系统后汇合光谱中R、G、B三原色的刺激量并与其原图像的三原色刺激量比较，从而得出此系统颜色信息传递的特点，以便进一步扩大其应用范围。

1 双光栅衍射成像系统颜色信息传递特点的理论分析

1.1 颜色定量表征

定量表征彩色图像中的颜色通常可以用RGB（红、绿、蓝）模型，各种强度的RGB光混合在一起就会产生各种不同颜色。一般的颜色并不是简单的光谱色，而往往是由多种光谱色组成的。设待测光的光谱分布函数为φ（λ），而对应于各个波长的光谱三刺激值为r（λ），g（λ）和b（λ），由混色原理可以计算出该待测光的三刺激值[7]：

R=Kφ（λ）r（λ）dλ

G=Kφ（λ）g（λ）dλ                                                   （1）

B=Kφ（λ）b（λ）dλ

再由上式可以求得待测光颜色的色品坐标。根据CIE标准色度系统，光谱三刺激值、色品坐标和色拼图就可以计算和表征任何一种颜色。

1.2 双光栅衍射成像中颜色信息的定量表征

双光栅衍射成像的基本原理见图1所示，O为被白光照射的物体中某一点， G1 和G2是两个等周期的衍射平面光栅，P是挡光板。在此系统中物体的颜色信息是由白光照射物体后的反射光谱所组成，为了研究方便，假设反射光谱为白光光谱，即O点可认为是白光点光源，其光谱分布函数为φ（λ）。包含有颜色信息的白光射向第一片光栅G1，该光栅将其衍射成各级物光谱波，其中k1级按物光谱排列的各色光入射到第二片光栅G2上并满足k2级汇合光谱条件时，经G2出射的第k2级光谱各色光束汇合在一起，从汇合光束中可以看到原物的图像。此时，两光栅的空间频率、衍射光级数和放置位置满足[1]：

=-w                                                            （2）

式中k、1/d、z分别为光栅G1的衍射级数、空间频率和G1至O的垂直距离;k2、1/d2、z2分别为光栅G2的衍射级数、空间频率和G2至O的垂直距离;负号表示光束经过两光栅衍射后的衍射光级数符号相反;w是系数，当两光栅平行放置时，w≈1。本文分析w=1，两光栅平行放置时较简单的情况。

图1 双光栅衍射成像系统的成像原理示意图

Fig.1 Schematic diagram of bi-gtating diffraction imaging

建立如图1的坐标，由物点O发出的光束以不同角度入射光栅G1，因而到G1前的光强度不同，则会影响通过G1衍射后不同频率的各色光强度，同时光栅G2后能够实现汇合光束的不同频率的光束在入射G2前路径不同，从而影响汇合光谱中各频率光束的分布。另外，汇合光谱是由两片光栅的衍射所形成，因而汇合光谱的分布还与两片光栅G1、G2的衍射特性有关。根据汇合光谱的光谱分布就可以利用混色原理计算出三刺激值，从而确定物象颜色信息在传递过程中与什么因素有关。

为了计算方便，设白光光谱的中心波长为黄绿光λG，且此光波通过光栅G1后入射角等于衍射角。若物点O出射的白光光谱光谱分布函数为φ（λ），则其出射光强为：

I=φ（λ）                                                                 （3）

经过光栅G1色散后的第k1级光谱再经过光栅G2第k2级衍射形成汇合光谱后的光强为：

I=ηk（λ）ηk（λ）=φ'（λ）                        （4）

式中ηk（λ）、ηk（λ）分别为光栅G1第k1级的衍射效率和光栅G2第k2级的衍射效率，R（λ）为从物点O发出的不同频率光束到达光栅G1前的传输距离，r（λ）为经过光栅G1衍射后的第k1级物光谱波中不同频率光束到达光栅G2前的传输距离，φ'（λ）为汇合光谱的光谱分布函数。

由上式可知汇合光谱的光谱分布函数与双光栅的衍射效率和各频率光束的传输路径有关。双光栅的衍射效率是两片光栅固有的特性，而各频率光束的传输路径的改变会影响汇合光谱的光谱分布。因而为了进一步了解双光栅衍射成像中汇合光谱情况，需对各频率光束的传输路径进行进一步的计算。根据白色光谱中中心波长黄绿光的双光栅衍射情况及实现汇合光谱要求（经光栅G1色散后形成的第k1级物光谱波通过光栅G2后的各频率光束的出射角相同），可计算出第k1级物光谱中不同频率光束入射光栅G2时的入射角θ2满足：

sinθ2=λ-λ1-                                              （5）

则r（λ）==z-z    （6）

而第k1級物光谱中不同频率光束是由物点O以不同角度入射到光栅G1上后衍射所得到的。第k1级物光谱中不同频率光束对应的白光入射到光栅G1上的入射角θ1满足：

sinθ1=-sinθ2=-λ+1-                     （7）

则R（λ）==z  （8）

根据公式2可将式6和式8化简为：

r（λ）=-1z                       （9）

R（λ）=z                      （10）

式中K=，K=。由式9和式10可知，汇合光谱的光谱分布函数与两片光栅衍射级数和空间频率的乘积有关，因而两片光栅衍射级数和空间频率的乘积的改变会影响通过在双光栅衍射成像系统所成物象的颜色。

2 双光栅衍射成像系统颜色信息传递特点的实验分析

根据式4、9、10，当两片光栅空间频率一定，物点距第一片光栅G1的距离一定及光栅G1的衍射级数一定，即z1、K不变，则汇合光谱的光谱分布函数就由K决定。根据式9可得出若K增大，r（λ）的变化分为两种情况：1）当λ>1-λ时，r（λ）会随着K增大而减小;2）当λ<1-λ时，r（λ）随着K增大变化不大，可认为不变。双光栅衍射成像系统中第一片光栅主要起色散作用，因而一般第一片光栅都选取高线数的光栅，使物光谱色散成的各级物光谱波相距一定距离，以便进入到第二片光栅实现汇合光谱作用，即K>K。根据式10可得出若K增大，R（λ）的变化也分为两种情况：1）当2K>K时，R（λ）随着K增大变化不大，可认为不变;2）当2K

以上的分析结果很好地在实验中得到了验证。图2展示的是经过双光栅衍射成像系统后得到的物体图象[1]。图（a）和图（b）是在两片光栅的空间频率分别为600L/mm和100L/mm，k=1的情况下拍摄的，只是光栅G2的衍射级选取不同，其中图（a）k=2，图（b）k=1。

图2 双光栅衍射成像效果图

Fig.2 The pictures of bi-grating diffraction imaging effect

由于两片光栅的空间频率分别为600L/mm和100L/mm，则在图（a）和图（b）两种情况下都满足2K

表1 金黄色系列RGB颜色对照表

Tab. 1 The RGB color comparison table of the series of golden color

3 结论

利用颜色表征RGB模型和基本的光传播理论研究了双光栅衍射成像中颜色信息的传递的特点，得到了汇合光谱的光谱分布函数的公式。分析表明当两片光栅空间频率一定，物点距第一片光栅G1的距离一定及光栅G1的衍射级数一定，即z1、K不变时，汇合光谱的光谱分布函数就由K决定，随着K增大，低频率的光在汇合光谱中所占比重会发生变化，从而影响汇合光谱中物象的颜色。因此要获得更好的原物颜色还原，要根据物体主体颜色选择光栅的空间频率和衍射级数。当双光栅衍射成像系统中两片光栅的空间频率相差很大时，如果物体颜色偏红色或黄色，第二片光栅的衍射级数可选大一点。如果物体衍射偏青色或蓝色，第二片光栅的衍射级数可选小一点。实验结果和理论分析基本一致，该结果对双光栅衍射成像系统的具体应用具有实际参考意义。

【参考文献】

[1]Zhang WeiPing，He XiaoRong.The spectral combination characteristic of grating and the bi-grating diffraction imaging effect[J].Science in China Series G：Physics Mechanics and Astronomy，2007，50（1）：1672-1799.

[2]He Xiaorong，Zhang Weiping.Analysis of the bi-grating diffraction imaging effect by Fresnel diffraction theory[J].Acta Optica Sinica，2007，27（8）：1371.

[责任编辑：许丽]