自然且合理：高中数学课堂追求

王慕华

数学课程《标准》中指出：“人人学有价值的数学；人人都能获得必需的数学；不同的人在数学上得到不同的发展。”高中数学教科书出现的数学概念、数学方法证明，许多概念的形成过程均为水到渠成、合情合理。这就要求教师在课堂教学中必须顺应数学的发展，追求课堂教学的“自然且合理”。

范题解读

师：在初中我们学习了锐角三角函数，它是怎样定义的？

生1：是在直角三角形中定义的，=，=，=。

师：为什么要这样定义？（目的是要揭示概念的本质。）当锐角 是一个定角时，这三个比值如何？

生2：是定值吧！（很多学生犹豫，不敢确定。）

师：当锐角α是定值时，以角α的两边为边，能构造多少个直角三角形？

生3：无数个！

师：这无数个三角形有什么关系？

生4：都是相似三角形。

生5：这些直角三角形都相似，从而在每个直角三角形中的类似上面的对应比值都是相等的。也就是说这三个比值是定值，不随边长的变化而变化。

师：对！（教师动画演示，验证生2所说的数学事实。）由于有“比值不变”这样的规律，我们才定义了“锐角三角函数”的概念。进而再问：已经把角推广到了任意角，能否定义任意角的三角函数？

生6：可以把任意角的三角函数转化到直角三角形中去定义。无论角α的终边落在哪儿，都能构造一个直角三角形，可以仿照锐角三角函数的定义方法，定义任意角α的三角函数。（根据学生的描述，教师画图演示。）

师：如果角α的终边与始边垂直呢？

生6：这个无法定义tanα了。

师：我们是怎样研究“任意角”的？

生7：在平面直角坐标系中，可以借助平面直角坐标系来定义吧。（学生思考讨论）在平面直角坐标系中借助点的坐标来定义，只要在角的终边OB上任取一点P（x，y），类似于锐角三角函数，可以定义=，=，=。

师：为什么要这样定义？（学生讨论。）

生8：因为无论点P在OB的什么位置，由相似三角形的性质可知比值、、总为三个定值，因此可以用这三个比值定义任意角α的三个三角函数。

师：很不错！（动画演示。）能否把问题变得更为简单呢？

生8：在坐标系上作单位圆，此时比值中的OP的长度为1，三个比值变为y，x，。

最后老师点题，指出引入单位圆使得这种对应更加明显，同时为学习三角函数线做出准备。本堂课教学过程自然流畅，每一步提问合符情理，设计的数学活动目标较为明确，达到了引导学生感悟和揭示数学本质的目的。

提出问题应自然且合理

数学的核心是不断地解决问题，而提出问题是解决问题的前提。由于提出问题在思维的主动性与深刻性、在对知识本质和结构的理解与把握等方面比解决问题有着更高的要求，怎样才能自然且合理地提出问题？第一，搞清楚数学问题来自哪里；第二，要搞清楚数学问题该由谁提出，通常情况下，理想的做法是教师创设问题产生的情境，由学生提出问题；或教师提出一个初始问题、元问题，再由学生提出要解决的具体问题；第三，搞清楚问题产生与形成的思维合理性在哪里，如学了“椭圆的定义”后，教师上課时自然地提出这样的问题：能不能由定义建立椭圆方程？应该如何建立？或者让学生自己提出其他合理的问题。

解决问题应自然且合理

问题解决一贯是高中数学教师课堂教学中最为重视、也是做得较好的一个环节。实施新课程后，教师课堂教学的过程意识、探究意识明显加强。但从更高的要求看，有些教师平时的课堂教学还存在一些问题：较重视传授解决问题的方法而轻分析为什么要用这种方法、怎样想到用这种方法；在有效地围绕着问题的本质展开讨论和探究上做得还有待改进；解决问题的方法有时不太自然且合理。新课程课堂教学则要求：一要抓住问题本质，搞清楚知识形成与发展的背景及其与其他知识的联系；二要顺应知识形成与发展的轨迹，顺应学生的认知基础和认知特点，突出思维主线；三要揭示思维策略与方法的合理性与必然性。比如，任意角的三角函数的本质是以角为自变量的函数，其概念建立的难点是转换思考问题的角度，突破用直角三角形定义三角函数的思维局限，把原来锐角三角函数定义中的三角形边的长度比，转换为适用于任意角三角函数的坐标比。又如，“函数”的概念比较抽象难理解，在课堂中可把函数类比为“豆浆机”，一端送入大豆（自变量），从另一端出来豆浆（函数值），只不过在一般情况下，函数输入的是“数”，输出的也是“数”。这样学生对函数的理解也就具体直观了。

拓展问题应自然且合理

一个问题解决之后，如何引导学生自然且合理地拓展问题？问题引领教学，不仅应体现在课堂教学之初，也应体现和贯穿于整个课堂教学。只有在适当的时候用恰当的问题来不断地引导课堂教学，才能增加数学教学的思维含量。除了自然地合理地提出问题、解决问题外，高中数学课堂教学还应要让数学思维在教学中自然且合理地流淌，正如人教A版《普通高中课程标准实验教科书·数学》主编寄语中所说的“数学概念、数学方法与数学思想的起源与发展都是自然的。如果有人感到某个概念不自然，是强加于人的，那么只要想一下它的背景，它的形成过程，它的应用，以及它与其他概念的联系，你就会发现它实际上是水到渠成、浑然天成的产物，不仅合情合理，甚至很有人情味”，高中数学课堂必然要努力创造自然、合理、高效的教学。

（作者单位：福建省龙岩市第二中学）