反函数求导法新论

梁素梅 李红娟

【摘要】本文从多角度推导出反函数求导法，在反函数的性质基礎上，结合复合函数求导法则以及隐函数求导法则，有效地结合起来，使反函数求导方法丰富多彩.

【关键词】反函数;隐函数;链式法则;求导

一、反函数求导法

1.反函数的导数等于原函数的导数的倒数

如果函数y=f（x）在某区间内连续且严格单调，又在该区间内点x处导数f′（x）存在且不为0，则其反函数 x=f-1（y）在对应点y处可导，且有

（f-1（y））′=1f′（x），（1）

dxdy=1dydx.（2）

首先我们知道的关于反函数的一个性质是，若记函数f（x）的反函数为f-1（y），那么有：

f[f-1（y）]=y.（3）

f-1[f（x）]=x.（4）

2.反函数性质和复合函数求导

复合函数求导法则：由几个函数复合而成的函数，叫复合函数.由函数y=f（u）与u=φ（x）复合而成的函数一般形式是y=f[φ（x）]，其中u称为中间变量.

y=f（u）在u处可导，u=φ（x）在x处可导，则复合函数y=f[φ（x）]在x处也可导，且dydx=dydu·dudx或dydx=d[f（u）]du·d[φ（x）]dx或（f[φ（x）]）′=f′（u）φ′（x）.（5）

复合函数求导法还可以推广到含有更多个中间变量的情形.

3.反函数性质和隐函数求导

隐函数求导法则：设方程F（x，y）=0确定了可导函数y=f（x），在方程F（x，y）=0的两端分别对x求导，最后解出y′.隐函数求导法的关键是要把y当作x的函数y=f（x），利用链式法则求导，并且最后解出的y′是一个关于x，y的函数，即y′=G（x，y）.

二、反函数求导法例释

例1 求函数x=ln（y）的导数.

解 此函数是y=ex的反函数，y′=ex.

解法1 由公式（1）得x′=1y′=1ex=1y.

解法2 由式子（3）可得elny=y，两边对y求导，左边由链式法则得elnydlnydy，右边=1，即elnydlnydy=1，得dlnydy=1y.

解法3 y=ex，即F（x，y）=y-ex=0，两边对y求导，1-exx′=0，即x′=1ex=1y.

例2 求反正弦函数x=arcsin y （-1 < y < 1）的导数.

解 函数的反函数是y=sinx，-π2

解法1 由公式（1）得x′=1y′=1cosx=11-y2.

解法2 由式子（3）可得sin（arcsiny）=y，

两边对y求导，左边由链式法则得

cos（arcsiny）darcsinydy，

右边=1.∵cosx=cosB=1-y2，

∴左边=1-y2 darcsinydy=1，得

darcsinydy=11-y2.

解法3 y=sinx，即F（x，y）=y-sinx=0，两边对y求导得，1-cosxx′=0即x′=1cosx=11-y2.

用类似的方法可求得反余弦函数的导数为（arccosx）′=11-x2，（-1

显然从以上两个例子可以看出，三种方法都可以求解反函数的导数，可根据具体情况具体采用相应的方法达到简化反函数求导步骤.

【参考文献】

[1]同济大学数学系编.高等数学·上册[M].第六版.北京：高等教育出版社，2007：1-88.

[2]华东师范大学数学系.数学分析.上册[M].第三版.北京：高等教育出版社，2001：98-100.