用寻找“最小单元”的方法解答2014年江苏高考第14题

高 尚

（天祝一中，甘肃 天祝 733299）

题目.某装置用磁场控制带电粒子的运动，工作原理如图1所示，装置的长为L，上下两个相同的矩形区域内存在匀强磁场，磁感应强度的大小为B，方向与纸面垂直且相反，两磁场的间距为d.装置右端有一收集板，M、N、P为板上3点，M位于轴线OO′上，N、P分别位于下方磁场的上下边界上，在纸面内，质量为m，电荷量为-q的粒子以某一速度从装置左端中点射入，方向与轴线成30°角，经过上方的磁场区域一次，恰好到达P点，改变粒子入射速度的大小，可以控制粒子到达收集板上的位置，不计粒子的重力.

图1

（1）求磁场区域的宽度；

（2）欲使粒子到达收集板的位置从P点移到N 点，求粒子入射速度的最小变化量Δv；

（3）欲使粒子到达M点，求粒子入射速度大小的可能值.

解析：带电粒子在匀强磁场做圆周运动时，洛伦兹力提供向心力，物理关系非常简单，难在几何构图和几何图形的动态变化.

（1）如图2所示，粒子从左端中点A射入，先沿直线运动到上方磁场的下边界B点，进入上方磁场后沿圆弧经最高点C从D点离开上方磁场，然后又沿直线经过与轴线的交点E进入下方磁场的上边界F点，在下方磁场中沿圆弧到达收集板上的P点.由于对称性，粒子在运动中表现出“反反复复，绕来绕去”的特点，这就启发我们去寻找一个“最小单元”，把粒子整体的运动看成是对“最小单元”的多次“复制”或“循环”.

图2

（2）如图3所示，当粒子的速度略微减小时，它在磁场中的弧长相应减少，就能使其到达收集板的位置从P点移到N 点.设此时粒子在磁场中轨道半径为r′，“最小单元”沿轴线方向的长度相应变为（dcos30°＋r′sin30°），整体要经过3.5个“最小单元”，据此列出方程L＝3.5（dcos30°＋r′sin30°）.比较图2和图3可知运动路线的直线部分没有变化，而圆弧部发生变化，即圆弧沿轴线方向长度由3rsin30°变为4r′sin30°，列出更简单的方程 3rsin30°＝4r′sin30°，解出r′后，结合和，解得

图3

（3）当粒子的速度进一步减小，但仍然能够到达M点时，分为两种情况：一为粒子从下方磁场射向M，如图4所示；一为粒子从上方磁场射向M，如图5所示.将两种情况合并起来，设粒子经过磁场n次，第n次所对应的半径和速度分别为rn和vn，此时“最小单元”沿轴线方向的长度变为（dcos30°＋rnsin30°），且每经过两次“最小单元”就一定到达轴线上，因而几何关系变为L＝n×2（dcos30°＋rnsin30°）.随着rn越来越小，粒子在磁场中运动的回合越来越多，由于v＝而粒子不能静止，因此，r只能大nn于0而不能等于0.当rn＞0时，L＞n×2dcos30°，即n＜.所以入射速度的可能值为，n 取整数 ）.当n为奇数时，粒子离开上方磁场射向M；当n为偶数时，粒子离开下方磁场射向M.

感悟：本题没有过多的数学运算，却有浓郁的物理气息，意境深远，耐人寻味.三问的设置有一种渐入佳境，曲径通幽之感.考生只要做到准确作图，步步推进，是能够完成的.带电粒子在匀强磁场中的圆周运动与多过程和对称性相结合的题目，往往存在一个“最小单元”.通过寻找和确定“最小单元”能将这类题目化整为零，从而以小见大，在有效降低难度的同时，更能培养学生解题过程中 “大处着眼，小处着手”的良好习惯.

图4

图5