圆柱形水龙头流出水柱形状的深入探讨＊

黄 烈

（盘县第二中学，贵州 盘县 553500）

在“竖直方向上的抛体运动”一节复习课上，笔者提出一个问题：开口向下的圆柱形水龙头流出的水柱是什么形状（假定水在空中不散开）？不少学生先是莫名其妙，然后就炸开了锅——“是圆柱！”“不对，是倒立圆台！”……

这些回答是学生认知图式的自然展示，是对新对象同化的开始.然而学生很快发现同化是失败的，因为笔者拧开了自动取水机水龙头，流出的水柱将他们震住了：水柱的侧面明显是弯曲的，并非圆柱面，也非圆台侧面.这是一个在高一学生认知水平下出现的物理悖论问题，问题的出现打破了学生原来的认知图式，有力地促成了学生顺应程序的启动，问题的解决则必将促进学生个体图式向更高水平发展.以下分两步探讨这个问题.

1 建立模型

考虑一个竖直向下开口面积为S0的圆柱形水龙头，流量（单位时间流出水的体积）Q恒定，水龙头开口处距离水槽地面h，假定水流出后在下落过程不散开，忽略空气阻力的影响.问：水在竖直方向上做什么运动？距离水龙头出口h高处水流的瞬时速度多大？该处水柱的横截面积S多大？

考虑到水从水龙头流出时具有竖直向下的初速度，忽略次要因素后，水的下落可看成竖直下抛运动.

设水刚从管口流出的速度为v0，则Q＝S0v0.若设水下落h高度时的速度为v，根据运动学公式有，2gh＝v2-，求得v＝

模型的建立是对问题物理本质的概括、提炼与抽象，是对问题的多种表征手法的综合应用.“既涉及物理知识和物理方法的参与，又涉及思维品质的参与；既可以达到培养学生问题表征能力的目的，又可以达到促进学生思维品质发展的目的.”［1］模型的建立同时还帮助学生获得对问题的直观印象：水柱的横截面是逐渐缩小的，但不是均匀减小的.

2 问题的解决

那么，到底开口向下的圆柱形水龙头流出的水柱是什么形状呢？为了更深层次和更清晰的厘清这个问题，需要二次建模，构建水柱的母线方程.如图1所示，以管口中心为坐标原点，竖直向下为y轴正方向，水平方向为x轴建立直角坐标系.设水柱表面上一点P的坐标为P（x，y）.则根据前面的探讨，过该点的水平截面面积为

另一方面S＝πx2.设水管口的半径为x0，则S0＝.由以上3式可得水柱的母线方程

取适当初始条件，用几何画板可作出y-x关系图像如图1.图像显示，水柱截面半径在出口附近快速缩小，越往下变化越慢，这一形状与生活观察完全一致.学生的疑团终于解开：圆柱形水龙头流出的水柱既不是圆柱，也不是倒立的圆台，而是更为复杂的形状.

图1

3 结语

本问题是与生活现象紧密联系的高中物理悖论问题，具有明显的原始物理问题特征.这类问题体现新课程标准教学内容要“加强与学生生活的联系”的理念，有利于培养学生“物理源于生活”的基本认知，唤起学生对生活中物理现象的关注与思考.另一方面，悖论问题在教学中的引入容易引起学生的认知冲突，激发学生学习的兴趣.培养学生提出并分析解决这类问题的能力，是当前教学研究的热点之一.研究表明，这类问题可以有效促进学生思维品质的发展，有助于发展学生的创新思维能力，拓展学生的思维向度与深度，重构学生的认知图式，发展学生的认知水平.

1 邢红军，刘利.物理教学促进中学生思维品质的发展研究［J］.课程·教材·教法，2013（7）：97-102.