基本不等式√ab≤a+b2课堂实录

刘伟+孟祥东

在前两节课的研究当中，学生已掌握了一些简单的不等式及其应用，并能用不等式及不等式组抽象出实际问题中的不等量关系，掌握了不等式的一些简单性质与证明，研究了一元二次不等式及其解法，学习了二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题.本节课的研究是前三大节学习的延续和拓展.另外，为基本不等式的应用垫定了坚实的基础，所以说，本节课是起到了承上启下的作用.本节课是通过让学生观察第24届国际数学家大会的会标图案中隐含的相等关系与不等关系而引入的.通过分析得出基本不等式：ab≤a+b2，然后从三种角度对基本不等式展开证明及对基本不等式展开一些简单的应用，进而更深一层次地从理性角度建立不等观念.教师应作好点拨，利用几何背景，数形结合做好归纳总结、逻辑分析，并鼓励学生从理性角度去分析探索过程，进而更深层次理解基本不等式，鼓励学生对数学知识和方法获得过程的探索，同时也能激发学生的学习兴趣.

根据本节课的教学内容，应用观察、类比、归纳、逻辑分析、思考、合作交流、探究，得出基本不等式，进行启发、探究式教学并使用投影仪辅助.

1课堂实录

教学过程

1.1导入新课（走进智者，挑战自我）

探究由菲尔兹奖引到在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，它既标志着中国古代的数学成就，同时又像一只转动的风车，欢迎来自世界各地的数学精英们.多媒体展示上面的会标变化成转动的风车.

图1

接着问：你能在这个图1中找出一些相等关系或不等关系吗？

设计依据用多媒体展示菲尔兹奖奖牌，并简单介绍菲尔兹奖背景，然后引出第24届国际数学家大会的会标，并介绍此会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，通过直观情景导入有利于吸引学生的注意力，在授课中渗透数学文化和数学背景，激发学生的学习兴趣，并增强学生的自豪感和爱国主义热情.

1.2探究新知（自学质疑，交流展示）

师：同学们能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？如何找？（沉静片刻）

生：应该先从此图案中抽象出几何图形.

师：同学们观察得很细致，可以抽象出哪些几何图形？

生：四个全等的直角三角形，两个正方形.

师：同学们的观察比较准确.下面我们就来详细的探究这些几何图形.

[过程引导]

师：设直角三角形的两直角边的长分别为a、b，那么，四个直角三角形的面积之和与大正方形的面积有什么关系呢？

生：显然正方形的面积大于四个直角三角形的面积之和.

师：一定吗？

（大家齐声：不一定，有可能相等）

师：好！那大正方形的面积是多少？四个直角三角形的面积之和又是多少？同学们能否用数学符号去进行严格的推理证明刚刚的猜想呢？

（思考片刻）

生：每个直角三角形的面积为12ab，四个直角三角形的面积之和为2ab，正方形的边长为a2+b2，所以正方形的面积为a2+b2，则a2+b2>2ab.

师：这位同学回答得很好，表达很全面、准确.请你接着回答，这里能取到等号吗？

生：可以取到等号，当直角三角形是等腰直角三角形，即a=b时，等号成立

师：回答的非常好，也就是说我们得到的应该是a2+b2≥2ab.下面请大家思考一下，这位同学对a2+b2≥2ab证明了吗？

生：没有，他仍是由我们刚才的直观得到的，只是用字母表达一下而已.

师：回答得很好.

（有的同学感到迷惑不解）

师：这样的叙述不能代替证明.这是同学们在解题时经常会犯的错误.实质上，对文字性语言叙述证明题来说，他只是写出了已知、求证，并未给出证明.

（有的同学窃窃私语，确实是这样，并没有给出证明）

师：请同学们继续思考，该如何证明此不等式，即a2+b2≥2ab.

设计意图在于引领学生从感性认识基本不等式到理性证明，实现从感性认识到理性认识的升华.

（思考片刻）

生：采用作差的方法，由a2+b2-2ab=（a-b）2，因为（a-b）2是一个完全平方数，它是非负数，即（a-b）2≥0，所以可得a2+b2≥2ab.

师：同学们思考一下，这位同学的证明是否正确？

生：正确.

[教师精讲]

师：这位同学的证明思路很好.今后，我们把这种证明不等式的思想方法形象地称之为“比较法”，它和根据实数的基本性质比较两个代数式的大小是否一样.

生：实质一样，只是设问的形式不同而已.一个是比较大小，一个是让我们去证明.

师：对.那么我们在遇到这类问题时，我们就可以采用作差法去证明.

设计依据此处讲解，意在启发学生以后遇到类似问题如何处理，把以后解决问题的思维空间切实留给学生.

[教师板书]

重要不等式：

一般地，对于任意实数a、b，我们有a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立.

[跟踪训练]

（1）sin2x+cos2x≥.

（2）9x2+y2≥.

（3）当a>0，b>0时，（a）2+（b）2≥.

师：请利用重要不等式填空.（学生思考）首先发问：上面的三个式子中，a、b对应的分别是什么？

生：回答略.

设计依据类比是学习数学的一种重要方法，此环节不仅让学生理解了基本不等式的来源，理解了a、b只是一个符号，这样突破了重点和难点，而且感受了其中的函数思想，为今后学习奠定基础.

师：下面请同学们完成上面的不等式.

生：回答略.

师：（板书：当a>0，b>0时，（a）2+（b）2≥2ab，即a+b≥2ab.）大家来看，上面不等式两边同时除以2，我们可以得到什么式子？

生：当a>0，b>0时，ab≤a+b2.

师：说的好，这就是我们今天这节课学的最重要的不等式——基本不等式.

ab≤a+b2（a>0，b>0），当且仅当a=b时等号成立.

[教师精讲]

师：上面不等式中ab叫做a、b的几何平均数，a+b2叫做a、b的算数平均数.我们发现：两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数.

师：怎样理解“当且仅当”？（学生小组讨论，交流看法，师生总结）

生：“当且仅当a=b时，等号成立”的含义是：当a=b时，取等号，即a=bab=a+b2.

仅当a=b时，取等号，即ab=a+b2a=b.

[几何解释]

师：上面我们从代数角度证明了基本不等式，下面我们再从几何的角度验证一下.

图2

设计意图借助初中阶段学生熟知的几何图形，引导学生探究不等式的几何解释，通过数形结合，赋予不等式几何直观.进一步领悟不等式中等号成立的条件.

多媒体展示：如图2，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a，CB=b，请比较CD与OD的大小关系.

师：要比较CD与OD的大小关系就需要先求CD与OD.

那么CD与OD怎么求呢？

（学生思考）

生：OD=a+b2，可是CD不好求.

师：我们是不是可以借助三角形相似求CD.易知△ACD∽△DCB，从而CD2=AC.CB，即CD=ab.

由于半弦长小于或等于半径，所以ab≤a+b2.

师：几何解释实质可认为是：在同一个圆中，半径不小于半弦；或者认为是，直角三角形斜边的一半不小于斜边上的高.

[不等式的变形]

ab≤a+b2（a>0，b>0）；

ab≤（a+b2）2（a>0，b>0）；

a+b≥2ab（a>0，b>0）.

生：还有其他的变形吗？

师：还有其他的变形，但是，这几个是以后我们用的最多的.

1.3巩固新知（小组合作，学习研讨）

（小试牛刀：应用基本不等式完成下列各题）

（1）当x>0时，x+1x≥，当x=时，等号成立.

（2）当ab>0时，ab+ba≥，当时，等号成立.

（3）x2+2+1x2+2≥，等号什么时候成立？

追问：当x>0时，x+1x的最小值是多少？当x等于多少时，x+1x取最小值.

设计意图以上题目均是根据基本不等式的使用条件中的难点和关键处设置的，目的是利用学生原有的知识，进一步领悟到不等式ab≤a+b2成立的条件a>0，b>0，及当且仅当a=b时，等号成立.这些“陷阱”要让学生自己往里跳，然后自己再从中爬出来，完全放手让学生自主探究，老师指导，师生归纳总结.

结论：

若两正数的乘积为定值，则当且仅当两数相等时，它们的和有最小值；

若两正数的和为定值，则当且仅当两数相等时，它们的乘积有最大值；

简记为：“一正、二定、三相等”.

1.4深化新知（互动探究，精讲点拨）

[初显身手]

公式应用之一：

师：请应用基本不等式完成下列各题.

（1）若x>0，x+1x的最小值为，此时x=.

（2）若a>0，b>0，且a+b=2，则ab的最大值为，此时a=，b=.

生回答略.

[展露锋芒]

公式应用之二：（最优化问题）

设计意图新颖有趣、简单易懂、贴近生活的问题，不仅极大地增强学生的兴趣，拓宽学生的视野，更重要的是调动学生探究钻研的兴趣，引导学生加强对生活的关注，让学生体会：数学就在我们身边的生活中.

（1）陶渊明打算用篱笆围一个面积为100平方米的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短篱笆是多少米？

（2）陶渊明打算用一段长为36m的篱笆围成一矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大.最大面积是多少？

学生作答略

1.5全课小结，内化新知

通过本节课的学习你有什么收获？取得了哪些经验教训？还有哪些问题需要请教？

设计意图通过反思、归纳，培养概括能力，帮助学生总结经验教训，巩固知识技能，提高认知水平.

老师根据情况完善如下：

一个不等式：若a>0，b>0，则有ab≤a+b2，当且仅当a=b时，ab=a+b2.

两种思想：数形结合思想、归纳类比思想.

三个注意：基本不等式求函数的最大（小）值时注意：“一正二定三相等”.

1.6布置作业（略）

板书设计

基本不等式ab≤a+b2

一、重要不等式

a2+b2≥2ab

二、定理

若a>0，b>0，

则a+b2≥ab.

证明过程：全课小结

课后作业

2点评

这是2013年10月23日在曲阜师范大学附属中学多媒体教室为国培项目——2013年高中数学示范性集中培训项目上的一节公开课的实录.本节课的核心是了解基本不等式结构，理解基本不等式的意义，并会用基本不等式解决有关问题.在本节课的教学中，刘伟老师通过导入新课、推进新课、探究归纳、初显身手、展露锋芒、反思总结等环节，充分发挥学生的主观能动性，使学生在本课的学习中，一步步的去发现、总结基本不等式的结构特点并熟练应用基本不等式，让学生成为数学课堂的主体，而教师则是课堂活动的组织者、引导者和参与者.在课后的交流中，来自全国各地的国培项目学员，对这节课给予高度评价，所以推荐给大家，供观摩研讨.本节课主要有以下特色：

2.1可以激发全体同学的求知欲

我不止一次思考过，我们教师给学生留下什么是最重要的？我想应该就是学生的求知欲和思考问题的方式方法.在本节课的教学中，刘老师以数学故事为引子，以问题为纽带，不断提出问题，由学生通过独立思考或合作交流，在不断的讨论中积极参与学习活动，积极思考问题，主动探求问题的答案.刘老师运用多媒体课件教学，把文字、声音、图像、颜色、动画等多种信息高质量高速度的传达给学生，极大的丰富了教学信息，化难为易，化抽象为具体，化枯燥为生动，增强了学生的学习兴趣.

2.2可以让学生有成功的感觉，增强学生的自信心.

有效的数学学习来自于学生对数学活动的参与，而参与的程度却与学生学习时产生的情感因素密切相关.情感态度价值观在学习活动中具有动力作用，所以有必要在数学教育中加强情感态度价值观教育.在本节课中，刘老师多次对学生的表现给予表扬，学生在课堂学习中感受到了老师对自己的认可，也感受到了对数学问题探究的乐趣以及由此获得的成功的喜悦.

2.3可以培养学生的团队精神

孔子曰：“独学而无友，则孤陋而寡闻.”在巩固新知和深化新知（初显身手和展露锋芒）中，由学习小组观察、模仿公式形式、合作交流、解决问题等方面的学习行为，产生了同学间互助学习的效果，促进团队合作精神.

2.4可以培养学生的自学能力

刘老师在本节课的教学中，不是简单的把基本不等式及其用法讲授给学生，而是让学生逐步的发现、总结基本不等式的特点，并应用基本不等式解决相关问题.整个课堂设计都是以学生为主题，教师引导学生通过主动参与探索、归纳来获取知识，从而培养了学生的观察、比较、归纳和自学能力.

2.5本节课充分展示了教师驾驭教材和把握学情的能力

教师一进课堂就胸有成竹，充满信心.面对复杂多变的课堂，能驾轻就熟、游刃有余的指挥调度，能牢牢地吸引住学生的注意力，充分的调动学生的学习积极性，出色的完成了教育教学任务.教师讲授课时语言生动、动作富有感染力，使学生在45分钟内不仅学到了知识，而且还有一种美的享受，让学生在轻松愉悦的氛围中快乐学习.

2.6教学设计体现了数学来源于生活又服务于生活的中心思想

在整节课的教学设计中体现了：数学来源于生活又服务于生活的中心思想.从一开始由第24届国际数学家大会会标中几何图形的面积关系引入基本不等式，到后来用一定长度的篱笆围最大的矩形菜园面积和用最少的篱笆围一个面积一定的矩形面积，都是生活中经常用到的实际问题.在整节课的教学设计中站的高度较高，知识有一定的的深度和难度.在课堂的最后以两个高考题作为思考让学生体会基本不等式在高考中的难度，让学生发现自身与高考的距离，在平时的学习过程中方向性更加明确.

总之，本课教学依据学生、教材实际，遵循“教学设计问题化，教学过程活动化，活动过程练习化，练习过程要点化，要点问题目标化，目标确定课程化”的课程理念.在不违背新课程标准要求，不破坏学科知识的科学性、系统性的前提下，对教材进行适当调整重组，并通过“走进智者，挑战自我：引入新课—自学质疑，交流展示：探究新知—小组合作，学习研讨：巩固新知—互动探究，精讲点拨：深化新知（初显身手、展露锋芒）—全课小结，内化新知”五个活动展示教学流程.以学生学习活动为中心，不断创造知识障碍，引领学生进行深度尝试探索.变式练习由易到难，让思维在问题解决中成长，让问题解决在思维中拓展，最终让学生真正成为学习的主人.

2.1可以激发全体同学的求知欲

我不止一次思考过，我们教师给学生留下什么是最重要的？我想应该就是学生的求知欲和思考问题的方式方法.在本节课的教学中，刘老师以数学故事为引子，以问题为纽带，不断提出问题，由学生通过独立思考或合作交流，在不断的讨论中积极参与学习活动，积极思考问题，主动探求问题的答案.刘老师运用多媒体课件教学，把文字、声音、图像、颜色、动画等多种信息高质量高速度的传达给学生，极大的丰富了教学信息，化难为易，化抽象为具体，化枯燥为生动，增强了学生的学习兴趣.

2.2可以让学生有成功的感觉，增强学生的自信心.

有效的数学学习来自于学生对数学活动的参与，而参与的程度却与学生学习时产生的情感因素密切相关.情感态度价值观在学习活动中具有动力作用，所以有必要在数学教育中加强情感态度价值观教育.在本节课中，刘老师多次对学生的表现给予表扬，学生在课堂学习中感受到了老师对自己的认可，也感受到了对数学问题探究的乐趣以及由此获得的成功的喜悦.

2.3可以培养学生的团队精神

孔子曰：“独学而无友，则孤陋而寡闻.”在巩固新知和深化新知（初显身手和展露锋芒）中，由学习小组观察、模仿公式形式、合作交流、解决问题等方面的学习行为，产生了同学间互助学习的效果，促进团队合作精神.

2.4可以培养学生的自学能力

刘老师在本节课的教学中，不是简单的把基本不等式及其用法讲授给学生，而是让学生逐步的发现、总结基本不等式的特点，并应用基本不等式解决相关问题.整个课堂设计都是以学生为主题，教师引导学生通过主动参与探索、归纳来获取知识，从而培养了学生的观察、比较、归纳和自学能力.

2.5本节课充分展示了教师驾驭教材和把握学情的能力

教师一进课堂就胸有成竹，充满信心.面对复杂多变的课堂，能驾轻就熟、游刃有余的指挥调度，能牢牢地吸引住学生的注意力，充分的调动学生的学习积极性，出色的完成了教育教学任务.教师讲授课时语言生动、动作富有感染力，使学生在45分钟内不仅学到了知识，而且还有一种美的享受，让学生在轻松愉悦的氛围中快乐学习.

2.6教学设计体现了数学来源于生活又服务于生活的中心思想

在整节课的教学设计中体现了：数学来源于生活又服务于生活的中心思想.从一开始由第24届国际数学家大会会标中几何图形的面积关系引入基本不等式，到后来用一定长度的篱笆围最大的矩形菜园面积和用最少的篱笆围一个面积一定的矩形面积，都是生活中经常用到的实际问题.在整节课的教学设计中站的高度较高，知识有一定的的深度和难度.在课堂的最后以两个高考题作为思考让学生体会基本不等式在高考中的难度，让学生发现自身与高考的距离，在平时的学习过程中方向性更加明确.

总之，本课教学依据学生、教材实际，遵循“教学设计问题化，教学过程活动化，活动过程练习化，练习过程要点化，要点问题目标化，目标确定课程化”的课程理念.在不违背新课程标准要求，不破坏学科知识的科学性、系统性的前提下，对教材进行适当调整重组，并通过“走进智者，挑战自我：引入新课—自学质疑，交流展示：探究新知—小组合作，学习研讨：巩固新知—互动探究，精讲点拨：深化新知（初显身手、展露锋芒）—全课小结，内化新知”五个活动展示教学流程.以学生学习活动为中心，不断创造知识障碍，引领学生进行深度尝试探索.变式练习由易到难，让思维在问题解决中成长，让问题解决在思维中拓展，最终让学生真正成为学习的主人.

2.1可以激发全体同学的求知欲

我不止一次思考过，我们教师给学生留下什么是最重要的？我想应该就是学生的求知欲和思考问题的方式方法.在本节课的教学中，刘老师以数学故事为引子，以问题为纽带，不断提出问题，由学生通过独立思考或合作交流，在不断的讨论中积极参与学习活动，积极思考问题，主动探求问题的答案.刘老师运用多媒体课件教学，把文字、声音、图像、颜色、动画等多种信息高质量高速度的传达给学生，极大的丰富了教学信息，化难为易，化抽象为具体，化枯燥为生动，增强了学生的学习兴趣.

2.2可以让学生有成功的感觉，增强学生的自信心.

有效的数学学习来自于学生对数学活动的参与，而参与的程度却与学生学习时产生的情感因素密切相关.情感态度价值观在学习活动中具有动力作用，所以有必要在数学教育中加强情感态度价值观教育.在本节课中，刘老师多次对学生的表现给予表扬，学生在课堂学习中感受到了老师对自己的认可，也感受到了对数学问题探究的乐趣以及由此获得的成功的喜悦.

2.3可以培养学生的团队精神

孔子曰：“独学而无友，则孤陋而寡闻.”在巩固新知和深化新知（初显身手和展露锋芒）中，由学习小组观察、模仿公式形式、合作交流、解决问题等方面的学习行为，产生了同学间互助学习的效果，促进团队合作精神.

2.4可以培养学生的自学能力

刘老师在本节课的教学中，不是简单的把基本不等式及其用法讲授给学生，而是让学生逐步的发现、总结基本不等式的特点，并应用基本不等式解决相关问题.整个课堂设计都是以学生为主题，教师引导学生通过主动参与探索、归纳来获取知识，从而培养了学生的观察、比较、归纳和自学能力.

2.5本节课充分展示了教师驾驭教材和把握学情的能力

教师一进课堂就胸有成竹，充满信心.面对复杂多变的课堂，能驾轻就熟、游刃有余的指挥调度，能牢牢地吸引住学生的注意力，充分的调动学生的学习积极性，出色的完成了教育教学任务.教师讲授课时语言生动、动作富有感染力，使学生在45分钟内不仅学到了知识，而且还有一种美的享受，让学生在轻松愉悦的氛围中快乐学习.

2.6教学设计体现了数学来源于生活又服务于生活的中心思想

在整节课的教学设计中体现了：数学来源于生活又服务于生活的中心思想.从一开始由第24届国际数学家大会会标中几何图形的面积关系引入基本不等式，到后来用一定长度的篱笆围最大的矩形菜园面积和用最少的篱笆围一个面积一定的矩形面积，都是生活中经常用到的实际问题.在整节课的教学设计中站的高度较高，知识有一定的的深度和难度.在课堂的最后以两个高考题作为思考让学生体会基本不等式在高考中的难度，让学生发现自身与高考的距离，在平时的学习过程中方向性更加明确.

总之，本课教学依据学生、教材实际，遵循“教学设计问题化，教学过程活动化，活动过程练习化，练习过程要点化，要点问题目标化，目标确定课程化”的课程理念.在不违背新课程标准要求，不破坏学科知识的科学性、系统性的前提下，对教材进行适当调整重组，并通过“走进智者，挑战自我：引入新课—自学质疑，交流展示：探究新知—小组合作，学习研讨：巩固新知—互动探究，精讲点拨：深化新知（初显身手、展露锋芒）—全课小结，内化新知”五个活动展示教学流程.以学生学习活动为中心，不断创造知识障碍，引领学生进行深度尝试探索.变式练习由易到难，让思维在问题解决中成长，让问题解决在思维中拓展，最终让学生真正成为学习的主人.