利用二阶导数构造的数值积分公式

陈亚婷，冀德刚，贾鹂，张雅静

（河北农业大学理学院，河北保定 071001）

在工业生产和科学实践中，常常需要计算大量的积分问题.有些数值方法，如微分方程和积分方程的求解，也都和积分计算相联系.依据微积分基本定理，对于积分只要找到被积函数f（x）的原函数F（x），便可利用牛顿－莱布尼茨公式但实际使用这种求积方法往往有困难，因为大量的被积函数，其原函数不能用初等函数表示，故不能用上述公式计算；有些函数，即使能求得原函数的积分有时计算也是十分困难.另外，当f（x）是由测量或数值计算给出的一张数据表，牛顿－莱布尼茨公式也不能直接应用.因此有必要研究积分的数值计算方法［1－3］.

本文在文献［4－11］基础上，利用二阶导数，构造了一种新的具有7次代数精度的数值积分公式，并给出了其复合公式和加速公式，对于每个公式也进行了余项研究和误差分析，最后通过几个典型的例子验证本文得到的公式的有效性.

1 构造公式

首先假定被积函数f（x）在积分区间［a，b］上足够光滑，并且其在［a，b］上每一点处的二阶导数都可求得.

在积分区间［a，b］上取其中点设已知被积函数f（x）在点上函数值f（b）和二阶导数值构造如下的求积公式：

现需确定公式（1）的待定参数Ai，Bi（i＝0，1，2），使求积公式具有尽可能高的代数精度.令求积公式对f（x）＝1，x，x2，…，x6精确成立，可解得

于是可得到求积公式

令f（x）＝x7，该公式也精确成立，但是f（x）＝x8时该公式不精确成立，因此该求积公式具有7次代数精度.

根据广义皮亚诺定理，经计算得余项

2 复合公式及其加速

将积分区间［a，b］分成2n等分，记节点x＝a＋ih，i＝0，1，2，…，2n，其中在每个小区间

i

1［x2i－2，x2i］（i＝1，2，…，n）上应用公式（2）得

把式（4）整理即可得如下形式：

综上知，当n→∞时，式（4）右端In收敛于积分即复合公式（4）收敛.假设f（x）∈C［8］［a，b］，则复合求积公式的余项为

然后将积分区间［a，b］分成4n等分，记节点xi＝a＋ih1，（i＝0，1，2，…，2n）及＝，（i＝1，2，…，2n）.在每个小区间［x，x］和［x，x］（i＝1，2，…，n）上应用公式（2）得2i－22i－12i－12i

其余项

由假设f（x）∈C［8］［a，b］，并假定当n充分大时则有即I≈这里I表示真值.

记

则是比In和I2n更好的接近于I的近似值.其余项为

对于上述余项的估计，有如下定理.

3 数值实验

已知真值I＝0.946 083 070 367 18，

本文公式（2）：近似值为0.946 083 069 878 380，误差为4.888 000 004 754 645×10－10.

本文公式（4）：n＝2时，近似值为0.946 083 070 365 313，误差为1.869 542 824 855 863 0×10－12.

n＝4时，近似值为0.946 083 070 367 176，误差为7.143 701 047 162 956 5×10－15.

n＝8时，近似值为0.946 083 070 367 183，误差为7.274 861 290 056 10×10－17.

本文公式（6）：n＝2时

可见，如果保留到小数点后15位，该结果可以作为精确值的很好的近似.尤其对式（6），只需用n＝2情形计算即可达到很高的精度，计算量也较小.

已知真值I＝0.785 398 163 397 448，

本文公式（2）：近似值为0.785 439 682 539 683，误差为4.151 914 223 435×10－5.

本文公式（4）：n＝2时，近似值为0.785 398 258 555 694，误差为9.515 824 614 106 20×10－8.

n＝4时，近似值为0.785 398 163 395 992，误差为1.456 088 112 965 87×10－12.

n＝8时，近似值为0.785 398 163 397 447，误差为3.330 669 073 875 470×10－16.

4 结论

通过上面的数值计算结果表明：在计算数值积分时，本文构造的数值积分公式能很好地作为积分值的近似，而且精确程度较高.同时，所得到的积分公式还易于编程.本文的优点在于利用了较少的条件构造了一个高次代数精度的数值积分公式，由此用较少的计算量就可以达到精度的要求，因而在实际计算中有广泛的应用.

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