一类解析函数邻域的性质

李霞

摘 要： 本文利用Salagean算子定义了一类在单位圆盘上解析的缺项负系数的函数族T（j）的两个子族：T■（n，m，a）与L■（n，α，β，γ），研究了这两个子族的邻域的性质，在一定程度上推广和优化了之前学者的相关结论.

关键词： 解析函数 邻域 Salagean算子

1.引言

设A为在单位圆盘△={z：z∈C，|z|<1}内解析的解析函数族，记

T（j）={f∈A：f（z）=z-■a■z■；a■≥0，j∈N}，

对于T（j）中的函数f（z），定义f（z）的（j，δ）邻域：

N■（f）={g∈T（j）：g（z）=z-■b■z■，{■k|a■-b■|■}■≤δ，p≥1，j∈N}，

特别地，对于e（z）=z∈T（j），

N■（e）={g∈T（j）：g（z）=z-■b■z■，{■k|b■|■}■≤δ，p≥1，j∈N}，

对于f（z）∈T（j），Salagean[1]定义了Salagean算子：D■（z）= f（z），D1（z）=zf′（z），...，D■f（z）=D（D■（f（z））），（n∈N）由此可得：D■f（z）=z-■k■a■z■，（n∈N∪{0}）.

S■（α）表示α（0≤α<1）阶星型函数作成的类，f∈S■（α）当且仅当Re{■}>α；

K（α）表示a（0≤α<1）阶凸函数作成的类，f∈K（α）当且仅当Re{1+■}>α.

S■■（α）={f：f∈S■（α）且f∈T（j）}；K■（α）={f：f∈K（α）且f∈T（j）}.

本文将主要研究函数族T（j）的两个子族：T■（n，m，α）与L■（n，α，β，γ）及其邻域间的关系，在一定程度上推广和优化了之前学者的相关结论.

2.T■（n，m，α）的邻域

定义T■（n，m，α）={f∈T（j）：Re■>α，n，m∈N∪{0}，0≤α<1，z∈△}

注意到T■（0，1，α）=S■■（α），T■（1，1，α）=K■（α）；T■（0，1，α）=S■（α），T■（1，1，α）=K（α）.

对于函数族T■（n，m，α），我们需要由Sekine给出下列引理：

引理2.1[2] f（z）∈T■（n，m，α）当且仅当■k■（k■-α）α■≤1-α，其中n，m∈N∪{0}，0≤α<1，结果是精确的.

定理2.2 设j∈N，n，m∈N∪{0}，0≤α<1，则T■（n，m，α）？奂N■（e），其中δ={■}■，（p≥1）.

证明：若f（z）∈T■（n，m，α），且f（z）=z-■a■z■（a■≥0），

则由引理2.1得■k■a■≤1-α，

所以（j+1）■[（j+1）■-α]■a■≤1-α且（j+1）■[（j+1）■-α]■ka■≤1-α，

于是■a■≤■<1且■ka■≤■，

又因为p≥1，且注意到0≤a■<1，所以■ka■■≤■ka■≤■，

所以{■ka■■}■≤{■}■=δ，从而f（z）∈N■（e），

所以T■（n，m，α）？奂N■（e）.

在定理2.2中取p=1，即得Aouf■研究所得结论；在定理2.2中取j=1，即得下面推论.

推论2.3 设n，m∈N∪{0}，0≤α<1，则T■（n，m，α）？奂N■（e），其中

δ={■}■，（p≥1）.

当p=1，n=0，m=1时，定理2.2与推论2.3即为Alt intas与Owa[4]研究所得结果.

当p=1，n=1，m=1时，定理2.2与推论2.3即为Alt intas与Owa[4]研究所得结果.

在定理中取n=0，m=1，即得下面推论2.4.

推论2.4 设0≤α<1，则S■■（α）？奂N■（e），其中δ={■}■，（p≥1）.

在定理中取n=1，m=1，即得下面推论2.5.

推论2.5 设0≤α<1，则K■（α）？奂N■（e），其中δ={■}■，（p≥1）.

3.L■（n，α，β，γ）的邻域

定义L■（n，α，β，γ）

{f∈T（j）∶|■|<β，n∈N∪{0}，z∈Δ，0≤α≤1，0<β≤1，0≤γ<1}.

定理3.1 设j∈N，n∈N∪{0}，0≤α≤1，0<β≤1，0≤γ<1，则f（z）∈L■（n，α，β，γ）当且仅当（1+αβ）■k■a■≤β（1+α-γ）.

证明：（必要性）若f（z）∈L■（n，α，β，γ），且f（z）=z-■a■z■（a■≥0），则

|■|=|■|<β，（z∈Δ）（3.1）

当z为实数时，■为实数；当z从实轴上趋于1■时，得

■k■a■≤β（1+α-γ）-α■k■a■，即（1+αβ）■k■a■≤β（1+α-γ）.

（充分性）若（1+αβ）■k■a■≤β（1+α-γ），则|■| =|■|≤■<■<β（|z|<1）

因此f（z）∈L■（n，α，β，γ）.

取f（z）=z-■z■∈T（j）（k≥j+1），则在（3.1）式中等号成立，由此可知结果是精确的.

定理3.2 设j∈N，n∈N∪{0}，0≤α≤1，0<β≤1，0≤γ<1，则

L■（n，α，β，γ）？奂N■（e），其中δ={■}■，（0≥1）.

证明：若f（z）∈L■（n，α，β，γ），且f（z）=z-■a■z■（a■≥0），则由定理3.1得

（1+αβ）■k■a■≤β（1+α-γ），所以（1+αβ）（j+1）■■a■≤β（1+α-γ）且endprint

（1+αβ）（j+1）■■ka■≤β（1+α-γ），即

■a■≤■<1且■ka■≤■，又因为p≥1，0≤a■<1，所以

■ka■■≤■ka■≤■，故（■ka■）■≤（■）■=δ，从而f（z）∈N■（e），所以L■（n，α，β，γ）？奂N■（e）.

在定理3.2中取j=1，即得下面推论.

推论3.3 设n∈N∪{0}，0≤α≤1，0<β≤1，0≤γ<1，则

L■（n，α，β，γ）？奂N■（e），其中δ={■}■，（p≥1）.

参考文献：

[1]G.S.， Subclass of univalent functions，Complexity and starlikeness for certain classes of analytic functions with negative coefficients.I，Atti della Accademia Nazionale dei Lincei 65（1978），no.1-2， 38-42（1979）.

[2]T.Sekine， Generalization of certain subclasses of analytic functions， International Journel of Mathematics and Mathematical Sciences 10（1987）， no.4， 725-732.

[3]M.K.Aouf，Neighbourhoods of certain classes of analytic functions with negative coefficients，International Journel of Mathematics and Mathematical Sciences 10（2006），1-6.

[4]O.Altintas and S.Owa，Neighborhoods of certain analytic functions with negative coefficients，International Journel of Mathematical Sciences 19 （1996），no.4，797-800.endprint

（1+αβ）（j+1）■■ka■≤β（1+α-γ），即

■a■≤■<1且■ka■≤■，又因为p≥1，0≤a■<1，所以

■ka■■≤■ka■≤■，故（■ka■）■≤（■）■=δ，从而f（z）∈N■（e），所以L■（n，α，β，γ）？奂N■（e）.

在定理3.2中取j=1，即得下面推论.

推论3.3 设n∈N∪{0}，0≤α≤1，0<β≤1，0≤γ<1，则

L■（n，α，β，γ）？奂N■（e），其中δ={■}■，（p≥1）.

参考文献：

[1]G.S.， Subclass of univalent functions，Complexity and starlikeness for certain classes of analytic functions with negative coefficients.I，Atti della Accademia Nazionale dei Lincei 65（1978），no.1-2， 38-42（1979）.

[2]T.Sekine， Generalization of certain subclasses of analytic functions， International Journel of Mathematics and Mathematical Sciences 10（1987）， no.4， 725-732.

[3]M.K.Aouf，Neighbourhoods of certain classes of analytic functions with negative coefficients，International Journel of Mathematics and Mathematical Sciences 10（2006），1-6.

[4]O.Altintas and S.Owa，Neighborhoods of certain analytic functions with negative coefficients，International Journel of Mathematical Sciences 19 （1996），no.4，797-800.endprint

（1+αβ）（j+1）■■ka■≤β（1+α-γ），即

■a■≤■<1且■ka■≤■，又因为p≥1，0≤a■<1，所以

■ka■■≤■ka■≤■，故（■ka■）■≤（■）■=δ，从而f（z）∈N■（e），所以L■（n，α，β，γ）？奂N■（e）.

在定理3.2中取j=1，即得下面推论.

推论3.3 设n∈N∪{0}，0≤α≤1，0<β≤1，0≤γ<1，则

L■（n，α，β，γ）？奂N■（e），其中δ={■}■，（p≥1）.

参考文献：

[1]G.S.， Subclass of univalent functions，Complexity and starlikeness for certain classes of analytic functions with negative coefficients.I，Atti della Accademia Nazionale dei Lincei 65（1978），no.1-2， 38-42（1979）.

[2]T.Sekine， Generalization of certain subclasses of analytic functions， International Journel of Mathematics and Mathematical Sciences 10（1987）， no.4， 725-732.

[3]M.K.Aouf，Neighbourhoods of certain classes of analytic functions with negative coefficients，International Journel of Mathematics and Mathematical Sciences 10（2006），1-6.

[4]O.Altintas and S.Owa，Neighborhoods of certain analytic functions with negative coefficients，International Journel of Mathematical Sciences 19 （1996），no.4，797-800.endprint