基于改进西原模型的软土流变一维固结解析

邓宗伟+唐葭+朱志祥+付贵海+聂如松

文章编号：16742974(2014)06008507

收稿日期：20140227

基金项目：国家自然科学基金资助项目(51108464)；湖南省科技计划项目(2013GK3086)；湖南省教育厅重点研究项目(09A016)；湖南省教育厅科学计划项目(12C0580)；湖南省教育厅青年项目(13B010)

作者简介：邓宗伟（1972-），男，湖南安化人，中南大学博士后，湖南城市学院副教授，博士

通讯联系人，Email:teapotd@163.com

摘 要：为解决不同应力水平下饱和软土层的沉降计算问题，考虑土的流变特性，对西原模型低应力分量进行了分析和改进.通过Laplace变换与反变换，得到了瞬时加载条件下改进西原模型的一维固结解析解，在此基础上采用积分的方法推导了多级加载条件下的统一解析解，并将解析解应用于洞庭湖软土路堤试验段的沉降计算.结果表明：该解析解沉降计算值在不同应力水平下呈现不同的变化规律，均与对应应力水平下的沉降实测值吻合.在固结初期，该解析解的计算固结沉降速率大大低于相同条件下弹性模型的计算结果.因此，在计算软基沉降时，必须考虑不同应力水平对软基沉降的影响，并考虑软土流变所引起的滞后效应.

关键词：固结；改进西原模型；软土；沉降计算；滞后效应

中图分类号：TU470 文献标识码：A

Analytical Solution for Rheological Onedimensional

Consolidation of Soft Soil based

on Improved Nishihara Model



DENG Zongwei1,2, TANG Jia2, ZHU Zhixiang1,2, FU Guihai1,2, NIE Rusong1 

(1. School of Civil Engineering, Central South Univ, Changsha, Hunan 410075, China;

2. School of Civil Engineering, Hunan City Univ, Yiyang, Hunan 413000, China)

Abstract:In order to solve the settlement calculation problem of saturated soft soil under different stress levels, the low stress component of the Nishihara model was analyzed and improved after considering the rheological properties. Through the Laplace transform and its inverse transform, a onedimensional consolidation analytical solution was obtained under instantaneous loading condition. Based on the solution, the unified analytical solution was obtained in the method of integral under multilevel loading conditions. And the analytical solution was used in the settlement calculation for the test section of Dongting Lake Area soft soil embankment. It has been shown that the calculated settlement values of the analytical solutions under different stress levels have different change laws, which is in agreement with those of the field tests. At the early stage of consolidation, the calculated consolidation settlement rates are much lower than that of the elastic model under the same conditions. Therefore, when calculating the settlement of soft foundation, it is necessary to consider the influence of different stress levels on the settlement of soft foundation, and to consider lag effect caused by soft soil creep.

Key words: consolidation; the improved Nishihara model; soft soil; settlement calculation; lag effect



软土的固结与流变是联系在一起的，为探求软土的流变特性对软土固结的影响，许多学者对此展开过相关研究.Floque提出了考虑非饱和土流变问题的固结模型，并导出了其流变本构模型［1］；王盛源[2]研究了变荷载作用下饱和黏土的黏弹性一维固结问题，得到了荷载随时间线性增长情况下的一维固结问题的解析解.近年来，李西斌[3]、谢康和[4]、王少媚[5]等分别针对循环荷载与其他可变荷载下软土的黏弹性问题进行了一维固结流变解答，得出了一些有益结论.但以上关于流变问题的研究都是针对同一应力路径状态下的本构方程进行的.事实上，由于岩土体材料的特殊性，当岩土体的内部应力超过某一“阈值”时[6-7]，应力路径就会发生明显变化，其流变性质也随之改变，因此必须寻求一种能同时描述不同应力水平下的流变特性的岩土体本构方程.在现有流变模型中，西原模型能很好地体现不同应力水平下的流变变化，但它用两个分式分别描述高低应力水平下的流变特性，非常不利于固结流变问题的解答.鉴于此，本文对已有西原模型做适当改进，建立不同应力水平下的流变统一表达式,并在此基础上对瞬时加载和多级加载条件下黏弹性土的一维固结解析解进行推导,为计算软土地基的长期沉降,合理估计施工期沉降与工后沉降提供理论依据.

1 问题的描述及基本控制方程

图1为所求单层黏弹性地基土一维固结问题的计算示意图，其中kv为渗透系数，E0, E1, K0 和K1为流变模型的4个模型参数，q(t)为随时间变化的外加荷载，H为压缩层厚度，地基表面透水，底边界不透水.



图1 单层黏弹性地基一维固结计算示意图

Fig.1Calculation sketch for onedimensional 

consolidation of single layer

viscoelastic subgrade

西原模型为五元件模型，由一个弹性模量为E0的独立弹簧、一个Kelvin体、一个Bingham体串连组成，如图2(a)所示.显然，四元件流变模型(Schiffman模型)、三元件流变模型(Merchant模型)均为西原模型的特例.

(a) 西原模型

(b) Schiffman模型

(c) Merchant模型

图2 西原模型及其特殊情况

Fig.2Nishihara model and its special cases

根据图2中西原模型各元件的组成，其本构关系可以由式(1)进行描述：以应力“阈值”σ0为界分为高低两个应力水平，不同应力水平下，黏弹性本构模型遵循不同的流变规律.而从文献[8]中可知，对于黏弹性模型，为了更好地描述土体的变形特征和使模型具有较广泛的适用性，可用大量元件组成广义模型.如广义Kelvin模型就是由一个Maxwell体和N个Kelvin体串联组成的.因此，为提高低应力水平下西原模型的计算精度，可用Schiffman模型对式(1)中低应力水平下的Merchant模型进行替换而成为式(2).由此，在低应力水平下将σ0取为0，在高应力水平下将σ0取为一定值，可以使不同应力水平下的本构关系得到统一.式(2)中各物理量意义明确，简单直观，方便了固结解析解的推导.

εt=σE0+σE11－e－E1K1t, σ≤σ0;

σE0+σE11－e－E1K1t+σ－σ0K0t, σ>σ0． (1)

εt=σE0+σE11－e－E1K1t+σK0t ,σ≤σ0;

σE0+σE11－e－E1K1t+σ－σ0K0t , σ>σ0．(2)

基于修正后的西原模型的本构关系，可得土体中的应力应变关系为：

ε(t,Z)=σ(τ,Z)E0+∫t0σ(τ,Z)－σ0K0dτ+

∫t0σ(τ,Z)E1e－E1K1(t－τ)dτ． (3)

式中：σ(τ,Z)为竖向有效应力.

设土体完全饱和，土颗粒和孔隙水均不可压缩，单位土体的压缩量等于从单位时间内土体排出水的体积，则有

kvγw2u(t，Z)Z2=－ξ(t，Z)t. (4)

根据有效应力原理,

u(t,Z)=q(t)－σz(t,Z). (5)

初始外界荷载等于初始孔隙水压时,

u(0,Z)=q(0). (6)

式(3),式(5)和(6)代入式(4)可得黏弹性土体一维固结控制方程：

cv2uz2=ut+E0K1∫t0uτe－E1K1(t－τ)dτ+E0K0u+q'(t)． (7)

式中：

q'(t)=－dq(t)dt－E0K0［q(t)－σ0］－

E0K1∫t0dq(τ)dτe－E1K1(t－τ)dτ;(8)

cv=E0kvγw为固结系数；γw为水的重度.

控制方程(7)的定解条件如下：

顶面排水： u(t,0)=0；  (9)

底面不排水：u(t,H)Z=0； (10)

初始条件： u(0,Z)=q(0)=q0. (11)

2 问题的求解

2.1 瞬时加载时控制方程的求解 

瞬时加载条件下，q'(t)=－E0K0［q(0)－σ0］代入控制方程(7)可得：

cv2uz2=ut+E0K1∫t0uτe－E1K1(t－τ)dτ+

E0K0u－E0K0［q(0)－σ0］． (12)

根据式(9),(10)和(11)的定解条件，采用固定函数法,求解控制方程(12).由边界条件可假设解的形式为：

u(t,Z)=∑

SymboleB@

n=1Tn(t)sin (MHZ). (13)

式中: M=(2n－1)2π,n=1,2,3,…；Tn(t)仅为时间函数.

将式(13)代入式(7)得：

－∑

SymboleB@

n=1cvM2H2Tn(t)sin (MHZ)=∑

SymboleB@

n=1dTn(t)dtsin (MHZ)+

∑

SymboleB@

n=1E0K1∫t0dTn(t)dtsin (MHZ)e－E1K1(t－τ)dτ+

E0K0∑

SymboleB@

n=1Tn(t)sin (MHZ)+∑

SymboleB@

n=12Mq′(t)sin (MHZ),(14)

简化为：

cvM2H2Tn(t)+dTn(t)dt+E0K1∫t0dTn(t)dte－E1K1(t－τ)dτ+

E0K0Tn(t)+2Mq′(t)=0．(15)

令Tn(t)Laplace变换为L(Tn(t))=T-n(s)，q′(t)=－E0K0［q(0)－σ0］，应用初始条件式(14)得Tn(0)=2Mq0，然后对方程(15)两边取Laplace变换可得：

n(s)=2q0M(1+E0E1+K1s+E0K0s)－2σ0ME0K0s(cvM2H2+s+E0sE1+K1s+E0K0). (16)

对式(16)做逆Laplace变换Tn(t)=L－1(Tn(t))得： 

Tn(t)=L－1(Tn(t))=

2M［(q0－σ0)C1+q0(D2eX2Tv+D1eX1Tv)+

σ0(D4eX2Tv+D3eX1Tv)］． (17)

式中:x1,x2,C1,D1,D2,D3,D4,b,Tv,a1和a2为无量纲参数，它们的表达式如下：

x1=－12b［(M2b+a1+a2+1)－

－4a1(M2b+a2)+(M2b+a1+a2+1)2］;

x2=－12b［(M2b+a1+a2+1)+

－4a1(M2b+a2)+(M2b+a1+a2+1)2］;

C1=a2M2b+a2;D1= M2bx1+M2(a1+1)(x1－x2)(M2b+a2);

D2=M2bx2+M2(a1+1)(x2－x1)(M2b+a2);

D3= a2［x1+(a1+1)/b］(x1－x2)(M2b+a2);

D4=a2［x2+(a1+1)/b］(x2－x1)(M2b+a2);

Tv=cvH2t; a1=E1E0;a2=K1K0;b=kvK1H2γw．

当孔隙水压力、固结度计算公式中H用H/2代替时，可得到双面排水边界条件下的孔隙水压力、固结度计算计算式.

公式的退化，即σ0→ 0对式(17)化简后结果与文献[3, 9]结果相同.

结合式(13)孔隙水压力可表示为：

u(t,Z)=∑

SymboleB@

n=1Tn(t)sin (MHZ)=

∑

SymboleB@

n=12M［(q0－σ0)C1+q0(D2eX2Tv+D1eX1Tv)+

σ0(D4eX2Tv+D3eX1Tv)］sin (MHZ)．(18)

固结度U可表示为：

U(t)=1－1q0∑

SymboleB@

n=12M2［(q0－σ0)C1+

q0(D2eX2Tv+D1eX1Tv)+σ0(D4eX2Tv+

D3eX1Tv)］．(19)

2.2 多级加载下控制方程的求解

2.2.1 软土路基加载的受荷特点

目前，软土路基的施工普遍采用等载或超载预压并结合其他加固方法(如塑料排水板、砂桩、粉喷桩等)进行软基处理，堆载过程为分层加载、分层碾压，如图3所示.加载过程为图中斜线段，斜率代表加载速度；碾压过程为图中的平线段，荷载不变.



图3 m级阶梯加载qt曲线示意图

Fig.3Schematic diagram of m step loads qtcurve



t1＞t≥t0：q(t)=q1－q0t1－t0(t－t0)+q0 ;(a)

t2＞t≥t1：q(t)=q1; (b)

t3＞t≥t2：q(t)=q1+q2－q1t3－t2(t－t2) ; (c)

t4＞t≥t3：q(t)=q2; (d)

…

t2m－1＞t≥t2m－2:q(t)=qm－1+qm－qm－1t2m－1－t2m－2(t－t2m－2)；(e)

t2m＞t≥t2m－1:q(t)=qm．(f) (20) 

2.2.2 孔隙水压力的求解

叠加原理基本思想是：把变荷载情况下固结过程看成若干个不变荷载(瞬时加载)叠加的固结过程，从已有的瞬时加载情况的固结解析解出发，而不是从变荷载情况下的固结方程出发进行求解[10].叠加原理示意如图4所示.



图4叠加原理示意图



Fig.4 Schematic diagram of the principle of superposition

不计初始孔隙水压力，当t=0时，瞬时加载为q0条件下，孔隙水压力方程为：

u(t,Z)=∑

SymboleB@

n=12q0Msin (MHZ)e－a1t. (21)

式(21)/q0简化得到单位力作用下的孔隙水压力公式：

u(t,Z)=∑

SymboleB@

n=12Msin (MHZ)e－a1t. (22)

在t=τi，Δq作用下瞬间加载孔隙水压力表达式为：

ui(t,Z)=∑

SymboleB@

n=12Msin (MHZ)e－a1(t－τi)Δq=

∑

SymboleB@

n=12Msin (MHZ)e－a1(t－τi)ΔqΔτiΔτi．(23)

当连续加载时，由叠加原理可知：

∑ki=1ui(t,Z)=∑ki=1∑

SymboleB@

n=12Msin (MHZ)e－a1(t－τi)ΔqΔτiΔτi=

∫t0∑

SymboleB@

n=12Msin (MHZ)e－a1(t－τ)dqdτdτ=

∑

SymboleB@

n=12Msin (MHZ)∫t0e－a1(t－τ)dqdτdτ．(24)

式中:a1=cvM2H2；M=2n－12π;dq(τ)dτ为加载速率.

同理，对本次研究的控制方程，由式(13)得，瞬时加载单位力对应的孔隙水压表达式为：

u(t,Z)=∑

SymboleB@

n=1Tn(t)sin (MHZ)=

∑

SymboleB@

n=12M［(1－σ0/q0)C1+(D2eX2Tv+D1eX1Tv)+

σ0/q0(D4eX2Tv+D3eX1Tv)］sin (MHZ)．(25)

根据叠加原理可得任意荷载作用下的孔隙水压表达式为：

u(t,Z)=∫t0(t－τ,Z)dq(τ)dτdτ. (26)

m级梯形加载q(t)分段函数如式(20)，代入式(26)得各时间段孔隙水压的解析解如下：

当t2m－1＞t≥t2m－2时，

q(t)=qm+qm－qm－1t2m－1－t2m－2(t－t2m－2)=

qm+Qm(t－t2m－2）,m=1,2,3,…

u(t,Z)=∑m－1k=1(∑

SymboleB@

n=12(qk－qk－1)M(Tv2k－1－Tv2k－2)sin (MHZ)×

(C1(1－σ0/q0)(Tv2k－1－Tv2k－2)+

D1X1(ex1(Tv－Tv2k－2)－ex1(Tv－Tv2k－1)) +

D2X2(ex2(Tv－Tv2k－2)－ex2(Tv－Tv2k－1))+

σ0/q0(D3X1(ex1(Tv－Tv2k－2)－ex1(Tv－Tv2k－1)) +

D4X2(ex2(Tv－Tv2k－2)－ex2(Tv－Tv2k－1)))) +

∑

SymboleB@

k=12(qm－qm－1)M(T2m－1－Tv2m－2)sin (MHZ)(C1(1－σ0/q0)×

(Tv－Tv2m－2)+D1X1(－1+ex1(Tv－Tv2m－2))+

D2X2(－1+ex1(Tv－Tv2m－2))+

σ0/q0(D3X1(－1+ex1(Tv－Tv2m－2))+

D4X2(－1+ex1(Tv－Tv2m－2))))．(27)

当t2m＞t≥t2m－1时，q(t)=qm,m=1,2,3,…

u(t,Z)=∑(mk=1∑

SymboleB@

n=12(qk－qk－1)M(Tv2k－1－Tv2k－2)×

sin (MHZ)(C1(1－σ0/q0)(Tv2k－1－Tv2k－2)+

D1X1(ex1(Tv－Tv2k－2)－ex1(Tv－Tv2k－1))+

D2X2(ex2(Tv－Tv2k－2)－ex2(Tv－Tv2k－1))+

σ0/q0(D3X1(ex1(Tv－Tv2k－2)－ex1(Tv－Tv2k－1))+

D4X2(ex2(Tv－Tv2k－2)－ex2(Tv－Tv2k－1)))))． (28)

其中Tvi表示t=ti时刻的Tv值．

2.2.3 固结度的求解

设最后荷载值为qu，则

U=q(t)－1H∫H0udZqu.(29)

当t2m－1＞t≥t2m－2时,

q(t)=qm+qm－qm－1t2m－1－t2m－2(t－t2m－2)=

qm+Qm(t－t2m－2），m=1,2,3，…

U(t)=1qu((qm－1+qm－qm－1t2m－1－t2m－2(t－t2m－2))－

∑m－1k=1∑

SymboleB@

n=12(qk－qk－1)M2(Tv2k－1－Tv2k－2)×

(C1(1－σ0/q0)(Tv2k－1－Tv2k－2)+

D1x1(ex1(Tv－Tv2k－2)－ex1(Tv－Tv2k－1))+

D2x2(ex2(Tv－Tv2k－2)－ex2(Tv－Tv2k－1))+

σ0/q0(D3X1(ex1(Tv－Tv2k－2)－ex1(Tv－Tv2k－1))+

D4X2(ex2(Tv－Tv2k－2)－ex2(Tv－Tv2k－1))))+

∑

SymboleB@

n=12(qm－qm－1)M2(T2m－1－Tv2m－2) ×(C1(1－σ0/q0)×

(Tv－Tv2m－2)+D1x1(－1+ex1(Tv－Tv2m－2))+

D2x2(－1+ex2(Tv－Tv2m－2))+

σ0/q0(D3X1(ex1(Tv－Tv2k－2)－ex1(Tv－Tv2k－1))+

D4X2(ex2(Tv－Tv2k－2)－ex2(Tv－Tv2k－1))))．(30)

当t2m≥t≥t2m－1时,q(t)=qm，m=1,2,3，…

U(t)=qmqu－1qu(∑mk=1∑

SymboleB@

n=12(qk－qk－1)M2(Tv2k－1－Tv2k－2)

(C1(1－σ0/q0)(Tv2k－1－Tv2k－2)+

D1x1(ex1(Tv－Tv2k－2)－ex1(Tv－Tv2k－1))+

D2x2(ex2(Tv－Tv2k－2)－ex2(Tv－Tv2k－1))+

σ0/q0(D3X1(ex1(Tv－Tv2k－2)－ex1(Tv－Tv2k－1))+

D4X2(ex2(Tv－Tv2k－2)－ex2(Tv－Tv2k－1))))． (31)

3 计算实例

软土沉降一维固结解析解主要用于软土的沉降计算，在上节中已求解了分级加载情况下一维固结沉降的统一解，在本节中为验证推导公式的适用性，将黏弹性模型计算结果与实测结果、弹性模型下的计算结果进行比较.

岳-常高速公路是湖南省第一条大面积穿越洞庭湖区的高速公路，路线所经洞庭湖地段为典型的湖相软土沉积区，软土分布广泛且不均匀，深度从几米到几十米不等.同为软基，湖相软基与其他类型软基在沉积原因、组成物质、应力历史等方面都有较大的区别，必须探索不同于其他软基的处理方法[11-13].因此，设置软基试验段是一项必不可少的内容，主要从以下两方面考虑：一是通过沉降、位移的观测检验施工图设计的合理性，包括设计参数和计算成果的准确性.二是通过试验路施工，总结形成成套施工工艺、施工方法与质量控制措施，高效指导工程的大规模施工.为此，针对洞庭湖区地质状况，结合业主、设计和科研单位等多方意见，在岳阳、常德两地分别选取了相关试验段进行施工.

在本次试验中，按填土的高度不同分别选取填土高度为2.5 m左右的低路堤与填土高度为5.0 m左右的高路堤进行研究，为进行对比，选取两断面软土厚度均为10 m左右.为获取试验数据，选取典型试验断面分左、中、右3个位置分别埋设沉降板进行了相关的沉降观测．因本次分析主要考虑侧限条件下的路基沉降，故取中部沉降板的沉降观测数据进行对比分析较为合理.同时，对原状土进行了相关的室内试验，包括基本试验与改进西原模型下软土的蠕变试验.为考虑与理论推导下的侧限条件相似，本次蠕变模型试验采用全自动加载固结系统进行，按分级加载的方式进行加载.室内试验数据见表1，表2和表3.从表1可以看出，洞庭湖区软土的天然含水量、孔隙比和液限的平均值与海湾相软土较接近而与海相和三角洲相软土的相关指标相差较大，这主要因为湖相软土的沉积主要在静水中进行，其孔隙比较低，含水量和液限也相对较低.同时从表2和表3中也可以看出，在不同应力水平下，洞庭湖软土的蠕变也呈现不同的性状，具有显著的长期蠕变的特征.

表1 土的主要物理性质指标

Tab.1 The main physical property of soil

编

号

含水量

/%

孔隙

比e

重度γ

/(kN•m-3)

饱和度

塑限

IP/%

液限

IL/%

A

39.70

0.988

19.21

98.5~100

26.90

42.08

B

40.1

1.031

19.28

98.3~100

27.10

41.93

表2 低应力下模型参数拟合表

Tab.2 Fitting parameters of low stress level

σ

/kPa

E0

/MPa

E1

/MPa

K0

/（MPa•h）

K1

/（MPa•h）

R2

25

9.409

1.996

1 485.500

1.859

0.973 81

50

9.612

2.995

1 972.294

1.019

0.956 65

表3 高应力下模型参数拟合表

Tab.3 Fitting parameters of high stress level

σ

/kPa

σ0

/kPa

E0

/MPa

E1

/MPa

K0

/（MPa•h）

K1

/（MPa•h）

R2

100

11.43

5.171

2 067.162

1.429

0.948 75

20050

15.25

9.803

4 812.453

2.382

0.950 28300

55.78

24.151

10 437.530

21.903

0.963 25

为了验证本文理论公式的适用性，以表1，表2和表3数据为基础，根据本文所推导的公式对低路堤与高路堤在施工过程中的沉降进行了计算,低路堤计算参数根据路堤高度选取表2中50 kPa压力下的试验值,高路堤计算参数根据路堤高度选取表3中100 kPa压力下的试验值，弹性模型计算参数选取表2和表3中相应路堤高度下除去黏性常数的试验值.

本文蠕变模型下的计算结果与弹性理论计算结果、实测结果如图5和图6所示.从中可以看出：1) 低路堤情况下路基的实测沉降速度与Schiffman模型计算值比较接近，高路堤情况下路基的实测沉降速度则与改进的西原模型计算值比较接近；高路堤情况下，取相同计算参数时，Schiffman模型计算沉降速度比改进的西原模型计算沉降速度慢.以上情况说明，不同应力水平下软土具有不同的蠕变规律，必须采用不同的计算方法.2) 弹性模型的计算沉降速度在路堤加载完成后明显地大于实测沉降速度与蠕变模型的沉降速度，而后期沉降速度差别不大.说明在软基的沉降计算中，必须考虑软土蠕变特性对不同时期的沉降预测方法加以改进.

时间/d

图5 低路堤下软土路基沉降



Fig.5 Subgrade settlement under low

soft soil embankment

时间/d

图6 高路堤下软土路基沉降

Fig.6Subgrade settlement under high soft

soil embankment

4 结 论

1) 在传统西原模型的基础上，用Schiffman模型代替低应力水平下的Merchant模型，使得西原模型在不同应力水平下的公式通过应力阈值σ0的不同取值而得到统一，公式中各物理量意义明确，简单直观，方便了固结解析解的推导.

2) 利用改进的西原模型推导了软土流变一维固结的黏弹性解析解，通过实例计算表明，该公式能很好地预测软土路基的长期沉降.低应力水平下，软土沉降速率较慢；高应力水平下，软土沉降速率较快.因此，在长期沉降预测中必须根据不同的荷载水平而选择不同的计算方法.

3) 采用传统的一维固结理论计算软土沉降时没有考虑软土的蠕变或虽然考虑了蠕变但没有考虑不同应力水平对土体蠕变变形的影响，因此计算时过高地估计了施工期沉降，而对工后沉降则重视不足，采用本文所用方法能合理预估软土路基施工后沉降，减少对地面已完工建筑物的影响.

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