偶极声源在裸眼井及套管井外的横波辐射特征

曹景记，唐晓明，魏周拓

中国石油大学（华东）地球科学与技术学院，COSL-UPC声学测井联合实验室，青岛 266580

1 引言

声波远探测测井技术包括单极纵波和偶极横波两种方法，对于单极纵波方法，国内已经开展了大量的研究工作，见薛梅（2002）、楚泽涵等（2005），乔文孝等 （2004），车小花等（2004）以及何峰江（2005）、陶果等（2008）等发表的研究结果，在这些研究基础上，CNPC大港测井公司于2005年研制了新型远探测声波反射波测井仪器，取得了一定的应用效果.偶极横波方法则是近几年发展起来的，偶极横波远探测技术能够探测井周围数米到数十米范围内的地层构造及地质体（Yamamoto et al.，1998；Coates et al.，2000；Li et al.，2002；Tang et al.，2007），把常规测井技术的测量范围从井周一米左右提高到几十米，在分辨率和探测深度方面，填补了常规声波测井和井间地震之间的探测空白.

井中声源在地层中的辐射特性对声波远探测测井有重要的意义.明确不同地层类型及频率条件下声源的辐射特性对远探测仪器的研制有指导作用.Hornby（1989）提出了井中单极声源远探测测井的原理和方法，此后，人们对井中单极声源的辐射特性做了深入的研究，Meredith（1990）采用解析和数值相结合的方法研究了井中单极子声源在不同地层中的辐射特性；国内，车小花和乔文孝（2004）、陈雪莲和吴金平（2010）等人研究了套管井中相控声源的井外辐射特性.但对多极子声源，尤其是偶极声源在井外的辐射声场，尚未做深入研究.虽然偶极测井技术已问世多年，但人们对偶极声场的研究，主要是井孔内的声场（刘继生等，1998；周江来等，2011）.而在已有的偶极声场辐射分析中（Tang and Patterson，2009；Wei and Tang，2012），往往采用的是声场积分表达式的低频远场近似（以下称低频近似方法），其结果仅在波长远大于井径时成立.在现有的偶极声波远探测测井中，声源频率往往是数千赫兹，上述低频近似方法的适用范围有待考察.因此，声源在不同频率，不同地层类型中的辐射特性需要进一步深入研究，这是本文的主要研究目的之一.

偶极横波远探测技术的一个重要的应用前景是在套管井测井时找寻井外地层的油气构造.在国外，Bradley最近报道了偶极横波远探测技术在北欧北海地区的套管井中探测井外天然气构造的应用（Bradley et al.，2011）；在国内，利用偶极横波远探测技术也在套管井中看到了井外的地层构造（详见下文）.但是，套管对偶极声源辐射的影响的理论分析，尚未有报道.基于以上原因，本文重点研究了套管井中不同耦合情况下的SH横波远场辐射特性的变化规律，并与裸眼井的情况进行了对比分析.本文的结果加深了在裸眼井和套管井条件下，对偶极声源在不同类型地层中的辐射特性的认识，为偶极横波远探测技术的应用提供了理论支持.

2 基本理论和方法

采用如图1所示的直角坐标系，将一偶极声源置于沿z轴延伸，半径为a的充液井孔中，指向x轴正方向.θ是声源到辐射场点的辐射方向与z轴正方向之间的夹角，φ为辐射方向与z轴所在竖直平面的方位与偶极指向夹角的余角，uφ和uθ分别是SH及SV横波产生的位移，R是声源到场点之间的距离.本文只考虑声源的辐射横波，地层中横波的位移矢量场可表示为：

图1 充液井孔中的偶极声源向井外地层辐射的声场采用图示的直角坐标系描述Fig.1 A rectangular coordinate system is used to analyze the far-field radiation of a dipole source in a fluid-filled borehole

其中，r和z分别为径向和轴向距离，ω是圆频率，k是轴向波数，s是横波的径向波数；D和F分别是地层中SH和SV横波的振幅系数，S（ω）为声源函数谱.在裸眼井条件下，振幅系数由下面的矩阵方程确定：

其中，A是井中偶极声波的振幅系数，B为地层中纵波的振幅系数，这两者不在本文考虑之内；udf和分别为井中偶极声源在井壁上产生的径向位移和径向正应力.为了方便叙述，这里将（3）式右侧与声源有关的向量称为b向量，左侧的矩阵称为M矩阵.矩阵M和b的元素表达式详见附录A.

对于耦合良好的套管井，套管、水泥和地层组成了圆柱形层状介质.层与层之间的声场由汤姆森-哈斯克传播矩阵T连接.假定井壁和地层之间有N-1圆柱层，第j层内的传播矩阵gj由该层在内半径Rin下的T（j，Rin）矩阵和外半径Rout下的T（j，Rout）矩阵的逆矩阵相乘得到，即gj=T（j，Rin）·T-1（j，Rout）.所有层内g矩阵与地层中的T（N，Rmf）矩阵的乘积记为根据G 矩阵和M矩阵的推导，可以得到地层中SH和SV横波的振幅系数D和F，由下面矩阵方程确定：

这里的矩阵元素Mij以及方程右边的各变量与方程（3）相同，G矩阵的元素Gij可以由不同层内的T矩阵求出，T矩阵的元素表达式详见附录B.

套管井耦合不好的情况，可以在固体层之间加一液体层来模拟.因为固-固和固-液界面的边界条件不同，所以要对流体层的边界条件进行单独处理，再利用汤姆森-哈斯克传播矩阵T连接固体层之间的声场（唐晓明和郑传汉，2004）.最后得到以下矩阵方程来确定井外地层中SH和SV横波的振幅系数D和F：

式 中 O= ［A′，AL-1，BL-1，CL-1，DL-1，EL-1，FL-1，AL，BL，B，D，F］T，是一个含有十二个未知系数的向量，除井和流体层声波以及与流体层（序号L）相邻的固体层（序号L-1）的纵、横波振幅系数外，其中包括了待求的地层辐射波的振幅系数D和F.矩阵H的元素表达式详见附录C.

将地层中弹性波的位移势函数（式（2））代入到位移场表达式（式（1））中，得到井外无限大地层中SH和SV 横波在柱坐标系下位移分量的积分解

采用球坐标，则θ方向的位移分量为

式中，uφ为平行于水平面的质点位移，即SH型横波的位移，而uθ为与垂直向夹角为θ的方向上的SV型横波的位移.

在远探测测井中，考虑的是远离井轴地层中的地质构造，即辐射声场的远场情况.将最速下降法（郭敦仁，1978）用于（2）式中的积分表达式，得到辐射距离远大于波长条件下弹性横波位移势的远场渐近解（唐晓明和魏周拓，2012）

其中，k0=ωcosθ／β为轴向波数的横波最速下降解，β为地层横波速度.将（8）式代入（1）式，在忽略O（1／R2）的条件下便可得到井外无限大地层中SH和SV横波的位移远场渐近解，在频域内的表达式为

其中，ρ和μ分别是地层的密度和剪切模量.（9）式括号中的表达式分别定义了SH和SV横波的远场辐射指向性

将k=k0代入式（3）、（4）和（5）中可以分别对裸眼井和耦合良好与耦合不好的套管井的情况计算任意频率下的远场振幅系数D和F，再利用（10）式便可计算这些情况下偶极声场的远场辐射指向性.

3 数值计算结果及分析

3.1 算法对比验证

本文从偶极声场的远场渐近解出发，对不同声源频率、地层类型下裸眼井及套管井中偶极声源的远场横波辐射特性进行研究.为了考察该方法的可靠性和正确性，以SH横波为例，本文将利用远场渐近解（（9）式）模拟的波形结果与对（6）式中的积分表达式严格求解计算的波形结果进行了对比.求积分解的方法和步骤与求解井孔声场时相同（唐晓明和郑传汉，2004）.计算所用的地层、套管、水泥层以及井内流体的弹性参数如表1所示.

表1 模型计算参数Table 1 Model calculation parameters

图2是在快速地层中裸眼井的情况下，用SH横波位移的精确解和远场渐近解计算的波形的对比，计算所用井孔半径为0.104m，声源是频率为3000Hz的Kelly子波；接收器阵列放置于yoz面，且垂直于y轴，声源距离接收器阵列为5m，接收器间隔为1m，共计15个接收器.其中，黑色实线为精确解计算的结果，红色虚线为渐近解计算的结果.二者几乎完全重合，表明了在场点和声源之间的距离远大于波长的远场条件下，远场渐近解得到的结果是精确可靠的.

利用弹性横波位移的远场渐近解及其辐射指向性（10）式，我们来详细讨论不同声源频率、地层类型以及不同耦合情况的套管对偶极声源横波辐射特性的影响.

图2 快速地层条件下，SH横波位移的精确解和远场渐近解计算结果对比Fig.2 Comparison of SH waves using exact and asymptotic solution methods for the fast formation

3.2 不同声源频率下裸眼井中偶极声源远场辐射特性

迄今为止的井中偶极声源的辐射指向性分析都是利用远场辐射结果（式（6），（7））在低频条件（波长远大于井径）下得到的（唐晓明和魏周拓，2012），以下称低频近似法；而本文所采用的横波位移的远场渐近解对任意频率都是适用的，以下称远场渐近法.我们可以比较这两种方法的计算结果，并以此来考察低频近似方法的适用性.先讨论声源频率为400Hz的低频情况.图3给出了快速地层中SH和SV横波的远场辐射指向性，其中，径向刻度（0.5、1和1.5）表示了单位强度的声源辐射到地层中的SH和SV横波相对幅度值（以下各图中该刻度的意义相同，不再赘述），竖直方向代表井轴.图中外部和内部的实线分别表示利用低频近似法得到的SH及SV横波的远场辐射指向性，空心圆圈和叉号则分别表示利用远场渐近法（（10）式）计算得到的SH及SV横波的波幅的指向性.计算SH指向性时，取φ=0°，场点位于yoz平面内；计算SV指向性时，取φ=90°，场点位于xoz平面内.在这两个参考平面之外的SH和SV的辐射指向性则分别以cosφ和sinφ的形式呈规律性的变化，如式（10）所示.因此，在以下的讨论中，我们只考虑这两个参考平面中的SH或SV的辐射指向性.

图3 在快速地层条件下，声源频率为400Hz时，远场渐近法（标识符号）和低频近似法（曲线）得到的SH和SV横波的辐射指向性的对比.径向刻度为波幅Fig.3 SH-and SV-wave radiation patterns from asymptotic solution （markers）and low-frequency approximation solution（curves）for the fast formation at source frequency 400Hz.Radial labels denote radiation amplitude

对比这两种方法的计算结果，可以看出两者吻合很好，表明在满足低频条件时，低频近似的方法是适用的.图中SH横波在竖直平面内均匀辐射，呈圆形，而SV横波的辐射呈现上下对称的两个圆，且在水平方向存在零点；此外，SH横波的幅度恒大于SV横波.综上可知SH较SV对井外不同倾角的反射体具有更好的辐射覆盖性.这种低频条件下的偶极辐射指向性与单力源在无限大弹性介质中的情形相似（Ben-Menahem and Kostek，1991），说明低频时，井孔对辐射声场几乎没有影响，但是，随着频率增加，波长变短，井孔对辐射场的调制作用变得重要起来.

图4给出了声源频率为3700Hz时，快速地层中SH和SV横波的远场辐射指向性，计算所用频率在常规偶极测井的频率范围内.这时低频近似解所需的条件不再满足.图中的实线和虚线表示利用（10）式计算得到的SH和SV横波分别在yoz和xoz平面内的辐射指向性.图4与图3低频的情况相比，辐射波幅大大增加，辐射指向，特别是SH的指向，向水平面方向显著增强，说明此时探测与井平行或大致平行的反射体，比探测与井斜交的反射体更为有利.图4与图3对比表明在常规测井频率下，井孔对辐射声场有明显的调制作用，低频近似的结果不再可靠，这时应该采用远场渐近解的结果.

图4 在快速地层条件下，声源频率为3700Hz时，SH和SV横波的辐射指向性.径向刻度为波幅Fig.4 SH-and SV-wave radiation patterns for the fast formation at source frequency 3700Hz.Radial labels denote radiation amplitude

3.3 慢速地层对偶极声源远场辐射特性的影响

在相同的工作频率下，井中偶极声源在慢速地层中辐射波的波长较快速地层时大为减少，使得井孔对声场辐射指向的调制作用增强.图5给出了声源频率为3700Hz时，慢速地层中SH和SV横波的远场辐射指向性，实线和虚线表示利用（10）式计算得到的SH和SV横波分别在yoz和xoz平面内的辐射指向性.与图4快速地层情况相比，SH和SV横波的辐射波幅大为降低，其指向性在井轴方向大为压缩，体现了慢速地层中，由于波长变短，井孔对辐射声场的调制作用增强.对比这两种情况下SH及SV横波的辐射指向性，可以得知，快速地层条件下SH和SV横波的辐射性能及其在竖直平面内的辐射覆盖性较慢速地层要好.

图5 在慢速地层条件下，声源频率为3700Hz时，SH和SV横波的辐射指向性.径向刻度为波幅Fig.5 SH-and SV-wave radiation patterns for the slow formation at source frequency 3700Hz.Radial labels denote radiation amplitude

偶极横波远探测在套管井中的研究和应用目前开展的还很少.由于套管井的大量存在，研究套管井中偶极声源在井外地层中的辐射特性是十分必要的.在偶极横波远探测中，由于SH较SV具有更为重要的地位，所以在以下套管井的讨论中，只对地层SH横波的远场辐射指向性做详细研究.

3.4 套管井中SH横波辐射特性

我们讨论两种情况：① 套管与地层耦合良好，② 套管与地层没有耦合（称为自由套管情况）.在①的情况下，声源产生的声场透过套管、水泥环，然后辐射到地层中去，这种情况的辐射声场的振幅系数由式（4）给出.在②的情况下，穿过套管的波还需透过套管与地层之间的流体环，这种情况的辐射声场的振幅系数由式（5）描述.图6给出了声源频率为3700Hz时，裸眼井、套管耦合良好和自由套管下快速地层（表1）中的SH横波的远场辐射指向性.模拟计算中流体环的厚度为24mm.最外部实线（Open）表示裸眼井情况下的辐射指向性，中间的虚线（Free）代表自由套管下的指向性，最内部的实线（Good）表示套管耦合良好下的指向性.从辐射到地层中的SH横波的波幅大小来看，裸眼井情况下声源辐射到地层中的SH波能量最大，其次是自由套管，反而当套管耦合良好时，声源辐射到地层中的SH横波能量最小.这是因为紧邻声源的钢套管的声阻抗远比地层的大，这一高阻抗层的存在明显地降低了辐射到地层中的声场能量.在自由套管情况下，套管与地层解耦，在声源作用下振动增强，故辐射的声场能量也随之增大.总的来讲，虽然加套管之后，声源辐射到地层中的SH横波的能量有所减小，但是与裸眼井的情况相比，没有量级上的差别，表明在快速地层的套管井中进行偶极横波远探测是可行的.

图6 裸眼井、套管耦合良好和自由套管条件下，声源频率为3700Hz时，快速地层中SH横波的辐射指向性Fig.6 Radiation patterns of SH waves for open hole，cased hole with good bonding，and cased hole with freepipe condition.Fast formation of Table 1is used and source frequency is 3700Hz

我们来考察慢速地层情况下，套管对偶极辐射的影响.图7给出了声源频率为3700Hz时，裸眼井（Open）、套管耦合良好（Good）和自由套管（Free）下慢速地层 （表1）中的SH横波的远场辐射指向性.从辐射指向性的波幅大小来看，慢速地层中辐射波幅与快速地层（图6）相比大为降低.虽然这时裸眼井情况下声源辐射到地层中的能量仍然最大，但自由套管下辐射到地层中的能量比套管耦合良好时的能量小，这与快速地层的情况相反.造成这种情况的原因是：慢速地层中的自由套管会向地层辐射出马赫波，从而减少了声源向地层的直接辐射，这一情况的模拟和解释将另文讨论.总体来讲，套管的存在，使得偶极声场的辐射较裸眼井时降低.虽然声源在井外地层中的辐射声场具有一定的能量，但与快速地层的情况相比，辐射能量大幅度降低.由此可以推测慢速地层套管井中偶极横波远探测的信噪比比快速地层时要低.

图7 裸眼井、套管耦合良好和自由套管条件下，声源频率为3700Hz时，慢速地层中SH横波的辐射指向性Fig.7 Radiation patterns of SH waves for open hole，cased hole with good bonding，and cased hole with freepipe condition.Slow formation of Table 1is used and source frequency is 3700Hz

4 实例分析

综合本文的理论预测结果，我们对一个套管井中偶极横波远探测成像的实例进行分析和解释.图8中第一道是西北某一快速地层的套管井中偶极横波测井的原始波形图，显示的主要为沿井传播的弯曲波.第二道显示了成像井段的深度.声源辐射到井外，并由地层中反射体反射回来的波的振幅一般很小，被淹没或隐藏于弯曲波之中.但是，通过成像处理，这些反射波可以被提取出来，并用于反射体的成像处理.处理结果由图中的第三和第四道所示.由于偶极声源的指向性，采用四分量的测量数据（xx，xy，yx，yy；图中第一道显示的是xx分量的数据），可以选择不同的辐射方向进行成像.第三和第四道的辐射方向分别是N—S和E—W方向.由图中的成像结果可见，在X628m的深度左右，距井约10m处，存在一近乎于垂直的反射体（图中红色椭圆所圈部分）.该反射体在N—S方向上清晰可见，但在E—W方向上的成像结果相对模糊，幅值较低.在垂直反射体所处深度之上，存在一个过井的倾斜反射体构造（黑色虚线所示），在这两个辐射方向上都可以看到，且清晰度相当.图8套管井远探测成像探到的井外反射体证实了前面关于套管井中进行远探测测井的可行性预测，同时还看到了成像结果具有偶极辐射所示的方向性.下面我们对成像结果做进一步的理论分析.

对于一个与井近乎平行的反射体，波的辐射和反射的路径与井轴近乎垂直，即（10）式的θ取值差不多是90°，由（10）式可知这时辐射的SV波为零，反射波几乎完全是SH波的贡献.（10）式表明SH波幅随辐射方位角呈cosφ变化规律.图8中垂直反射体在第三道中N—S方向上成像较强，在第四道中E—W方向上成像较弱，表明N—S辐射方向与垂直反射体的走向之间的夹角φ比E—W方向时小.偶极辐射理论表明当反射体的走向与声源指向平行时（φ=0°）其受到的SH波辐射为最强.图8中的成像结果表明反射体的走向差不多是在N—S方向.对这一套管井中远探测成像实例的分析结果与前述的偶极声源在套管井中的辐射特征相符合.

5 结论

通过以上研究工作，得出以下结论：

（1）远探测测井时偶极声源辐射的远场声场是几何扩散因子为距离倒数的球面波，但地层类型，声源频率及套管的存在与否对辐射指向性有明显的调制作用；

（2）声源频率越高，地层（横波）速度越低，即波长相对于井径越小时，调制作用越明显，当辐射指向偏向于井轴时更是如此；

（3）在快速地层中的套管井中进行偶极横波远探测测井，无论套管与地层是否耦合，都是可行的，尽管套管的存在使得辐射到地层中的能量（相对于裸眼井的情况）有所降低.对套管井远探测成像实例的分析证明了偶极声源辐射的理论结果.

图8 在快速地层条件下，套管井中偶极横波远探测成像处理结果Fig.8 A cased-hole single-well shear-wave imaging example

附录

A 裸眼井条件下M矩阵和b向量各元素表

达式

其中，a 是井孔半径，k是轴向波数，f= （k2-k2f）1／2是井中流体声波的径向波数，p= （k2-ω2／α2）1／2是地层纵波的径向波数，s= （k2-ω2／β2）1／2是地层横波的径向波数，ρf是流体密度，ρ是地层密度，ω是圆频率，α是地层纵波速度，β是地层横波速度.

B 套管井（耦合良好）条件下T矩阵各元素

表达式

C 自由套管条件下H矩阵各元素表达式

其中，r2是套管与流体层界面到井轴的距离，r3是地层到井轴的距离.由T矩阵元素表示的H 元素的说明如下：T右上角的数字代表圆柱层序号（套管、流体环、地层的序号分别为1、2、3），右上角的字母i代表在层的内半径处取值，t代表在层的外半径处取值，未列出的矩阵H的元素取值为0.

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