用三维实体单元分析薄壁箱型结构应注意的问题

武世靖

摘要： 从四边固定正方形板受均布载荷的经典问题入手，结合不同类型单元的特点，探讨应用三维实体单元分析薄壁箱型结构时应注意的几个问题，纠正三维实体单元分析和应用的误区，为提高结构分析计算结果精度提供参考.

关键词： 薄壁箱型结构； 均布载荷； 三维实体单元； 有限元

中图分类号： TH123.3；TB115.1文献标志码： B

Abstract： Starting from the classic issue of the effect of uniform load on square plate with four fixed sides， several issues that should be paid attention to during the thinwall box structure analysis using 3D solid elements are discussed combining with the characteristics of different types of elements， and the misunderstanding of the solid element analysis and application is rectified. The results can provide reference for the accuracy of structure analysis and calculation.

Key words： thinwall box structure； uniform load； 3D solid element； finite element

0引言

自由网格划分技术是自动化程度最高的网格划分技术之一，可以在曲面上自动生成三角形或四边形网格，在几何实体上自动生成四面体网格，能够把三维实体模型原封不动地应用于结构分析模型，方便快捷、省时省力，尤其对于复杂几何模型分析，其优势非常突出.由于该方法只能生成四面体单元，因此不考虑结构特征而统统使用4节点三维实体单元的现象很常见.在许多情况下，薄壁箱型结构（如起重机桥架、桁架结构如角钢和槽钢等）也用自由网格划分技术划分为四面体网格，至于用该方法建立力学模型其求解精度如何、能否满足工程实际要求以及应当注意哪些问题等尚无定论.

在应用有限元法解决工程实际问题时，建立正确的力学模型，求得正确的、高精度的计算结果是分析的根本，也是结构分析人员的职责.四面体网格处理方法的计算精度怎样？如何正确选择使用实体单元和板壳单元以保证求解精度？使用实体单元模拟薄壁箱型结构时，如何把握单元类型、网格密度与求解精度的关系？单元类型、网格密度对结构应力分析、应变分析和模态分析结果的影响有多大？4节点四面体单元精度比10节点四面体单元、六面体单元精度低，但低到什么程度，两者差异有多大，在实际应用过程中如何把握？……这些问题一直困扰着众多结构分析人员.本文用一个四边固定、承受均布载荷正方形板的经典算例，针对不同板厚，通过对比分析选用不同单元类型得到的静力计算结果和模态结果，说明用三维实体单元分析薄壁箱型结构时应注意的几个问题，期望能给结构分析人员一点启示，纠正三维实体单元分析应用的误区，为提高结构分析结果计算精度提供一种合理、可行的方法.

1计算实例分析

1.1问题描述

1.2单元类型对计算结果的影响

在进行结构有限元分析时，单元类型的选取非常重要：合适的单元类型可以减小计算模型，贴近实际结构，提高计算效率；选取的单元类型不合适，则可能会影响计算结果的正确性和可靠性.

分别选用4节点和8节点四边形单元，4节点和10节点四面体单元以及8节点和20节点六面体单元，取h=10 mm，q=0.01 N/mm2，中心点挠度级数解z=0.655 mm.在均布载荷作用下几种常用单元类型的不同单元网格有限元计算结果见表1，可知，对于厚宽比h/b=1/100的薄板结构：若选用4节点四边形板壳单元，随着单元网格密度的增加，板中心点挠度的计算结果可以逐步趋近解析解；若选用8节点四边形板壳单元，板中心点挠度的计算结果很快接近解析解并趋于稳定；选用4节点四面体实体单元时，网格已经划得很密（5 mm×5 mm），所求得的位移和应力结果均不能令人满意，模态分析求得的第一阶固有频率误差更大；在10节点四面体单元网格密度增加后，位移和模态分析的计算结果尚可，但应力结果仍误差较大；选择8节点六面体单元或20节点六面体单元，当单元网格密度相当时，位移、应力和模态分析结果计算精度较好，但是节点和单元数量迅速增长，导致计算时间延长，工作效率降低.

由此可见，对于薄板箱型结构：选用四边形板壳单元模拟，计算规模小、收敛速度快、计算精度高；在选用实体单元模拟薄板箱型结构时，六面体单元的位移、应力和第一阶模态的计算精度高，结果趋于稳定；四面体单元的计算精度要差一些，其中，10节点单元的应力计算精度远低于其位移和模态的计算精度，如不注意有可能位移计算结果不错但应力计算结果与真实应力相差较大.从节点和单元数量上看，如果用精度相同作为衡量指标，在单元和节点数量相同时，高阶单元的求解精度远高于低阶单元，在应力集中处即使较粗糙的网格，也可以得到较精确的应力值.因此，分析薄板结构选择单元类型的优先顺序为板壳单元、六面体单元、四面体单元，并优先选择高阶单元.在选用实体单元模拟时一定要慎重，要优先选用如20节点六面体单元、8节点六面体单元等六面体单元，因为六面体具有良好的扭转弯曲精度，在网格密度合适的情况下，使用六面体单元即可获得高精度且计算时间短.对于主要关注结构刚度而对应力要求不高的情形，可以选用10节点单元，但在应力集中分析和接触分析时应慎用.4节点四面体单元的扭转和弯曲精度相对较差，应尽量少用.另外，也可以用高阶单元与低阶单元联合使用的方法提高求解精度，以免计算结果误差很大而无法觉察，把不合格的计算结果用于工程设计研发.

1.3板厚对计算结果的影响

如前文所述，用三维实体单元模拟板壳结构的关键问题是计算精度和效率问题.三维实体单元固然很好，很方便，但如果兼顾精度和效率，它并不适用于所有场合.

根据板壳理论，薄板一般指厚宽比（1/80～1/100）

从有限元分析原理来看，实际变形体是无限自由度的体系；当用有限元求解时离散化模型的位移场是由节点位移参数即自由度构造的，故问题变成有限自由度体系.由无限自由度变成有限自由度可认为是在真实位移场上增加约束，强制其变成离散化模型的位移场，导致体系的刚度增加、位移减小、基频升高，因而对模态分析、动力响应分析结果影响较大.在离散过程中对曲线边界以直代曲处理时不可避免地形成离散误差，可增加单元网格密度使单元逐渐细化，自由度增多，相当于使离散化模型逐步解除约束，减小刚度；当单元网格足够密时，有限元数值解逼近精确解.所以，细化网格是解决离散误差的有效方法.因此，离散化的基本要求是在网格划分时相邻单元应尽可能大小接近，以免产生刚度矩阵总装时大数与小数相加减等导致精度（有效数字）损失较大.另外，同一单元最大尺寸与最小尺寸之比应尽可能接近1，最多不超过2.薄板结构厚度与宽度相差较大，如果选用三维实体单元进行网格划分，若沿板厚法线方向划分多层单元，并实现同一单元最大尺寸与最小尺寸之比接近于1，需要相当大的网格密度，其计算规模增大程度可想而知.

造成有限元解误差的另一个主要原因是单元位移函数与实际位移的差异.由于单元位移插值函数为多项式，所以高阶单元曲线或曲面边界能更好地逼近结构的边界曲线或曲面，高次位移函数能更好地逼近结构的位移分布.单元的多项式位移插值函数阶次越高，精度越高，收敛速度也越快，反之亦然.由分析单元的位移模式和形函数可知，4节点单元插值多项式的最高次数为一次，8节点平面等参元的位移模式为包含完全二次多项式的不完全三次多项式，20节点三维等参元的位移模式沿某个自然坐标为完全二次多项式.20节点六面体单元的精度要比4节点四面体单元高得多，收敛速度也快得多.因此，选用高阶单元可提高计算精度.当结构形状不规则、应力分布或变形很复杂时应优先选用高阶单元，但在用实体单元模拟板壳结构时，选择高阶单元就意味着网格节点数的增加，在网格数量相同情况下由高阶单元组成的模型规模相对较大.因此，在实际应用时应综合考虑计算精度和工作效率.

值得注意的是，有限元法广泛应用位移法，以位移参数作为基本参数，在位移分析中先求得节点位移解，再由几何方程和本构关系求得应力解.所以，有限元位移解精度高于应力解，且对于许多单元，其所构造的位移场仅是位移协调，应变并不协调，是影响有限元解精度的原因之一.对于对应力、应变及模态分析要求较高的场合，为保证计算精度，要选用高精度单元，不宜使用常应变单元等低精度单元.所以，在用实体单元模拟板壳结构时，应当走出不管实际问题如何统统选用4节点四面体单元的误区.

3几点建议

有限元网格划分的基本原则是在保证计算精度和效率的前提下，对模型进行必要简化，使得单元网格数量少、存储规模小、计算速度快、结果精度高，达到模型规模、计算时间和求解精度的协调统一.需要考虑的因素除网格数量、网格密度、网格质量和求解时间等外，单元类型和单元阶次也是必须考虑的.针对用实体单元模型模拟板壳结构的问题，有以下几点建议.

（1）对于厚宽比小于0.1的薄板结构或外径与厚度比大于5的圆柱形容器，在进行结构分析时，最好用板单元模拟.

（2）对于厚板或剪切效应不能忽略的结构，可优先选用高阶三维实体单元，如20节点六面体单元、8节点六面体单元等，但要注意同一单元的最大尺寸和最小尺寸之比应尽可能接近于1，最多不超过2，以免因在厚度方向的单元层数太少而导致计算结果误差增大.

（3）10节点四面体单元可用于刚度计算，不建议用于应力集中和接触计算.

（4）4节点四面体单元计算精度较低，应尽量少用.

（5）在选用高阶单元实际应用时还应综合考虑计算精度和工作效率.

4结束语

对于复杂结构，综合运用多种手段建立高质量、高计算效率的力学模型是保证有限元求解精度极其重要的一步.单元网格划分是看起来简单而实际上技巧性很强的工作，需要对实际结构、材料、载荷、约束和任务特性等方面的正确分析和认识，对力学理论和有限元分析方法的熟知以及对实际经验的总结和归纳.只有正确认识、深刻理解有限元各种单元的求解原理和特点，才能针对具体问题有的放矢地选择合适的单元类型，实现模型规模、计算时间和求解精度的协调统一，高水平、高精度、高效率地解决工程实际问题，否则就有可能用错误的或低精度的分析结果来指导工程实践而导致失败.

参考文献：

[1]王焕定， 吴德伦. 有限元法及计算程序 [M]. 北京： 中国建筑工业出版社， 1997： 145146.

[2]梁清香， 张根全. 有限元与Marc实现[M]. 北京： 机械工业出版社， 2003： 234.

[3]郭乙木， 陶伟明. 线性与非线性有限元及其应用[M]. 北京： 机械工业出版社， 2004： 107108.

[4]曾攀. 有限元分析基础教程[M]. 北京： 清华大学出版社， 2008： 216221.

[5]高素荷. 网格划分密度与有限元求解精度研究[C]//第三届中国CAE工程分析技术年会论文集. 大连， 2007： 497502.

1.3板厚对计算结果的影响

如前文所述，用三维实体单元模拟板壳结构的关键问题是计算精度和效率问题.三维实体单元固然很好，很方便，但如果兼顾精度和效率，它并不适用于所有场合.

根据板壳理论，薄板一般指厚宽比（1/80～1/100）

从有限元分析原理来看，实际变形体是无限自由度的体系；当用有限元求解时离散化模型的位移场是由节点位移参数即自由度构造的，故问题变成有限自由度体系.由无限自由度变成有限自由度可认为是在真实位移场上增加约束，强制其变成离散化模型的位移场，导致体系的刚度增加、位移减小、基频升高，因而对模态分析、动力响应分析结果影响较大.在离散过程中对曲线边界以直代曲处理时不可避免地形成离散误差，可增加单元网格密度使单元逐渐细化，自由度增多，相当于使离散化模型逐步解除约束，减小刚度；当单元网格足够密时，有限元数值解逼近精确解.所以，细化网格是解决离散误差的有效方法.因此，离散化的基本要求是在网格划分时相邻单元应尽可能大小接近，以免产生刚度矩阵总装时大数与小数相加减等导致精度（有效数字）损失较大.另外，同一单元最大尺寸与最小尺寸之比应尽可能接近1，最多不超过2.薄板结构厚度与宽度相差较大，如果选用三维实体单元进行网格划分，若沿板厚法线方向划分多层单元，并实现同一单元最大尺寸与最小尺寸之比接近于1，需要相当大的网格密度，其计算规模增大程度可想而知.

造成有限元解误差的另一个主要原因是单元位移函数与实际位移的差异.由于单元位移插值函数为多项式，所以高阶单元曲线或曲面边界能更好地逼近结构的边界曲线或曲面，高次位移函数能更好地逼近结构的位移分布.单元的多项式位移插值函数阶次越高，精度越高，收敛速度也越快，反之亦然.由分析单元的位移模式和形函数可知，4节点单元插值多项式的最高次数为一次，8节点平面等参元的位移模式为包含完全二次多项式的不完全三次多项式，20节点三维等参元的位移模式沿某个自然坐标为完全二次多项式.20节点六面体单元的精度要比4节点四面体单元高得多，收敛速度也快得多.因此，选用高阶单元可提高计算精度.当结构形状不规则、应力分布或变形很复杂时应优先选用高阶单元，但在用实体单元模拟板壳结构时，选择高阶单元就意味着网格节点数的增加，在网格数量相同情况下由高阶单元组成的模型规模相对较大.因此，在实际应用时应综合考虑计算精度和工作效率.

值得注意的是，有限元法广泛应用位移法，以位移参数作为基本参数，在位移分析中先求得节点位移解，再由几何方程和本构关系求得应力解.所以，有限元位移解精度高于应力解，且对于许多单元，其所构造的位移场仅是位移协调，应变并不协调，是影响有限元解精度的原因之一.对于对应力、应变及模态分析要求较高的场合，为保证计算精度，要选用高精度单元，不宜使用常应变单元等低精度单元.所以，在用实体单元模拟板壳结构时，应当走出不管实际问题如何统统选用4节点四面体单元的误区.

3几点建议

有限元网格划分的基本原则是在保证计算精度和效率的前提下，对模型进行必要简化，使得单元网格数量少、存储规模小、计算速度快、结果精度高，达到模型规模、计算时间和求解精度的协调统一.需要考虑的因素除网格数量、网格密度、网格质量和求解时间等外，单元类型和单元阶次也是必须考虑的.针对用实体单元模型模拟板壳结构的问题，有以下几点建议.

（1）对于厚宽比小于0.1的薄板结构或外径与厚度比大于5的圆柱形容器，在进行结构分析时，最好用板单元模拟.

（2）对于厚板或剪切效应不能忽略的结构，可优先选用高阶三维实体单元，如20节点六面体单元、8节点六面体单元等，但要注意同一单元的最大尺寸和最小尺寸之比应尽可能接近于1，最多不超过2，以免因在厚度方向的单元层数太少而导致计算结果误差增大.

（3）10节点四面体单元可用于刚度计算，不建议用于应力集中和接触计算.

（4）4节点四面体单元计算精度较低，应尽量少用.

（5）在选用高阶单元实际应用时还应综合考虑计算精度和工作效率.

4结束语

对于复杂结构，综合运用多种手段建立高质量、高计算效率的力学模型是保证有限元求解精度极其重要的一步.单元网格划分是看起来简单而实际上技巧性很强的工作，需要对实际结构、材料、载荷、约束和任务特性等方面的正确分析和认识，对力学理论和有限元分析方法的熟知以及对实际经验的总结和归纳.只有正确认识、深刻理解有限元各种单元的求解原理和特点，才能针对具体问题有的放矢地选择合适的单元类型，实现模型规模、计算时间和求解精度的协调统一，高水平、高精度、高效率地解决工程实际问题，否则就有可能用错误的或低精度的分析结果来指导工程实践而导致失败.

参考文献：

[1]王焕定， 吴德伦. 有限元法及计算程序 [M]. 北京： 中国建筑工业出版社， 1997： 145146.

[2]梁清香， 张根全. 有限元与Marc实现[M]. 北京： 机械工业出版社， 2003： 234.

[3]郭乙木， 陶伟明. 线性与非线性有限元及其应用[M]. 北京： 机械工业出版社， 2004： 107108.

[4]曾攀. 有限元分析基础教程[M]. 北京： 清华大学出版社， 2008： 216221.

[5]高素荷. 网格划分密度与有限元求解精度研究[C]//第三届中国CAE工程分析技术年会论文集. 大连， 2007： 497502.

1.3板厚对计算结果的影响

如前文所述，用三维实体单元模拟板壳结构的关键问题是计算精度和效率问题.三维实体单元固然很好，很方便，但如果兼顾精度和效率，它并不适用于所有场合.

根据板壳理论，薄板一般指厚宽比（1/80～1/100）

从有限元分析原理来看，实际变形体是无限自由度的体系；当用有限元求解时离散化模型的位移场是由节点位移参数即自由度构造的，故问题变成有限自由度体系.由无限自由度变成有限自由度可认为是在真实位移场上增加约束，强制其变成离散化模型的位移场，导致体系的刚度增加、位移减小、基频升高，因而对模态分析、动力响应分析结果影响较大.在离散过程中对曲线边界以直代曲处理时不可避免地形成离散误差，可增加单元网格密度使单元逐渐细化，自由度增多，相当于使离散化模型逐步解除约束，减小刚度；当单元网格足够密时，有限元数值解逼近精确解.所以，细化网格是解决离散误差的有效方法.因此，离散化的基本要求是在网格划分时相邻单元应尽可能大小接近，以免产生刚度矩阵总装时大数与小数相加减等导致精度（有效数字）损失较大.另外，同一单元最大尺寸与最小尺寸之比应尽可能接近1，最多不超过2.薄板结构厚度与宽度相差较大，如果选用三维实体单元进行网格划分，若沿板厚法线方向划分多层单元，并实现同一单元最大尺寸与最小尺寸之比接近于1，需要相当大的网格密度，其计算规模增大程度可想而知.

造成有限元解误差的另一个主要原因是单元位移函数与实际位移的差异.由于单元位移插值函数为多项式，所以高阶单元曲线或曲面边界能更好地逼近结构的边界曲线或曲面，高次位移函数能更好地逼近结构的位移分布.单元的多项式位移插值函数阶次越高，精度越高，收敛速度也越快，反之亦然.由分析单元的位移模式和形函数可知，4节点单元插值多项式的最高次数为一次，8节点平面等参元的位移模式为包含完全二次多项式的不完全三次多项式，20节点三维等参元的位移模式沿某个自然坐标为完全二次多项式.20节点六面体单元的精度要比4节点四面体单元高得多，收敛速度也快得多.因此，选用高阶单元可提高计算精度.当结构形状不规则、应力分布或变形很复杂时应优先选用高阶单元，但在用实体单元模拟板壳结构时，选择高阶单元就意味着网格节点数的增加，在网格数量相同情况下由高阶单元组成的模型规模相对较大.因此，在实际应用时应综合考虑计算精度和工作效率.

值得注意的是，有限元法广泛应用位移法，以位移参数作为基本参数，在位移分析中先求得节点位移解，再由几何方程和本构关系求得应力解.所以，有限元位移解精度高于应力解，且对于许多单元，其所构造的位移场仅是位移协调，应变并不协调，是影响有限元解精度的原因之一.对于对应力、应变及模态分析要求较高的场合，为保证计算精度，要选用高精度单元，不宜使用常应变单元等低精度单元.所以，在用实体单元模拟板壳结构时，应当走出不管实际问题如何统统选用4节点四面体单元的误区.

3几点建议

有限元网格划分的基本原则是在保证计算精度和效率的前提下，对模型进行必要简化，使得单元网格数量少、存储规模小、计算速度快、结果精度高，达到模型规模、计算时间和求解精度的协调统一.需要考虑的因素除网格数量、网格密度、网格质量和求解时间等外，单元类型和单元阶次也是必须考虑的.针对用实体单元模型模拟板壳结构的问题，有以下几点建议.

（1）对于厚宽比小于0.1的薄板结构或外径与厚度比大于5的圆柱形容器，在进行结构分析时，最好用板单元模拟.

（2）对于厚板或剪切效应不能忽略的结构，可优先选用高阶三维实体单元，如20节点六面体单元、8节点六面体单元等，但要注意同一单元的最大尺寸和最小尺寸之比应尽可能接近于1，最多不超过2，以免因在厚度方向的单元层数太少而导致计算结果误差增大.

（3）10节点四面体单元可用于刚度计算，不建议用于应力集中和接触计算.

（4）4节点四面体单元计算精度较低，应尽量少用.

（5）在选用高阶单元实际应用时还应综合考虑计算精度和工作效率.

4结束语

对于复杂结构，综合运用多种手段建立高质量、高计算效率的力学模型是保证有限元求解精度极其重要的一步.单元网格划分是看起来简单而实际上技巧性很强的工作，需要对实际结构、材料、载荷、约束和任务特性等方面的正确分析和认识，对力学理论和有限元分析方法的熟知以及对实际经验的总结和归纳.只有正确认识、深刻理解有限元各种单元的求解原理和特点，才能针对具体问题有的放矢地选择合适的单元类型，实现模型规模、计算时间和求解精度的协调统一，高水平、高精度、高效率地解决工程实际问题，否则就有可能用错误的或低精度的分析结果来指导工程实践而导致失败.

参考文献：

[1]王焕定， 吴德伦. 有限元法及计算程序 [M]. 北京： 中国建筑工业出版社， 1997： 145146.

[2]梁清香， 张根全. 有限元与Marc实现[M]. 北京： 机械工业出版社， 2003： 234.

[3]郭乙木， 陶伟明. 线性与非线性有限元及其应用[M]. 北京： 机械工业出版社， 2004： 107108.

[4]曾攀. 有限元分析基础教程[M]. 北京： 清华大学出版社， 2008： 216221.

[5]高素荷. 网格划分密度与有限元求解精度研究[C]//第三届中国CAE工程分析技术年会论文集. 大连， 2007： 497502.