音乐与数学的关系初探

彭建荣 (陕西师范大学音乐学院 陕西西安 710100)

音乐与数学的关系初探

彭建荣 (陕西师范大学音乐学院 陕西西安 710100)

在信息技术飞速发展的今天，音乐理论、音乐作曲、电子音乐制作等方面，都需要数学。同时，在音乐界也有一些数学素养很好的学者为音乐的发展做出了重要的贡献。他们和我们都希望有志于音乐事业的同学们学好数学，因为在将来的音乐事业中，数学将起着非常重要的作用。小提琴协奏曲《梁祝》优美动听的旋律、《十面埋伏》的铮铮琵琶声、贝多芬令人激动的交响曲，田野中昆虫啁啾的鸣叫等等。当我们沉浸在这些美妙的音乐中时，我们是否想到了它们与数学有着密切的关系？

音乐；数学；毕达哥拉斯

长久以来，音乐和数学一直被联系在一起。从基本的阿拉伯数字到“黄金分割”，音乐中不仅包含了数学中的“数列”“变换”等知识，而且乐谱的书写乃至乐器的制作等等也无不透着数学的踪影。数学家研究音乐，音乐家们也在探索数学的奥秘。正因如此，越来越多的人开始关注音乐，思考音乐与数学的关系!

其实，人们对数学与音乐之间联系的认识和研究可以说源远流长。在2500年前，古希腊哲学家、数学家毕达哥拉斯曾发现了一个规律，“音响的和谐与发声体体积的一定比例有关”。比如，当一根琴弦被缩短到原来长度的一半时，拨动琴弦，音调将提高8度；比率为3∶2和4∶3时，相对应的是提高5度和4度的和声。“当时毕达哥拉斯学派用比率将数学与音乐联系起来。他们把‘数’看作是万物的本源体，认为世界上的一切事物都是由一定的数及其相互关系构成的，并表现出了数的和谐性。他们还认为，音乐的和谐是由于数的原因才得以实现，没有了数，也就失去了音乐艺术的存在价值。”1

在我国《管子•地员篇》中也有所述：“凡将起五音，凡首，先主一而三之。四开以合九九，以是生黄钟小素之首以成宮，三分而益之以一，为百有八，为徵，不无有三分而去其乘，适足，以是生商，有三分而复于其所，以是成羽，有三分去其乘，适足，以是成角。”文中“小素”即“白练乃熟丝”。可知是用弦来求律的。其方法是先以一条弦为基础，将其长度分为三等份，“益”是增加其长的1/3，即4/3；“损”是减其长度的1/3，即2/3，求得其纯四度音：

1×3×3×3×3=81............宫

81×4/3=108.................徵(益一)

108×2/3=72.................商(损一)

72×4/3=96...................羽(益一)

96×2/3=64...................角(损一)2

在古代，音乐的发展就与数学紧密地联系在了一起。从那时起到现在，随着数学和音乐的不断发展，人们对它们之间关系的理解和认识也在不断地加深，音乐中处处闪现着理性的数学。看一下乐器之王 ——钢琴的键盘吧（如图1），其上恰好与斐波那契数列有关。我们知道在钢琴的键盘上，从一个 C 键到下一个C 键就是音乐中的一个八度音程。其中共包括13个键，有8个白键和5个黑键，而5个黑键分成2组 ，一组有2个黑键 ，一组有3个黑键。而2、3、5、8、13……恰好就是著名的斐波那契数列中的前几个数。如果说斐波那契数在钢琴键上的出现是一种巧合，那么等比数列在音乐中的出现就决非偶然了。1、2、3、4、5、6、7、i等音阶就是利用等比数列规定的。来看一下（图1），显然这个八度音程被黑键和白键分成了12个半音，并且我们知道下一个C键发出乐音的频率是第一个C键频率的2倍，因为用2来分割，所以这个划分是按照等比数列而作出的。

既然音乐中存在着数学变换，而数学中存在着平移变换，那么音乐中是否也存在着平移变换呢？我们可以通过两个音乐小节来寻找答案（如图2）。显然可以把第一个小节中的音符平移到第二个小节中去，就出现了音乐中的平移，这实际上就是音乐中的反复。把两个音节移到直角坐标系中（如图3），显然，这正是数学中的平移。

音乐中不仅仅只出现平移变换，可能会出现其他的变换及其组合，比如反射变换等等。两个音节就是音乐中的反射变换。如果我们仍从数学的角度来考虑，把这些音符放进坐标系中，那么它在数学中的表现就是我们常见的反射变换。同样，我们也可以在时间音高直角坐标系中把这两个音节用函数近似地表示出来。通过以上分析可知，一首乐曲有可能就是对一些基本曲段进行各种数学变换的结果。

然而，大自然中的音乐与数学的联系更加神奇。“蟋蟀鸣叫可以说是大自然之音乐，殊不知蟋蟀鸣叫的频率与气温有着很大的关系，我们可以用一个一次函数来表示:C=4t–160。其中C代表蟋蟀每分钟叫的次数，t代表温度。按照这一公式，我们只要知道蟋蟀每分钟叫的次数，不用温度计就可以知道天气的温度了！理性的数学中也存在着感性的音乐，由一段三角函数图像出发，我们只要对它进行适当的分段，形成适当的小节，并在曲线上选取适当的点作为音符的位置所在，那么就可以作出一节美妙的乐曲。”3

由此可见，我们不仅能像匈牙利作曲家贝拉、巴托克那样利用黄金分割来作曲，而且也可以从纯粹的函数图像出发来作曲。其中最典型的代表人物就是20世纪20年代的哥伦比亚大学的数学和音乐教授约瑟夫•希林格。他曾经把纽约时报的一条起伏不定的商务曲线描述在坐标纸上，然后把这条曲线的各个基本段按照适当的，和谐的比例和间隔转变为乐曲，最后在乐器上进行演奏，结果发现这竟然是一首曲调优美、与巴赫的音乐作品极为相似的乐曲！

因而我们说，音乐中存在数学、数学中存在音乐并不是一种偶然，而是数学和音乐融和贯通于一体的一种体现。我们知道音乐通过演奏出一串串音符而把人的喜怒哀乐或对大自然、人生的态度等表现出来，即音乐抒发人们的情感，是对人们自己内心世界的反映和对客观世界的感触，它是用来描述客观世界的，只不过是以一种感性的或者说是更具有个人主体色彩的方式来进行。而数学是以一种理性的、抽象的方式来描述世界，使人类对世界有一个客观的、科学的理解和认识，并通过一些简洁、优美、和谐的公式来表现大自然。因此可以说数学和音乐都是用来描述世界的，只是描述方式有所不同，但最终目的都是为人类更好地生存和发展服务。所以，它们之间存在着内在的联系应该是一件自然而然的事。

既然数学与音乐有如此美妙的联系，为何不让我们沉浸在《梁祝》优美动听的旋律中或置身于昆虫啁啾鸣叫的田野里静下心来思考数学与音乐的内在联系呢？为何不让我们在铮铮琵琶声中或令人激动的交响曲中充满信心地对它们的内在联系继续探索呢？

数学的抽象美，音乐的艺术美，经受了岁月的考验，进行了相互的渗透。如今，有了数学分析和电脑的显示技术，眼睛也可辨别音律。但对音乐美更深的奥秘至今还缺乏更合适的数学工具加以探究，还有待于音乐家和数学家今后的合作和努力。

注释：

1.朱秋华编著.《西方音乐史》第三页.北京大学出版社， 2002（9）.

2.陈四海编著.《中国古代音乐史》（上册）.陕西旅游出版社，2000（9）.

3.郝飞.周艳艳.撰写.《浅谈音乐与数学的关系》.http://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTotal-IWAS2011Z6074.htm 2011年Z6期.

彭建荣（1993—）男，汉族，陕西（商洛）人，现就读于陕西师范大学音乐学院音乐文化学专业，主要从事中国古代音乐史研究。