基于尺度空间的小波纹理描述算法的壁画修复*

任小康，邓琳凯

(西北师范大学计算机科学与工程学院,甘肃 兰州 730070)

基于尺度空间的小波纹理描述算法的壁画修复*

任小康，邓琳凯

(西北师范大学计算机科学与工程学院,甘肃 兰州 730070)

近年来，壁画的数字化修复技术得到了很大的发展，但是其主要算法在图像纹理方向的修复效果一般。为了解决这些问题，还原壁画的原有样貌，提出了一种简单快速的壁画修复算法。该算法在改进的Telea算法的基础上，根据图像纹理的多尺度特征性，利用小波纹理描述算法对壁画的纹理结构进行了修复处理，运用非局部梯度算子，通过计算待修复区域的像素点的非局部梯度值并依据曲率选取的全局最优方向进行扩散，达到壁画纹理修复的目的。实验结果表明了该算法的有效性。

壁画修复；Telea算法；尺度空间；小波纹理描述算法；梯度算子

1 引言

敦煌壁画作为世界文化遗产，有较高的历史和艺术价值。由于地处戈壁荒漠，常年风沙侵蚀，敦煌壁画面临着各种自然及人为因素的影响，损坏严重,极其严重地影响了其文化价值及观赏价值。通过计算机技术对敦煌壁画进行修复，虚拟重现敦煌壁画的风貌，是了解敦煌艺术，对敦煌艺术的美学和历史进行探索，更好地展示敦煌壁画的宏伟气势，为敦煌艺术的发展提供更好的交流平台，为敦煌壁画的保护与研究开拓新方法的有效途径。

现有壁画修复方法主要有:Bertalmio M等[1,2]提出的基于非线性高阶偏微分方程的方法；Chan T等人[3～5]提出的基于曲率驱动扩散CDD (Curvamre Driven Diffusions) 的修复模型、TV 修复模型、Euler’s Elastica修复模型;Esedoglu S等人[6]为图像修补提出的Mumford-shah-Euler修复模型等。这些方法实质上都是求解一个描述信息扩散的偏微分方程。求解偏微分方程需要大量的迭代运算以致修复速度很慢,针对这种情况，Telea A[7]提出了一种FMM(Fast Marching Method)算法，具有较快的修复速度。该方法通过FMM来建立近似的边界距离场，然后沿该方向通过对已知图像值的局部加权平均得到待修补区域的值。该方法无需迭代，可以快速实现图像修补，效果不错，所以后期大部分的图像修复算法[8～10]都是在该算法的基础上进行的改进。但是，通过实验发现这些图像修复算法都有一个主要缺点：修补信息只沿着修补区域的几何结构方向传播，因此没有考虑图像纹理结构的信息。文献[9,10]虽然对纹理结构进行了一定的修复，但是修复时间上有些长。对此，本文提出了基于尺度空间[11]的小波纹理描述算法的壁画修复算法，它在一般的图像修复算法的基础上，根据图像纹理的多尺度性特征，借助正交小波，对图像进行小波分解，运用非局部梯度算子，计算待修复区域的像素点的非局部梯度值并依据曲率选取的全局最优方向进行扩散，从而保证在短时间的情况下使破损区域的纹理结构得到较好的修复，使壁画修复效果得到很大的提高。

2 Telea算法

设Ω是图像中待修复的区域，∂Ω是待修复区域的边界，p是该边界上的任意一点，在点p周围的图像已知区域内部，选择一个以ε为尺度的邻域B(ε),如图1所示。那么，p的像素值可以由邻域B(ε)内部的像素值来近似计算得到。当尺度参数ε足够小的时候，给定点q的像素值I(q)以及q的梯度值I(q)，那么点p的一阶估计：

点p周围的已知信息越多，其优先权越大。点p的像素值可以由式(1)计算得到：

(1)

Figure 1 Telea algorithm图1 Telea算法

加权函数W(p,q)向待修复区域传递图像边缘细节以及其平滑区域，它在修复过程中起到关键作用。在这里首先取以p点为中心、大小为ε的区域作为其邻域，然后在该邻域中计算该点的梯度，并取前几个最大梯度的平均作为该点梯度。然后，沿着等照度线c⊥(p)对待修复区域进行图像信息传递，这样便可以保证等照度线尽可能平滑。其计算公式为：

(2)

要修复整个Ω，需要迭代地把公式(1)应用到∂Ω上的所有离散点，并不断增加离初始边界∂Ω的距离，为了保持图像边缘处的边界连续性，图像修补应当使用图像的等照度线尽量光滑地扩散到待修补区域的内部像素中。相对梯度向量，结构张量对于提取图像的局部方向信息更为有效。

(3)

当λ1=λ2时为图像的平滑区域，μ值较小；当λ1、λ2差异较大时，μ值较大。这样，当q点位于边缘信息比较丰富的区域，并在p点的一致性方向上，就能取得较大的权重。

最后,将计算得到的特征向量作为一致性方向向Ω内部推进其边界，直到所有的区域被修复。但是，由于图像不能保证当前待修复像素点的周围有足够多的已知像素点，所以直接利用Telea算法来修复图像是不稳定的，当ε取值过大时会造成图像的细节呈现不够细腻，从而造成失真的情况。由上所述，Telea算法对于图像修复存在一定的缺陷，并不能很好地修复图像的纹理特征，对此提出基于尺度空间的小波纹理描述算法来对图像的纹理信息进行修复处理。

3 纹理修复

由于图像纹理往往表现出多尺度特征，而尺度空间理论最早出现在计算机视觉领域，其目的是模拟图像数据的多尺度特征，其中小波变换为多尺度思想提供了一个清晰的数学框架。借助正交小波，对图像进行小波分解，得到不同分辨率的一系列图像。多尺度方法应用于纹理分割的基本思想就是要在低分辨率下获得稳定的纹理特征，快速可靠地识别不同纹理区域；在高分辨率下精确定位，以得到纹理边缘的真实位置。因此，本文采用基于尺度空间的小波纹理描述算法来对壁画的纹理结构进行修复。

3.1 图像的尺度空间生成

首先定义一幅二维图像的尺度空间为：

其中,G(x,y,σ)是尺度可变高斯函数：

其中,(x，y)是空间坐标，代表图像的像素位置；符号*表示卷积,σ是尺度空间因子，值越小表示图像被平滑的越少，相应的尺度也就越小。大尺度对应于图像的概貌特征，小尺度对应于图像的细节特征。

为了有效地在尺度空间检测到稳定的关键点，提出了高斯差分尺度空间DOG scale-space(Difference of Gaussi scale-space)。利用不同尺度的高斯差分核与图像卷积生成:

(4)

选择高斯差分函数主要有两个原因:(1)其计算效率高；(2)其可作为尺度归一化的拉普拉斯高斯函数σ2▽2G的一种近似。因为高斯差分函数是归一化的高斯拉普拉斯函数的近似，所以可以从高斯差分金字塔分层结构提取出图像中的极值点作为候选的特征点。对DOG 尺度空间每个点与相邻尺度和相邻位置的点逐个进行比较，得到的局部极值位置即为特征点所处的位置和对应的尺度。

3.2 小波纹理描述算法

对于纹理有损失的壁画图像，根据原图的已知信息添加必要的细节。纹理区域有较强的全局相似性，对于纹理破损较严重的壁画图像，运用非局部梯度算子，通过计算待修复区域的像素点的非局部梯度值以及依据式(3)选取的全局最优方向进行扩散，达到壁画纹理修复的目的。

利用梯度函数求得各像素点的梯度值：

(5)

其中，F是经小波重构后的四个高频图层，利用式(5)求出X和Y。X是F在X方向的微分，Y是F在Y方向的微分。

3.3 本文算法描述

本文算法步骤如下：

步骤1用一般的图像修复算法(公式(1))对图像破损区域的像素值进行计算，其中权重函数为公式(2)；

步骤2生成图像的尺度空间，并通过公式(4)将图像的尺度计算出来；

步骤3根据公式(5)计算出待修复区域的像素点的非局部梯度值；

步骤4将步骤1、步骤3中计算出的待修复区域像素点的权重和梯度值按照公式(3)计算得到的特征向量作为推进方向修复整个破损区域。

4 实验结果及分析

此算法以Matlab 7.8.0作为平台，在Windows XP操作系统上实现。实验所用图片均为24位bmp真彩色位图，这里首先列举了Telea算法和尺度空间下的小波修复算法对一些壁画的修复实验效果图，如图2所示，图2a为要修复的壁画；图2b为用Telea算法得到的初步修复效果。从图2b中可以看出，一般壁画修复算法对于破损区域的纹理信息修复效果不好；而图2c为尺度空间下的小波纹理描述算法对图2b中的壁画进行进一步的修复，从图2c中可以看出纹理修复后的壁画更接近原图。图3和图4的实验效果图也说明了这点。其次，用表1列举了文献[8～10]与尺度空间下的小波修复算法的时间比较。通过实验可以看出，本算法解决了人工修复、临摹的不可重复性和不可回溯等难题，对于有划痕及褪色、缺损的壁画有着较好的修复功能，使古老的壁画原貌重现在人们的面前；同时在修复时间上有了很大的改进，为今后数字化快速修复敦煌壁画打下坚实的基础。

Figure 2 Mural inpainting 1图2 壁画修复1

Figure 3 Mural inpainting 2图3 壁画修复2

Figure 4 Mural inpainting 3图4 壁画修复3

算法迭代次数修复时间/s修复像素文献[9]算法560076880文献[10]算法300257960本文算法1201431214

5 结束语

通过实验可以看出，基于尺度空间的小波纹理描述算法的壁画修复对于壁画的色彩及纹理修复都有很好的效果，它根据小波高频子带特征反映图像的纹理特性，分析小波基对图像纹理的影响，从而提出了使用小波纹理描述算法对纹理的修复，利用小波分解变换，对低频、高频信息进行重构。为纹理分析提供了一种更加精细的分析方法，从而为纹理修复提供了一种依据。从实验结果来看，本算法达到了较好的修复效果，在保持原有算法的快速性下，不仅对于缺损部分的色彩进行了修复，而且对于其纹理结构信息也进行了较好的修复。

[1] Bertalmio M，Sapiro G， Selles V，et al．Image inpainting[C]∥Proc of SIGGRAPH’00，2000：417-424．

[2] Oliveira M，Bowen B，MeKenna R，et al．Fast digital image inpainting[C]∥Proc of VIIP’01, 2001：261-266．

[3] Chan T，Shen J．Non-texture inpainting by curvamre driven diffusions[R]．CAM 00-35，Image Processing Research Group，2000．

[4] Chan T，Shen J．Mathematical models for local non-texture inpainting[J]．SIAM J Appl Math，2001，62(3)：1019-1043.

[5] Chan T, Kang S, Shen J. Euler’s elastica and curvature based inpaintings[J]. SIAM Journal on Applied Mathematics, 2002, 63(2):564-592.

[6] Esedoglu S, Shen J. Digital inpainting based on the Mumford-shah-Euler image model[J]. European Journal on Applied Mathematics,2002, 13(4):353-370.

[7] Telea A．An image inpainting technique based on the fast marching method[J]．Journal of Graphics Tools，2004，9(1)：23-34．

[8] Yang You-ping,Wang Shu-wen. Based on automatic sampling GrabCut segmentation and dunhuang mural color restoration[J].Journal of Lanzhou University of Technology, 2010,36(3):114-117.(in Chinese)

[9] Yang You-ping,Wang Shu-wen. Based on Markov sampling of dunhuang mural restoration[J]. Journal of Computer Application,2010,30(7):1835-1840.(in Chinese)

[10] Yang You-ping,Wang Shu-wen.Improved algorithm based on priority of dunhuang murals complex repair damaged areas[J]. Journal of Computer Aided Design and Graphics, 2011,23(2):284-289.(in Chinese)

[11] Lowe D G.Distinctive image features from scale-invariant key-points[J].International Journal of Computer Vision, 2004,60(2):91-110.

附中文参考文献

[8] 杨筱平，王书文.基于GrabCut分割和自动采样的敦煌壁画色彩修复[J].兰州理工大学学报，2010,36(3):114-117.

[9] 杨筱平，王书文.基于马尔可夫采样的敦煌壁画修复[J].计

算机应用，2010,30(7):1835-1840.

[10] 杨筱平，王书文.基于优先权改进算法的敦煌壁画复杂破损区域修复[J].计算机辅助设计与图形学学报，2011,23(2):284-28.

RENXiao-kang,born in 1963,professor,his research interest includes multimedia technology.

邓琳凯(1989),女,河南辉县人，硕士，研究方向为多媒体技术。E-mail:997953605@qq.com

DENGLin-kai,born in 1989,MS,her research interest includes multimedia technology.

Muralsinpaintingofthewavelettexturedescriptionalgorithmbasedonscalespace

REN Xiao-kang,DENG Lin-kai

(College of Computer Science and Engineering,Northwest Normal University,Lanzhou 730070,China)

In recent years,murals digital restoration is greatly developed,but its main algorithms has no obvious effect on the restoration of image texture direction.In order to solve this problem and restore the original appearance of murals, we propose a simple and rapid mural repairing algorithm in which the Telea algorithm is improved. According to the multi-scale feature of image texture,the proposal repairs texture structure of murals by using the wavelet texture description algorithm. To repair the murals’ texture, nonlocal gradient operator is used to calculate the nonlocal gradient value of pixels in unrepaired areas and diffusion is performed according to the global optimal direction. The experimental results demonstrate the effectiveness of the algorithm.

mural inpainting;Telea algorithm;scale space;wavelet texture description algorithm;gradient operator

1007-130X(2014)11-2191-05

2013-04-07;

：2013-07-04

TP391.41

：A

10.3969/j.issn.1007-130X.2014.11.023

任小康(1963),男,甘肃兰州人，教授，研究方向为多媒体技术。E-mail:renxk@nwnu.edu.cn

通信地址：730070 甘肃省兰州市西北师范大学计算机科学与工程学院

Address:College of Computer Science and Engineering,Northwest Normal University,Lanzhou 730070,Gansu,P.R.China