一个Lagrange中值定理问题的变形与推广

摘要：掌握好Lagrange中值定理是学好微分中值定理的关键。通过一道题目的求解、变形和推广，得到了新的结论，推广了文献中的结论，增加了中值定理问题的趣味性。

关键词：介值定理；微分中值定理；Lagrange定理

中图分类号：G642.4 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）10-0084-02

Roll定理、Lagrange定理和Cauchy定理三个微分中值定理是高等数学的重点和难点，而Roll定理是Lagrange定理的特例，Cauchy定理是Lagrange定理的变形推广，因此，掌握好Lagrange中值定理是学好微分中值定理的关键。在全国大学生数学竞赛和研究生入学考试中经常会有微分中值定理的问题，这就需要深化微分中值定理问题的研究。本文讨论了一类Lagrange中值定理问题的证明、变形和推广。

一、问题原形[1]

设函数f（x）在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且有f（0）=0，f（1）=1，试证明：对任意的正数a，b，存在两点ξ，η∈（0，1）使得■+■=a+b

二、问题求解

证法一 对任意的正数a，b，■∈（0，1）由连续函数的介值定理得存在x0∈（0，1）使得f（x0）=■

对函数f（x）在[0，x0]，[x0，1]上分别运用Lagrange中值定理，得存在两点ξ∈（0，x0）？奂（0，1），η∈（x0，1）？奂（0，1）使得f'（ξ）x0=f（x0）-f（0）=■，①

f'（η）（1-x0）=f（1）-（x0）=■.②

①+②并整理得■+■=a+b

证法二 对任意的正数a，b，■∈（0，1）且1-■=■.对函数f（x）在[0，■]，[■，1]上分别运用Lagrange中值定理，得存在两点ξ∈（0，■）？奂（0，1）

η∈（■，1）？奂（0，1），使得

f'（ξ）■=f（■）-f（0）， ①

f'（η）（1-■）=f（1）-f（■）. ②

①+②得af'（ξ）+bf'（η）=a+b

证法一显然是对的，可是也不能判定证法二错误，虽然证法二没得到要证明的结论，却得到了另有意义的结论。因此原问题就可以变为：

设函数f（）在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且有f（0）=0，f（1）=1试证明：对任意的正数a，b，存在两点ξ，η∈（0，1）使得

（1）■+■=a+b；（2）af'（ξ）+bf'（η）=a+b

三、问题推广

（一）在原问题改变之后，若令λ1=■，λ2=■可得：

函数f（x）在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且有f（0）=0，f（1）=1试证明：对任意的正数λ1，λ2，λ1+λ2=1存在两点 ξ，η∈（0，1），使得

（1）■+■=1；（2）λ1f'（ξ）+λ2f'（η）=1

在结论中，令λ1=λ2=■，得（1）■+■=2；

（2）f'（ξ）+f'（η）=2

其中（1）为文[2]的问题一的最终结果，（2）为问题二的结论。

（二）推广

函数f（x）在[0，1]上单增连续，在（0，1）内可导，且有f（0）=0，f（1）=1，试证明：对任意的正数λ1，λ2，L，λn，λ1+λ2+L+λ2=1存在ξ1，ξ2，L，ξn∈（0，1），使得

（1）■+■+L+■=1；

（2）λ1f'（ξ1）+λ2f'（ξ2）+L+λnf'（ξn）=1

证明 （1）任取0<τ1<τ2

f'（ξ1）x1=f（x1）-f（0）=τ1，

f'（ξ2）（x2-x1）=f（x2）-f（x1）=τ2-τ1，

…….

f'（ξn）（1-xn-1）=f（1）-f（xn-1）=1-τn-1

上述式子相加得■+■+L+■+■=1

令λ1=τ1，λ2=τ2-τ1，λn-1=τn-1-τn-2，λn=1-τn-1，则λ1，λ2，L，λn，均为任意正数且λ1+λ2+L+λn=1.上式变为 ■+■+L+■=1

得证。

（2）的证明结合证法二和上述过程可得，略去。

当λ1=λ2=L=λ2=■时，（1）变为■+■+L+■=n即为文[2]的第一主要结果；（2）变为f'（ξ1）+f'（ξ2）+L+f'（ξn）即为文[2]的第二主要结果。

四、结论

通过一个问题的变形和求解，得到了不同的解答，使得Lagrange中值定理问题变得生动有趣，推广了文献中的结果。

参考文献：

[1]吴赣昌.高等数学[M].北京：中国人民大学出版社，2009.

[2]野金花，徐艳，杜文贺.关于一类Lagrange中值定理问题的推广[J].黑龙江八一农垦大学学报，2011，（12）：69-70.

基金项目：本论文得到山东省高等学校青年骨干教师国内访问学者项目经费资助？摇滨州学院教学研究项目——BYJYYB201121。

作者简介：窦慧（1974-），女，山东惠民人，讲师，硕士，研究方向：数学教育和微分方程。