位势井族方法在一类Schrödinger方程中的应用

陈 阳，宋玉坤,2,杨 洋

(1.承德石油高等专科学校 社科与数理部，河北 承德 067000；2.吉林大学 数学研究所，吉林 长春 130012)



位势井族方法在一类Schrödinger方程中的应用

陈 阳1，宋玉坤1,2,杨 洋1

(1.承德石油高等专科学校 社科与数理部，河北 承德 067000；2.吉林大学 数学研究所，吉林 长春 130012)

研究一类二阶非线性Schrödinger方程的初边值问题，利用位势井族结合Galerkin方法通过构造问题的近似解得到了近似解的先验估计和收敛性，证明了整体解的存在性.

Schrödinger方程；位势井族；存在性

1 问题的提出

Schrödinger方程是非常重要的数学物理模型.在非线性光学中研究强激光束通过非均匀介质和在等离子体的传播问题时,提出了一类二阶Schrödinger方程：

iut+Δu+|u|p-1·u=0，x∈Ω，t>0

(1)

u(x,0)=u0(x)，x∈Ω

(2)

u(x,t)|∂Ω=0，t≥0

(3)

对于问题(1)-(2)，文献[1]中利用方程的基态解以及估计的方法讨论了整体解的存在性。目前利用位势井族方法研究此类问题还比较少，文献[3]中在研究波动方程时首次引入了位势井族，将文献[2]中常见的位势井方法作为一种特殊情况进行了推广，得到了很好的结论. 本文将利用文献[3]中位势井族的方法证明问题(1)-(3)整体解的存在性。

2 方程整体解的存在性

和位势井族：

另外定义

(4)

(5)

1° 先证u0∈Wδ. 若Jδ2(u0)>0，由J(u0)=E(0)0，δ∈(δ1,δ2).

2°再证um(0)∈Wδ. 若Jδ2(u0)>0，对任一固定的δ∈(δ1,δ2)，对充分大的m，有

Jδ(um(0))>0，Em(0)

(6)

在(4)中令m=ν→∞得，

3 重要推论

证明：由I(u0)>0意味着Jδ0(u0)>0，又由Jδ2(u0)>Jδ0(u0)可知定理1成立.

[1]Jian Zhang. Sharp conditions of global existence for nonlinear Schrödinger and Klein-Gordon equations [J]. Nonlinear Analysis, 2002(48):191-207.

[2]Payne, L. E. and Sattinger, D. H. Saddle points and instability of nonlinear hyperbolic equations. Israel Journal of Mathematics 1975,22(3-4):273-303.

[3]Yacheng Liu. On potential wells and vacuum isolating of solutions to semilinear wave equations,J.DifferentialEquations, 2003(192):155-169.

简讯

我校召开省仪器仪表工程中心学术年会2014年4月19日，我校与热河克罗尼仪表公司联合邀请机械工业仪器仪表综合技术研究所、天津大学、东北大学、燕山大学等专家学者来我校，进行省仪器仪表工程中心学术年会活动。校党委副书记孔小利主持，副校长于立国、杨洋教授等参会并作重要发言。

FamilyPotentialWellsandItsApplicationtoaClassofSchrödingerEquations

CHEN Yang1, SONG Yu-kun1,2, YANG Yang1

(1.Department of Social Sciences, Mathematics and Physics, Chengde Petroleum College,Chengde 067000, Hebei, China;2.Institute of Mathematics, Jilin University, Changchun 130012, Jilin, China)

This paper discusses the initial boundary value problem of a class of two order Schrödinger equation. It is shown that the global weak solutions exist by applying a family of potential wells theory and Galerkin method through constructing and estimating the norm of the approximate solutions.

Schrödinger equations; potential wells; existence

河北省高等学校自然科学研究项目：Z2010209

2013-11-04

陈阳(1982-)，女，黑龙江哈尔滨人，承德石油高等专科学校社科与数理部讲师，硕士研究生。主要从事系统分析与建模和偏微分方程方面研究工作。

O24

：B

：1008-9446(2014)02-0037-03