例谈初中数学中平均变化率问题的解法

李全学

摘 要：平均变化率问题在现实世界中有许多原型，也是初中数学一元二次方程应用中的重要内容之一，例如经济增长率，人口增长率，成本下降率等，为了进一步掌握这类问题的解决方法，结合具体例子谈谈其解法。

关键词：初中数学；平均变化率；问题

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2014）15-089-01

一元二次方程是初中数学中的重要知识，利用一元二次方程解决实际问题是这一部分中的重点，也是难点。其中增长率（或下降率）问题是主要题型之一。为了学生正确掌握该类问题中所涉及的数量关系公式的运用，以及通过两次增长（或下降），且增长（或下降）率相等的问题中找准等量关系，从而对此类问题的解决过程有更为深刻的理解，特举几例加以说明。

一、正确掌握增长率问题所涉及的公式和基本数量关系，为解决问题打好基础

1、增长率问题所涉及的公式：增长数=增长前的数×增长率；增长后的数=增长前的数+增长数；

2、两次增长，且增长率相等的问题的基本等量关系式为：

增长前的量×（1+增长率）增长期数= 增长后的量；如增长前的量为a，平均增长率为x，经过连续两次增长后的量为b，则a（1+x）2=b

例1、青山村种的水稻2001年平均每公顷产7200千克，2003年平均每公顷产8712千克，求水稻每公顷产量的年平均增长率。

分析：增长前的量为7200千克，经过连续两年增长后的量为8712千克，则可套用公式a（1+x）2 = b

解：设水稻每公顷产量的年平均增长率是x，则

7200（1+x） 2= 8712

解之得 x1=0.1，x2=-2.1（不符合题意舍去）.

答：水稻每公顷产量的年平均增长率是10%.

二、下降率的问题，与增长率问题类似

若下降前的量为a， 平均下降率为x，经过连续两次降低后的量为b，则a（1―x） 2=b

例2、某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元.已知两次降价的百分率相同，求两次降价的百分率.

解：设每次降价的百分率为x，根据题意得：

100（1-x） 2=81

解得：x1=0.1，x2=1.9 .

经检验x2=1.9不符合题意，∴x1=0.1=10% .

答：每次降价百分率为10%.

三、增长（或下降）前的数量不直接给出，而是间接给出时，先要明确增长（或下降）前的量是多少，再分别表示第一次增长（或下降）后的数量和第二次增长（或下降）后的数量

例3、某商厦二月份的销售额为100万元，三月份销售额下降了20%.商厦从四月份起改进经营措施，销售额稳步上升，五月份销售额达到135.2万元，试求四、五两个月的平均增长率。

分析：先算出三月份的销售额为100（1-20%）万元.设四、五两个月的平均增长率为x，则四月份销售额为100（1-20%）（1+x）万元，五月份的销售额为100（1-20%（1 +x）（1+x）100（1-20%）（1+x） 2 万元 ，于是可列出方程100（1-20%）（1+x） 2 =135.2.

解：设四、五两个月的平均增长率为x，由题意得方程

100（1-20%）（1+x）2=135.2

整理，得：（1+x） 2=1.69

即1+x=±1.3

故x1=0.3，x2=-2.3 .

因为x2=-2.3不符合实际，舍去，所以x=0.3=30%.

答：四、五两个月的平均增长率为30%.

四、分清基础量和连续几次增长（或下降）后所给数量之间的关系，弄清关键词语的含义，正确把握题目中蕴含的等量关系

例4、某印刷厂1月份印刷书籍40万册，第一季度共印刷190万册，则2月份和3月份平均每月的增长率是多少？

分析：若设平均每月的增长率为x，一月份印刷40万册，则二月份印刷40（1+x）万册，三月份印刷40（1+x） 2万册，根据“第一季度印刷总册数190万册”可列方程.。此题中要特别注意190万册是一季度印刷的总册数，而不是三月份的册数。

解：设平均增长率为x.根据题意列方程

40+40（1+x）+40（1+x） 2=190，

整理得：4x2+12x-7=0

解得：x1=0.5=50 % ， x2=-3.5（舍去）.

答：平均每月的增长率为50%

从以上几个例子的解决过程可以看出， 掌握此类问题中的等量关系的确定方法是：在存在基础量a的前提下，若连续增长（或降低）n次，且平均增长（或下降）率为x，则增长（或下降）后的数量用a（1±x） n （要注意1与x的位置不要调换）表示，我们可以把它作为一个固定的公式来理解。另外，求得结果后还要注意解的合理性，正确取舍。总之，增长率问题与我们生活密切相关，在解决增长率问题时，要熟练掌握所涉及的几个量之间的关系，弄清关键词语的含义以及有关数量之间的相互关系，正确把握题目中的相等关系，且对变化量和变化率两者兼顾，使问题得以顺利解决。