高中数学解题思维和技巧

施影

摘要：在数学解题过程中，人的思维具有非常重要的作用，强调以灵活性为主，形成熟练的数学解题思维。具有一定的解题策略，可以加快学生的解题速度，提高解题质量。笔者根据自己多年的一些教学经验，研究了数学解题思维特点和解题思维全过程，总结了数学解题策略技巧，希望能对广大教师开展数学解题思维教学具有一定的帮助。

关键词：数学；解题思维；解题策略

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2014）13-388-02

一、数学解题思维过程分析

高中数学解题的思维过程内容有：理解问题、分析思路、问题转化、解决问题。一般情况下，在形成正确的解题策略时，可以依据这几个步骤进行。第一是审题，审题时要认真观察题目中的已知条件和题目的要求，认真思考已知条件中隐含的元素，在已经掌握的数学知识中确定与其相符的内容，利用有效的思考，将解题条件和原有知识联系在一起。这一环节的重点就是理解问题。第二是探究解题方法。将所学过的知识重新组合在一起，将题目的解题难点进行层层分解，从而转化为已经掌握的知识。这一环节的重点是转换问题，确定解题策略，形成正确的解题计划。第三是实施解题策略，也就是将解题策略形成书面文字，正确书写解答过程。这一步骤在解题思维中占有最为重要的地位，主要包括学生灵活应用已经掌握的数学知识和技能，并具体表达的过程。第四是检查与反思。在解答完毕数学题目后，要进行检查与分析，可以发现思维中存在的缺陷，并及时对其进行补充。在实际解题过程中，学生都不会重视这一环节。对问题进行反思，不但可以让学生形成成熟的数学解题思维，还可以及时发现存在的知识缺陷，在思维中进行梳理和重构。

二、数学解题策略构建技巧

在解题策略的研究中，利用实际案例向学生讲解解题策略在实际中的应用，这才是真实有效的办法。利用研究真实案例，展现真实的解题思维过程，所以，笔者确定了研究过程是模式识别，问题表征、选择策略、资源配置，监督评估等心理模式，在进行研究和练习时，选择最有代表性的真实案例，让学生掌握在解决一些困难的问题时，利用解题策略去处理。

1、联想能力训练

如例题：已知 ，求 的值。

思路分析：此题是在 中确定三角函数 的值。因此，联想到三角函数公式 可得下面解法。

解：因为 .

所以，即 .

又因为 ，所以 .

即有 .

在解决这一问题过程中，学生出现错误较多的是认为此题给的条件较少，主要原因就是没有正确理解三解函数公式，没有研究透彻此公式的内涵，所以不能及时想到应用基本公式解决问题。所以在教学时引导学生利用联想思维解决问题。

2、问题转化的训练

在解题过程中，学生遇到的问题都是以前没有遇到过的。在解题过程中，不但要认真观察其具体特点，联系以前掌握的知识，而且还要进行题目的转化，转化为较为简单的题目。利用转化，可以使困难的问题变的简单。因此，进行问题转化练习非常重要。

例2：解方程 。

本题是解方程，而未知数 的最高次数为4次，很难直接解决。首先，可以通过令 的形式，用换元降次的方式将方程组转化为 ，变成我们熟悉的形式。其次，再利用解一元二次方程的方法解题，这样，问题就容易解决了。

解：令 ，则原方程换为 .

又因为 ，则可得 或 .

即 或 .

则有 或 或 或 .

学生还存在一种思维难点，就是只重视研究已知条件，在变化过程中，不懂得转化，主要原因就是不能把要得到的结果变成我们熟悉的数学式子，将陌生问题转化为熟悉问题，所以，多进行这种转化的练习，可以提高学生的解题能力。

3、逆向思维的训练

逆向思维不按常规思维方法入手，而是从相反的方向进行思考的一种思维方法。如果在解决问题时，自正面思考不能解决，可以考虑自问题的反面进行思维，看是否可以解决问题。

例3：已知：直线 和 是异面直线，直线 ，直线 与 不相交。

求证：直线 与 是异面直线。

思路分析：反证法被誉为“数学家最精良的武器之一”，它也是中学数学常用的解题方法。当要证结论中有“至少”等字样，或以否定形式给出时，一般可考虑采用反证法。而对于类似此题求直线与平面间位置关系或平面与平面的位置关系的题，同样可以采用反证法。

证明：因为直线 和直线 不相交，所以只有又因为 ，所以 ，这与已知直线 和 是异面直线矛盾，

所以直线 与 是异面直线。

4、一题多解训练

每个学生在解决问题时，对问题的理解不同，应用的已知条件特点不同，所运用的解题知识也不同，所以一道题可能存在多种解题方法，这就是“一题多解”。利用一题多解的练习，可以培养学生多方联系、合理转化的能力，提高学生的数学思维水平。

例5：求函数 的值域

方法一：判别式法

设，则 ，由Δ -

当 时， -， 因此当 时，

有最小值2，即值域为

方法二：单调性法

先判断函数 的单调性

任取 ，则

当 时，即 ，此时 在 上时减函数

当 时，在 上是增函数

由 在 上是减函数， 在 上是增函数，知

时， 有最小值2，即值域为

方法三：配方法

，当 时， ，此时

有最小值2，即值域为

方法四：基本不等式法

有最小值2，即值域为

总之，在高中数学学习中，形成正确的数学解题思维具有非常重要的作用。所以要求高中数学教师，要进行数学解题思维特点的研究，寻求建设解题策略的办法，提高教学质量，促进学生的全面发展。

参考文献：

[1] 王云华.渗透数学思想,培养学生数学思维——浅谈高中数学教学新视角[J].学周刊.2011(19)

[2] 班春林.全面提高学生的数学解题能力[J].快乐阅读.2011(09)

[3] 周彬 吴军优.数学建模对数学能力的提高作用[J].湖南农机.2011(01)