数列易错点分析

林明霞

数列内容是高考重点内容，然而在解答数列题时，总是会在一些细节处丢分，现列举如下，引以为戒.

易错点1：运用公式“a =S -S ”不当致误

例1：数列{a }前n项和s 且a =1，a = s ，求数列{a }的通项公式.

解析：由a =1，a = s 得a = s （n≥2）a -a = s - s = a （n≥2），得a = a （n≥2）.又a =1，a = ，故数列{a }从第二项开始为等比数列

故a =1（n=1） ？摇 （n≥2）.

【误区】此题在应用s 与a 的关系时误认为a =s -s 对于任意n值都成立，忽略了对n=1的情况的验证.易得出数列{a }为等比数列的错误结论.

易错点2：运用等比数列求和公式时忽视公比的限制条件致误

例2：求和S=1+x+x +…+x

解析：当x=0时S=1；当x=1时S=n+1；当x≠1时S= ，

∴S=n+1，x=1 ，x≠1.

【误区】忽视等比数列公比q≠0的前提条件直接按等比数列求和，然后利用等比数列求和时忽视对公比q=1和q≠1的讨论.

易错点3：忽视等差数列的公差的限制条件致误

例3：在公差为d的等差数列{a }中，已知a ，a ，a 成等比数列.已知数列{a }前10项和为45，求数列{a }的通项公式.

解析：由题意a =a ·a 即（a +3d） =a ·（a +7d），即9d =a ·d，

∴d=0或9d=a .

当d=0时10a =45，则a = ，∴a = .

当9d=a 时，得10a + d=45，得a =3，d= ，∴a = .

易错点4：由递推公式证明数列是等比数列或等差数列时定义运用不当

例4：已知数列{a }中首项a =1，当n为奇数时a =2a ，当n为偶数时，a =a +1，求a ，a 并证明数列{a +1}是等比数列.

解析：a =2a =2，a =a +1=3，

当n≥2时a =a +1，a =2a ，

∴a =2a +1，∴a +1=2a +2，∴ =2（n≥2），所以{a +1}是等比数列.

【误区1】求a ，a 代错递推公式，得出a =a +1=2，a =2a =4的错误结论.

【误区2】错误利用定义证明 为定值，导致证明无法进行下去.为了预防证明目标不明的现象，只需设b =a +1，然后利用定义证明 =2（n≥2）即可.

易错点5：忽视参数的值致误

例5：已知等差数列前n项和S =n +3n+p，则S =？摇？摇？摇 ？摇.

解析：a =S =4+p，S =10+p，S =18+p，则a =6，a =8，∴a =4+p=4，∴p=0，∴S =40.

【误区】忽视等差数列前n项和特征，直接代入公式出错.类似的还有等比数列前n项和S =a-3 时应有a=1.

易错点6：忽视特殊项致误

例6：已知等差数列{a }的通项公式a =5n-75，则前n项和S 取得最小值时的正整数n是？摇？摇？摇？摇.

解析：由a ≤0a ≥0可得5n-75≤05（n+1）-75≥0，∴14≤n≤15，∴n=14或15时前n项和最小.

【误区】该数列是首项为负，公差为正的单调递增数列，因此认为前面的所有负值项之和最小，忽视了负值项与正值项之间的零值项导致出错.

易错点7：数列最值意义不清致误

例7：已知数列{a }满足a =33，a -a =2n，则 的最小值为？摇？摇？摇 ？摇.

解析：a =（a -a ）+（a -a ）+…+（a -a ）+a

=2×（n-1）+2×（n-2）+…+2×1+33=n -n+33

∴ =n+ -1

又f（x）=x+ -1（x>0）在[ ，+∞）上为增函数，在（0， ]上为减函数，

又n∈N ，f（5）= ，f（6）= ，∴（ ） =f（6）= .

【误区】忽视了n为正整数，直接利用基本不等式求最值导致结论出错.实际上研究数列的最值时，往往借助函数的思想利用导数研究数列的单调性解决.也可以利用数列的单调性的判断方法：设b = ，由b -b =[（n+1）+ -1]-（n+ -1）>0，得1- >0，即n（n+1）<33又n为正整数，所以n≤6，即{b }当1≤n≤6单调递减，当n≥7时单调递增，所以当n=6时 取得最小值.endprint

数列内容是高考重点内容，然而在解答数列题时，总是会在一些细节处丢分，现列举如下，引以为戒.

易错点1：运用公式“a =S -S ”不当致误

例1：数列{a }前n项和s 且a =1，a = s ，求数列{a }的通项公式.

解析：由a =1，a = s 得a = s （n≥2）a -a = s - s = a （n≥2），得a = a （n≥2）.又a =1，a = ，故数列{a }从第二项开始为等比数列

故a =1（n=1） ？摇 （n≥2）.

【误区】此题在应用s 与a 的关系时误认为a =s -s 对于任意n值都成立，忽略了对n=1的情况的验证.易得出数列{a }为等比数列的错误结论.

易错点2：运用等比数列求和公式时忽视公比的限制条件致误

例2：求和S=1+x+x +…+x

解析：当x=0时S=1；当x=1时S=n+1；当x≠1时S= ，

∴S=n+1，x=1 ，x≠1.

【误区】忽视等比数列公比q≠0的前提条件直接按等比数列求和，然后利用等比数列求和时忽视对公比q=1和q≠1的讨论.

易错点3：忽视等差数列的公差的限制条件致误

例3：在公差为d的等差数列{a }中，已知a ，a ，a 成等比数列.已知数列{a }前10项和为45，求数列{a }的通项公式.

解析：由题意a =a ·a 即（a +3d） =a ·（a +7d），即9d =a ·d，

∴d=0或9d=a .

当d=0时10a =45，则a = ，∴a = .

当9d=a 时，得10a + d=45，得a =3，d= ，∴a = .

易错点4：由递推公式证明数列是等比数列或等差数列时定义运用不当

例4：已知数列{a }中首项a =1，当n为奇数时a =2a ，当n为偶数时，a =a +1，求a ，a 并证明数列{a +1}是等比数列.

解析：a =2a =2，a =a +1=3，

当n≥2时a =a +1，a =2a ，

∴a =2a +1，∴a +1=2a +2，∴ =2（n≥2），所以{a +1}是等比数列.

【误区1】求a ，a 代错递推公式，得出a =a +1=2，a =2a =4的错误结论.

【误区2】错误利用定义证明 为定值，导致证明无法进行下去.为了预防证明目标不明的现象，只需设b =a +1，然后利用定义证明 =2（n≥2）即可.

易错点5：忽视参数的值致误

例5：已知等差数列前n项和S =n +3n+p，则S =？摇？摇？摇 ？摇.

解析：a =S =4+p，S =10+p，S =18+p，则a =6，a =8，∴a =4+p=4，∴p=0，∴S =40.

【误区】忽视等差数列前n项和特征，直接代入公式出错.类似的还有等比数列前n项和S =a-3 时应有a=1.

易错点6：忽视特殊项致误

例6：已知等差数列{a }的通项公式a =5n-75，则前n项和S 取得最小值时的正整数n是？摇？摇？摇？摇.

解析：由a ≤0a ≥0可得5n-75≤05（n+1）-75≥0，∴14≤n≤15，∴n=14或15时前n项和最小.

【误区】该数列是首项为负，公差为正的单调递增数列，因此认为前面的所有负值项之和最小，忽视了负值项与正值项之间的零值项导致出错.

易错点7：数列最值意义不清致误

例7：已知数列{a }满足a =33，a -a =2n，则 的最小值为？摇？摇？摇 ？摇.

解析：a =（a -a ）+（a -a ）+…+（a -a ）+a

=2×（n-1）+2×（n-2）+…+2×1+33=n -n+33

∴ =n+ -1

又f（x）=x+ -1（x>0）在[ ，+∞）上为增函数，在（0， ]上为减函数，

又n∈N ，f（5）= ，f（6）= ，∴（ ） =f（6）= .

【误区】忽视了n为正整数，直接利用基本不等式求最值导致结论出错.实际上研究数列的最值时，往往借助函数的思想利用导数研究数列的单调性解决.也可以利用数列的单调性的判断方法：设b = ，由b -b =[（n+1）+ -1]-（n+ -1）>0，得1- >0，即n（n+1）<33又n为正整数，所以n≤6，即{b }当1≤n≤6单调递减，当n≥7时单调递增，所以当n=6时 取得最小值.endprint

数列内容是高考重点内容，然而在解答数列题时，总是会在一些细节处丢分，现列举如下，引以为戒.

易错点1：运用公式“a =S -S ”不当致误

例1：数列{a }前n项和s 且a =1，a = s ，求数列{a }的通项公式.

解析：由a =1，a = s 得a = s （n≥2）a -a = s - s = a （n≥2），得a = a （n≥2）.又a =1，a = ，故数列{a }从第二项开始为等比数列

故a =1（n=1） ？摇 （n≥2）.

【误区】此题在应用s 与a 的关系时误认为a =s -s 对于任意n值都成立，忽略了对n=1的情况的验证.易得出数列{a }为等比数列的错误结论.

易错点2：运用等比数列求和公式时忽视公比的限制条件致误

例2：求和S=1+x+x +…+x

解析：当x=0时S=1；当x=1时S=n+1；当x≠1时S= ，

∴S=n+1，x=1 ，x≠1.

【误区】忽视等比数列公比q≠0的前提条件直接按等比数列求和，然后利用等比数列求和时忽视对公比q=1和q≠1的讨论.

易错点3：忽视等差数列的公差的限制条件致误

例3：在公差为d的等差数列{a }中，已知a ，a ，a 成等比数列.已知数列{a }前10项和为45，求数列{a }的通项公式.

解析：由题意a =a ·a 即（a +3d） =a ·（a +7d），即9d =a ·d，

∴d=0或9d=a .

当d=0时10a =45，则a = ，∴a = .

当9d=a 时，得10a + d=45，得a =3，d= ，∴a = .

易错点4：由递推公式证明数列是等比数列或等差数列时定义运用不当

例4：已知数列{a }中首项a =1，当n为奇数时a =2a ，当n为偶数时，a =a +1，求a ，a 并证明数列{a +1}是等比数列.

解析：a =2a =2，a =a +1=3，

当n≥2时a =a +1，a =2a ，

∴a =2a +1，∴a +1=2a +2，∴ =2（n≥2），所以{a +1}是等比数列.

【误区1】求a ，a 代错递推公式，得出a =a +1=2，a =2a =4的错误结论.

【误区2】错误利用定义证明 为定值，导致证明无法进行下去.为了预防证明目标不明的现象，只需设b =a +1，然后利用定义证明 =2（n≥2）即可.

易错点5：忽视参数的值致误

例5：已知等差数列前n项和S =n +3n+p，则S =？摇？摇？摇 ？摇.

解析：a =S =4+p，S =10+p，S =18+p，则a =6，a =8，∴a =4+p=4，∴p=0，∴S =40.

【误区】忽视等差数列前n项和特征，直接代入公式出错.类似的还有等比数列前n项和S =a-3 时应有a=1.

易错点6：忽视特殊项致误

例6：已知等差数列{a }的通项公式a =5n-75，则前n项和S 取得最小值时的正整数n是？摇？摇？摇？摇.

解析：由a ≤0a ≥0可得5n-75≤05（n+1）-75≥0，∴14≤n≤15，∴n=14或15时前n项和最小.

【误区】该数列是首项为负，公差为正的单调递增数列，因此认为前面的所有负值项之和最小，忽视了负值项与正值项之间的零值项导致出错.

易错点7：数列最值意义不清致误

例7：已知数列{a }满足a =33，a -a =2n，则 的最小值为？摇？摇？摇 ？摇.

解析：a =（a -a ）+（a -a ）+…+（a -a ）+a

=2×（n-1）+2×（n-2）+…+2×1+33=n -n+33

∴ =n+ -1

又f（x）=x+ -1（x>0）在[ ，+∞）上为增函数，在（0， ]上为减函数，

又n∈N ，f（5）= ，f（6）= ，∴（ ） =f（6）= .

【误区】忽视了n为正整数，直接利用基本不等式求最值导致结论出错.实际上研究数列的最值时，往往借助函数的思想利用导数研究数列的单调性解决.也可以利用数列的单调性的判断方法：设b = ，由b -b =[（n+1）+ -1]-（n+ -1）>0，得1- >0，即n（n+1）<33又n为正整数，所以n≤6，即{b }当1≤n≤6单调递减，当n≥7时单调递增，所以当n=6时 取得最小值.endprint