变量代换在中学数学解方程的应用

刘亦俊

运用变换思想解题方法一直都是中学数学考试对数学解题思想方法考查的一个重要考点和中学生必须掌握的一种数学解题手段，也是中学数学学习的重点和难点.本文将重点归纳总结变换思想在中学数学的具体方面的应用，并运用实例展示变换法的灵活使用.

变量代换又称换元法、辅助元素法.通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化.

1.局部换元

又称整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母代替它从而简化问题，有时候要通过变形才能发现.

小结：观察题目结构，找出可换元的对象是局部换元法的关键，以下题型常常用到局部换元法：①F（f（x））=g（x），通常令t=f（x），再用t表示x，即x=h（x），再把t=f（x）和x=h（x）代入F（f（x））=g（x）中达到换元的目的，得到F（x）的解析式.

②根式函数F（x）=f（x）+g（x），其中f（x）或g（x）为根式函数.若f（x）和g（x）之间存在某种联系，则令t=f（x）（或t=g（x））；若需去除根号，则将t=f（x）（或t=g（x））两边平方，化为关于t的两次函数.

2.三角换元

应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元.

分析：所给的方程为圆方程，x，y互相影响，为两个变量.本题看似很难下手，但因为圆方程有三角函数表示形式，利用三角变换x-1=cosθy-1=sinθ，则x+y-k≥0就变为cosθ+sinθ+2-k≥0，只有θ为一个自变量，θ∈[0，2π]，则易求k的最大值.

需根据题目注意以上变换θ的取值范围.

3.均值换元

当题目中的题设条件出现类似于x+y=2k的条件时，我们就可以把x，y分别设为x=k+t，y=k-t（k，t均为实数）解题，这种换元法就叫做均值换元法.

无论在中学数学教材、训练复习题还是在中、高考真题中，我们都能看到变换法的广泛应用.熟悉掌握各种变换方法有利于学生快速、便捷地解答题目.数学家说“数学解题的本质就是把一个未解决的问题转化成一个已经解决的问题”，把未知问题和已知问题联系起来是数学家波利亚在著作《怎样解题》中所强调的.我们只有有意识地应用数学思想方法分析问题、解决问题，形成数学能力，提高数学素质，才能具有数学的头脑和眼光.

参考文献：

[1]汤永东.变换思想在初中数学教学中的应用[J].浙江省象山县高塘学习.

[2]刘清吾.巧用三角换元法解代数问题[J].湖南省湘乡市第二中学.endprint

运用变换思想解题方法一直都是中学数学考试对数学解题思想方法考查的一个重要考点和中学生必须掌握的一种数学解题手段，也是中学数学学习的重点和难点.本文将重点归纳总结变换思想在中学数学的具体方面的应用，并运用实例展示变换法的灵活使用.

变量代换又称换元法、辅助元素法.通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化.

1.局部换元

又称整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母代替它从而简化问题，有时候要通过变形才能发现.

小结：观察题目结构，找出可换元的对象是局部换元法的关键，以下题型常常用到局部换元法：①F（f（x））=g（x），通常令t=f（x），再用t表示x，即x=h（x），再把t=f（x）和x=h（x）代入F（f（x））=g（x）中达到换元的目的，得到F（x）的解析式.

②根式函数F（x）=f（x）+g（x），其中f（x）或g（x）为根式函数.若f（x）和g（x）之间存在某种联系，则令t=f（x）（或t=g（x））；若需去除根号，则将t=f（x）（或t=g（x））两边平方，化为关于t的两次函数.

2.三角换元

应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元.

分析：所给的方程为圆方程，x，y互相影响，为两个变量.本题看似很难下手，但因为圆方程有三角函数表示形式，利用三角变换x-1=cosθy-1=sinθ，则x+y-k≥0就变为cosθ+sinθ+2-k≥0，只有θ为一个自变量，θ∈[0，2π]，则易求k的最大值.

需根据题目注意以上变换θ的取值范围.

3.均值换元

当题目中的题设条件出现类似于x+y=2k的条件时，我们就可以把x，y分别设为x=k+t，y=k-t（k，t均为实数）解题，这种换元法就叫做均值换元法.

无论在中学数学教材、训练复习题还是在中、高考真题中，我们都能看到变换法的广泛应用.熟悉掌握各种变换方法有利于学生快速、便捷地解答题目.数学家说“数学解题的本质就是把一个未解决的问题转化成一个已经解决的问题”，把未知问题和已知问题联系起来是数学家波利亚在著作《怎样解题》中所强调的.我们只有有意识地应用数学思想方法分析问题、解决问题，形成数学能力，提高数学素质，才能具有数学的头脑和眼光.

参考文献：

[1]汤永东.变换思想在初中数学教学中的应用[J].浙江省象山县高塘学习.

[2]刘清吾.巧用三角换元法解代数问题[J].湖南省湘乡市第二中学.endprint

运用变换思想解题方法一直都是中学数学考试对数学解题思想方法考查的一个重要考点和中学生必须掌握的一种数学解题手段，也是中学数学学习的重点和难点.本文将重点归纳总结变换思想在中学数学的具体方面的应用，并运用实例展示变换法的灵活使用.

变量代换又称换元法、辅助元素法.通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化.

1.局部换元

又称整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母代替它从而简化问题，有时候要通过变形才能发现.

小结：观察题目结构，找出可换元的对象是局部换元法的关键，以下题型常常用到局部换元法：①F（f（x））=g（x），通常令t=f（x），再用t表示x，即x=h（x），再把t=f（x）和x=h（x）代入F（f（x））=g（x）中达到换元的目的，得到F（x）的解析式.

②根式函数F（x）=f（x）+g（x），其中f（x）或g（x）为根式函数.若f（x）和g（x）之间存在某种联系，则令t=f（x）（或t=g（x））；若需去除根号，则将t=f（x）（或t=g（x））两边平方，化为关于t的两次函数.

2.三角换元

应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元.

分析：所给的方程为圆方程，x，y互相影响，为两个变量.本题看似很难下手，但因为圆方程有三角函数表示形式，利用三角变换x-1=cosθy-1=sinθ，则x+y-k≥0就变为cosθ+sinθ+2-k≥0，只有θ为一个自变量，θ∈[0，2π]，则易求k的最大值.

需根据题目注意以上变换θ的取值范围.

3.均值换元

当题目中的题设条件出现类似于x+y=2k的条件时，我们就可以把x，y分别设为x=k+t，y=k-t（k，t均为实数）解题，这种换元法就叫做均值换元法.

无论在中学数学教材、训练复习题还是在中、高考真题中，我们都能看到变换法的广泛应用.熟悉掌握各种变换方法有利于学生快速、便捷地解答题目.数学家说“数学解题的本质就是把一个未解决的问题转化成一个已经解决的问题”，把未知问题和已知问题联系起来是数学家波利亚在著作《怎样解题》中所强调的.我们只有有意识地应用数学思想方法分析问题、解决问题，形成数学能力，提高数学素质，才能具有数学的头脑和眼光.

参考文献：

[1]汤永东.变换思想在初中数学教学中的应用[J].浙江省象山县高塘学习.

[2]刘清吾.巧用三角换元法解代数问题[J].湖南省湘乡市第二中学.endprint