高考模拟题精选之数学（理科）解答题

★★ 难度中等

★★★难度较高

★★ 1. 如图1所示，已知函数f（x）=2sinxcos（x-φ）0<φ

<在区间[0，π]上的图象的最高点为A，最低点为B，其中点A的纵坐标为.

（1） 求φ；

（2） 求证：∠AOB<（其中O为原点）.

★★ 2. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.

（1） 求证： acosB+bcosA=c；

（2） 已知△ABC的面积为S，求a2sin2B+b2sin2A.

★★★ 3. 设函数f（x）=3x+sinxcosx-5sinx.

（1） 讨论f（x）在区间（0，2π）上的单调性；

（2） 将f（x）在区间（0，+∞）上所有的极小值点从小到大依次记作x1，x2，…，xn，求证：所

有点Pn（xn， f（xn））（n∈N*）都在同一直线上.

★★ 4. 甲、乙、丙、丁、戊五名奥运志愿者被随机分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者.

（1） 求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；

（2） 求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率.

★★ 5. 空气质量指数PM2.5（单位： μg/m3）表示每立方米空气中可吸入肺颗粒物的含量，这个值越高，代表空气污染越严重. PM2.5的浓度与空气质量类别的关系如下表所示：

从甲城市2013年11月份的30天中随机抽取15天的PM2.5日均浓度指数数据茎叶图如图2所示.

（1） 试估计甲城市在2013年11月份30天的空气质量类别为优或良的天数；

（2） 在甲城市这15个监测数据中任取2个，设X为空气质量类别为优或良的天数，求X的分布列及数学期望.

★★ 6. 6名参加演讲比赛的同学通过抽签决定出场顺序（序号为1，2，3，4，5，6）.

（1） 求甲、乙两人都没有抽中6号签的概率；

（2） 设在甲、乙两人之间出场的人数为ξ，写出随机变量ξ的分布列，并求Eξ.

★★ 7. 设数列{an}（n∈N*）的前n项和为Sn，且

是一个首项为2、公差为1的等差数列.

（1） 求数列{an}的通项公式；

（2） 设数列{an}满足++…+=（4n-1），n∈N*，求{bn}的通项公式.

★★★ 8. 数列{an}（n∈N*）各项均为正数，其前n项和为Sn，且满足2anSn-[an][2]=1.

（1） 求证： 数列{[Sn][2]}为等差数列，并求数列{an}的通项公式；

（2） 设bn=， 求数列{bn}的前n项和Tn，并求使Tn>（m2-3m）对所有的n∈N*都成立的最大正整数m.

★★ 9. 如图3所示，ABCD为正方形，PDCE为直角梯形，∠PDC=90°，平面ABCD⊥平面PDCE，且PD=AD=2EC=2.

（1） 若PE和DC延长交于点F，求证：BF∥平面PAC；

（2） 若Q为EC边上的动点，求直线BQ与平面PDB所成角正弦值的最小值.

★★★ 10. 已知菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于一点O，∠A=60°，将△BDC沿着BD折起得△BDC′，如图4所示.

（1） 求证： 平面AOC′⊥平面ABD；

（2） 求使二面角C′-AB-D的正切值为2+2时的BC′与底面ABD所成的角.

★★ 11. 已知椭圆C的方程为+=1 （a>b>0），其离心率为，且椭圆过点

，.

（1） 求椭圆的方程；

（2） 如图5所示，直线l：x=与x轴交于G点.设椭圆的左顶点为A，过椭圆右焦点F的直线交椭圆于B，C两点，AB与AC的延长线分别交直线l于D，E两点，记△ABC的面积为S1，△ADE的面积为S2，求的最大值.

★★ 12. 已知M（-，0），N（，0）是平面上的两个定点，动点P满足PM+PN=2.

（1） 求动点P的轨迹方程；

（2） 已知圆方程为x2+y2=2，过圆上任意一点作圆的切线，切线与（1）中的轨迹交于A，B两点，O为坐标原点.设Q为AB的中点，求OQ长度的取值范围.

★★★ 13. 已知椭圆C：+=1 （a>b>0）的长轴长为4，点P是椭圆上异于短轴端点A，B的任意一点，PA，PB的斜率之积为-.

（1） 求椭圆的方程；

（2） 如果点A是椭圆短轴下方的端点，过点0

，的直线与椭圆交于M，N两点（M，N点与A点不重合）.证明：以MN为直径的圆必过A点.当△AMN为等腰直角三角形时，求直线MN的方程.

★★ 14. 设函数f（x）=x2-2x+1+alnx （a>0）.

（1） 试讨论f（x）在定义域上的单调性；

（2） 若f（x）在定义域上有两个极值点x1，x2，证明： f（x1）+f（x2）>.

★★★ 15. 设函数f（x）=x2+alnx+3x （a∈R）.

（1） 若曲线y=f′（x）上的点A到点B（0，3）的距离的最小值为2，求a的值；

（2） 曲线y=f（x）在点M1

，处的切线斜率为2，设g（x）=f（x）-2x-，h（x）=bx-2，若对任意的x1∈（0，2），存在x2∈[1，2]，使g（x1）≥h（x2），求实数b的取值范围.

★★★ 16. 已知函数f（x）=.

（1） 如果常数k>0，求函数f（x）在区间（0，k]上的最大值并判断2e与e2的大小；

（2） 对于a>0，如果函数g（x）=x2-2axf（x）在（0，+∞）上有且只有一个零点，求a的值.

★★ 难度中等

★★★难度较高

★★ 1. 如图1所示，已知函数f（x）=2sinxcos（x-φ）0<φ

<在区间[0，π]上的图象的最高点为A，最低点为B，其中点A的纵坐标为.

（1） 求φ；

（2） 求证：∠AOB<（其中O为原点）.

★★ 2. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.

（1） 求证： acosB+bcosA=c；

（2） 已知△ABC的面积为S，求a2sin2B+b2sin2A.

★★★ 3. 设函数f（x）=3x+sinxcosx-5sinx.

（1） 讨论f（x）在区间（0，2π）上的单调性；

（2） 将f（x）在区间（0，+∞）上所有的极小值点从小到大依次记作x1，x2，…，xn，求证：所

有点Pn（xn， f（xn））（n∈N*）都在同一直线上.

★★ 4. 甲、乙、丙、丁、戊五名奥运志愿者被随机分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者.

（1） 求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；

（2） 求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率.

★★ 5. 空气质量指数PM2.5（单位： μg/m3）表示每立方米空气中可吸入肺颗粒物的含量，这个值越高，代表空气污染越严重. PM2.5的浓度与空气质量类别的关系如下表所示：

从甲城市2013年11月份的30天中随机抽取15天的PM2.5日均浓度指数数据茎叶图如图2所示.

（1） 试估计甲城市在2013年11月份30天的空气质量类别为优或良的天数；

（2） 在甲城市这15个监测数据中任取2个，设X为空气质量类别为优或良的天数，求X的分布列及数学期望.

★★ 6. 6名参加演讲比赛的同学通过抽签决定出场顺序（序号为1，2，3，4，5，6）.

（1） 求甲、乙两人都没有抽中6号签的概率；

（2） 设在甲、乙两人之间出场的人数为ξ，写出随机变量ξ的分布列，并求Eξ.

★★ 7. 设数列{an}（n∈N*）的前n项和为Sn，且

是一个首项为2、公差为1的等差数列.

（1） 求数列{an}的通项公式；

（2） 设数列{an}满足++…+=（4n-1），n∈N*，求{bn}的通项公式.

★★★ 8. 数列{an}（n∈N*）各项均为正数，其前n项和为Sn，且满足2anSn-[an][2]=1.

（1） 求证： 数列{[Sn][2]}为等差数列，并求数列{an}的通项公式；

（2） 设bn=， 求数列{bn}的前n项和Tn，并求使Tn>（m2-3m）对所有的n∈N*都成立的最大正整数m.

★★ 9. 如图3所示，ABCD为正方形，PDCE为直角梯形，∠PDC=90°，平面ABCD⊥平面PDCE，且PD=AD=2EC=2.

（1） 若PE和DC延长交于点F，求证：BF∥平面PAC；

（2） 若Q为EC边上的动点，求直线BQ与平面PDB所成角正弦值的最小值.

★★★ 10. 已知菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于一点O，∠A=60°，将△BDC沿着BD折起得△BDC′，如图4所示.

（1） 求证： 平面AOC′⊥平面ABD；

（2） 求使二面角C′-AB-D的正切值为2+2时的BC′与底面ABD所成的角.

★★ 11. 已知椭圆C的方程为+=1 （a>b>0），其离心率为，且椭圆过点

，.

（1） 求椭圆的方程；

（2） 如图5所示，直线l：x=与x轴交于G点.设椭圆的左顶点为A，过椭圆右焦点F的直线交椭圆于B，C两点，AB与AC的延长线分别交直线l于D，E两点，记△ABC的面积为S1，△ADE的面积为S2，求的最大值.

★★ 12. 已知M（-，0），N（，0）是平面上的两个定点，动点P满足PM+PN=2.

（1） 求动点P的轨迹方程；

（2） 已知圆方程为x2+y2=2，过圆上任意一点作圆的切线，切线与（1）中的轨迹交于A，B两点，O为坐标原点.设Q为AB的中点，求OQ长度的取值范围.

★★★ 13. 已知椭圆C：+=1 （a>b>0）的长轴长为4，点P是椭圆上异于短轴端点A，B的任意一点，PA，PB的斜率之积为-.

（1） 求椭圆的方程；

（2） 如果点A是椭圆短轴下方的端点，过点0

，的直线与椭圆交于M，N两点（M，N点与A点不重合）.证明：以MN为直径的圆必过A点.当△AMN为等腰直角三角形时，求直线MN的方程.

★★ 14. 设函数f（x）=x2-2x+1+alnx （a>0）.

（1） 试讨论f（x）在定义域上的单调性；

（2） 若f（x）在定义域上有两个极值点x1，x2，证明： f（x1）+f（x2）>.

★★★ 15. 设函数f（x）=x2+alnx+3x （a∈R）.

（1） 若曲线y=f′（x）上的点A到点B（0，3）的距离的最小值为2，求a的值；

（2） 曲线y=f（x）在点M1

，处的切线斜率为2，设g（x）=f（x）-2x-，h（x）=bx-2，若对任意的x1∈（0，2），存在x2∈[1，2]，使g（x1）≥h（x2），求实数b的取值范围.

★★★ 16. 已知函数f（x）=.

（1） 如果常数k>0，求函数f（x）在区间（0，k]上的最大值并判断2e与e2的大小；

（2） 对于a>0，如果函数g（x）=x2-2axf（x）在（0，+∞）上有且只有一个零点，求a的值.

★★ 难度中等

★★★难度较高

★★ 1. 如图1所示，已知函数f（x）=2sinxcos（x-φ）0<φ

<在区间[0，π]上的图象的最高点为A，最低点为B，其中点A的纵坐标为.

（1） 求φ；

（2） 求证：∠AOB<（其中O为原点）.

★★ 2. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.

（1） 求证： acosB+bcosA=c；

（2） 已知△ABC的面积为S，求a2sin2B+b2sin2A.

★★★ 3. 设函数f（x）=3x+sinxcosx-5sinx.

（1） 讨论f（x）在区间（0，2π）上的单调性；

（2） 将f（x）在区间（0，+∞）上所有的极小值点从小到大依次记作x1，x2，…，xn，求证：所

有点Pn（xn， f（xn））（n∈N*）都在同一直线上.

★★ 4. 甲、乙、丙、丁、戊五名奥运志愿者被随机分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者.

（1） 求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；

（2） 求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率.

★★ 5. 空气质量指数PM2.5（单位： μg/m3）表示每立方米空气中可吸入肺颗粒物的含量，这个值越高，代表空气污染越严重. PM2.5的浓度与空气质量类别的关系如下表所示：

从甲城市2013年11月份的30天中随机抽取15天的PM2.5日均浓度指数数据茎叶图如图2所示.

（1） 试估计甲城市在2013年11月份30天的空气质量类别为优或良的天数；

（2） 在甲城市这15个监测数据中任取2个，设X为空气质量类别为优或良的天数，求X的分布列及数学期望.

★★ 6. 6名参加演讲比赛的同学通过抽签决定出场顺序（序号为1，2，3，4，5，6）.

（1） 求甲、乙两人都没有抽中6号签的概率；

（2） 设在甲、乙两人之间出场的人数为ξ，写出随机变量ξ的分布列，并求Eξ.

★★ 7. 设数列{an}（n∈N*）的前n项和为Sn，且

是一个首项为2、公差为1的等差数列.

（1） 求数列{an}的通项公式；

（2） 设数列{an}满足++…+=（4n-1），n∈N*，求{bn}的通项公式.

★★★ 8. 数列{an}（n∈N*）各项均为正数，其前n项和为Sn，且满足2anSn-[an][2]=1.

（1） 求证： 数列{[Sn][2]}为等差数列，并求数列{an}的通项公式；

（2） 设bn=， 求数列{bn}的前n项和Tn，并求使Tn>（m2-3m）对所有的n∈N*都成立的最大正整数m.

★★ 9. 如图3所示，ABCD为正方形，PDCE为直角梯形，∠PDC=90°，平面ABCD⊥平面PDCE，且PD=AD=2EC=2.

（1） 若PE和DC延长交于点F，求证：BF∥平面PAC；

（2） 若Q为EC边上的动点，求直线BQ与平面PDB所成角正弦值的最小值.

★★★ 10. 已知菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于一点O，∠A=60°，将△BDC沿着BD折起得△BDC′，如图4所示.

（1） 求证： 平面AOC′⊥平面ABD；

（2） 求使二面角C′-AB-D的正切值为2+2时的BC′与底面ABD所成的角.

★★ 11. 已知椭圆C的方程为+=1 （a>b>0），其离心率为，且椭圆过点

，.

（1） 求椭圆的方程；

（2） 如图5所示，直线l：x=与x轴交于G点.设椭圆的左顶点为A，过椭圆右焦点F的直线交椭圆于B，C两点，AB与AC的延长线分别交直线l于D，E两点，记△ABC的面积为S1，△ADE的面积为S2，求的最大值.

★★ 12. 已知M（-，0），N（，0）是平面上的两个定点，动点P满足PM+PN=2.

（1） 求动点P的轨迹方程；

（2） 已知圆方程为x2+y2=2，过圆上任意一点作圆的切线，切线与（1）中的轨迹交于A，B两点，O为坐标原点.设Q为AB的中点，求OQ长度的取值范围.

★★★ 13. 已知椭圆C：+=1 （a>b>0）的长轴长为4，点P是椭圆上异于短轴端点A，B的任意一点，PA，PB的斜率之积为-.

（1） 求椭圆的方程；

（2） 如果点A是椭圆短轴下方的端点，过点0

，的直线与椭圆交于M，N两点（M，N点与A点不重合）.证明：以MN为直径的圆必过A点.当△AMN为等腰直角三角形时，求直线MN的方程.

★★ 14. 设函数f（x）=x2-2x+1+alnx （a>0）.

（1） 试讨论f（x）在定义域上的单调性；

（2） 若f（x）在定义域上有两个极值点x1，x2，证明： f（x1）+f（x2）>.

★★★ 15. 设函数f（x）=x2+alnx+3x （a∈R）.

（1） 若曲线y=f′（x）上的点A到点B（0，3）的距离的最小值为2，求a的值；

（2） 曲线y=f（x）在点M1

，处的切线斜率为2，设g（x）=f（x）-2x-，h（x）=bx-2，若对任意的x1∈（0，2），存在x2∈[1，2]，使g（x1）≥h（x2），求实数b的取值范围.

★★★ 16. 已知函数f（x）=.

（1） 如果常数k>0，求函数f（x）在区间（0，k]上的最大值并判断2e与e2的大小；

（2） 对于a>0，如果函数g（x）=x2-2axf（x）在（0，+∞）上有且只有一个零点，求a的值.