基于周期外延法的监测效应量灰色时序组合预测模型

，，,b

(武汉大学 a.水利水电学院；b．水资源与水电工程科学国家重点实验室， 武汉 430072)

1 研究背景

大坝监测效应量实测数据序列Xt={xt,t=1,2,…,n}一般被认为是一个随机时间序列。由于库水位变化和温度变化通常具有较明显的周期性，因此大坝监测效应量序列大多也存在较明显的周期性；在水库蓄水初期，大坝监测效应量一般变化较快，运行期变化则较平稳，因此大坝监测效应量一般具有较明显的趋势性变化特征。基于此，大坝监测效应量序列Xt主要由以下3部分组成[1]：

Xt=Mt+Ft+Zt。

(1)

式中：Mt为趋势性成分，反映了时间序列的趋势性变化；Ft为周期性成分，反映了时间序列的周期性变化；Zt为随机噪声项，反映了随机因素的影响。

传统的预测模型着重研究对数据序列不同特性中某一方面特性的映射，然而系统的发展演化过程往往是多种可知因素与未知因素、确定性因素与不确定因素相互作用的结果，仅用单一模型难以全面揭示研究对象的多重特性，有必要根据监测数据序列的特点，结合不同监测模型的优势，构造合适的组合模型。为此，本文针对周期性和趋势性比较明显的大坝监测效应量，将传统的灰色系统模型、周期外延模型和时间序列模型结合起来建立组合模型，进行拟合和预测，从而提高模型的整体预测精度，深化对监测效应量变化规律的认识。

2 建模方法

设监测效应量X的实测数据序列为{xt}，首先采用灰色系统中的Verhulst模型拟合并分离{xt}中的趋势性成分Mt，并得到一次残差序列{Δ(1)xt}；然后针对{Δ(1)xt}采用周期外延模型拟合并分离其中的周期性成分Ft，并得到二次残差序列{Δ(2)xt}；之后再针对{Δ(2)xt}采用时间序列模型拟合其随机性成分Rt；最后将上述模型进行叠加获得组合模型。组合预测模型的建模流程如图1所示。

图1 组合预测模型建模流程图

2.1 Verhulst模型

记原始监测数据序列为Xt(1)=(x1(1),x2(1),…,xn(1))，由于大坝监测效应量属于累积量，则根据灰色系统理论，可利用Xt(1)建立Verhulst模型[2-3]，模型结构为

(2)

式(2)中的参数a和b可通过对Xt(1)进行一次累减生成(1-IAGO)得到增量序列Xt(0)后结合最小二乘法进行参数估计获得[3]。

利用式(2)分离出Xt(1)中的趋势性成分Mt后，则可得到一次残差序列Yy={yt}={Δ(1)xt}，其中

(3)

2.2 周期外延模型

由式(3)得到的一次残差序列Yt={yt}={y2,y3,…,yn}，主要包含周期性成分及随机性成分，则针对{yt}利用基于方差分析的周期外延模型拟合和分离其中的周期性成分[4-5]。

(1) 计算一次残差序列{yt}的均值生成函数。均值生成函数计算公式如下：

(4)

(5)

式中：mod表示同余；ft(m)称作均值生成函数的延拓函数。

(2) 优势周期提取。根据方差分析原理，可按下式检验序列{yt}是否隐含长度为m的周期。

(6)

(3) 优势周期叠加。将所提取的不同优势周期同一时刻取值的叠加值记为ft，即

(7)

式(7)即为周期外延模型，序列{ft}即为一次残差序列{yt}中周期性成分的拟合值序列。

(4) 二次残差序列。利用式(7)分离出{yt}中的周期性成分Ft后，则可得到二次残差序列Zt={zt}={Δ(2)xt}，其中

(8)

2.3 时间序列模型

由式(8)得到的二次残差序列Zt={zt}={z2,z3,…,zn}，主要包含随机性成分，则针对{zt}可建立时间序列模型来拟合随机性成分。

本文采用时间序列模型中的自回归模型AR(p)，其形式为[6]

(9)

式中：p为模型阶次，可采用BIC准则确定；øi(i=1,2,…,p)为自回归系数，是模型的待估参数，可利用最小二乘法进行参数估计；εt为白噪声序列。

在模型用于预测之前，利用Q-准则法检验残差序列{εt}是否为白噪声序列[6]。

2.4 建立组合模型

(10)

3 工程实例

某混凝土重力坝在坝顶布置了一条引张线，共12个测点。选择位于河床中部的5#坝段上的EX5测点2008年7月至2012年6月的48个测次(测次间隔为1个月)的实测水平位移，按本文的建模方法建立组合预测模型。

3.1 模型的建立

(1) 建立Verhulst模型：以选定的EX5测点实测水平位移序列Xt作为模型输入，按式(2)建立Verhulst模型，其中根据最小二乘法得到的参数估计为

(2) 建立周期外延模型：将Xt与Verhulst模型拟合序列Mt相减得到一次残差序列Yt，对Yt进行周期分析。给定置信水平1-α=0.95，经计算得

从而有F(12)=4.68>F0.05(11,35)=2.08，故数据序列有优势周期为m2=12。

经进一步计算无其它优势周期，因此采用周期叠加外延法计算得到的周期外延预测模型为ft=ft(11)+ft(12)。按此模型可得到一次残差模拟序列Ft。将Mt与Ft叠加，即为灰色周期外延模型拟合序列。

(3) 建立AR(p)模型：将Yt与Ft相减得到二次残差序列Zt，对Zt进行自回归分析。本文基于SPSS软件，建立AR(p)模型。对序列进行1阶差分，可得到平稳序列，根据 BIC准则计算得到模型最佳阶数p=4。用最小二乘法计算待估参数

ø=[ø1,ø2,…,ø4]=

[0.222,0.213,-0.047,-0.470]

(4) 建立组合模型：将上述建立的3个单项模型进行线性叠加，即可得到组合模型。各单项模型和组合模型的拟合结果如图2所示。

图2 不同预测模型的精度对比

3.2 模型分析

(1) 通过不同预测模型精度的对比(见图2)可知，由于各单项模型能从不同角度来映射效应量某一方面的特性，因而所建立的组合模型能更好地描述效应量实测数据的变动趋势，具有良好的拟合精度。

(2) 采用上述所建立的组合预测模型，以2012年7—10月的4次测值作为检验预报样本进行预报精度分析。预报结果见表1。由表1可知，本文所建立的组合预报模型预报精度较高，各测次预报精度均小于5%。

表1 组合模型预测结果

(3) 采用相同的监测数据序列建立EX5测点水平位移的传统统计模型，并根据所建立的传统统计模型对2012年7—10月的4次测值进行预测，预测结果见表1。由表1可以看出，本文所提出的组合预测模型与传统统计模型的预测结果十分接近，这进一步说明了本文所提出的组合预测模型是可行的、有效的。

4 结 论

(1) 本文针对周期性和趋势性比较明显的大坝监测效应量，提出了采用灰色Verhulst模型模拟趋势性成分、采用周期外延模型模拟周期性成分、采用时间序列AR(p)模型模拟随机性成分从而建立组合预测模型的方法。实例表明，本文提出的组合预测模型具有良好的拟合效果、较高的预测精度和外延预报能力，是合理和可行的。

(2) 本文提出的组合预测模型侧重于研究数据序列的自身变化规律，未涉及环境变量对监测效应量的影响以及监测效应量与环境变量之间的物理力学关系。这一方面是本方法的不足之处，但另一方面为在缺乏良好的环境变量监测资料条件下的预测问题提供了一条有效途径，也为传统的统计预报模型、确定性预报模型和混合预报模型提供了一种补充方法。

参考文献：

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