考虑壁面阻力水跃共轭水深的计算方法

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(西安理工大学 水利水电学院，西安 710048)

1 水跃共轭水深的研究现状

水跃是水流从急流过渡到缓流时水面突然跃起的一种局部水流现象。水跃计算主要解决3个问题：水跃的能量损失、水跃长度和共轭水深。能量损失可以通过能量方程来确定，水跃长度目前主要依据试验建立的经验公式计算，水跃的共轭水深可以通过动量方程求得。

矩形明渠的水跃如图1所示，水跃前1-1断面和跃后2-2断面的动量方程可得[1]

(1)

图1 水跃示意图

设η=h2/h1为水跃的共轭水深比，代入式(1)求解得

(2)

1938年，Belanger忽略渠底阻力，即取Cf=0，由公式(1)得到了著名的水跃方程为

(3)

N.Rajaratnamn[2]的试验研究表明，考虑壁面阻力的水跃跃后水深比Belanger公式计算的值小，且随着弗劳德数增大，二者差距增大，当弗劳德数Fr1=10时，差值达4%，而Harleman的试验也证明了这一点。

1993年，薛朝阳[3]推导了考虑壁面阻力的水跃方程，认为N.Rajaratnam只进行了一种几乎是最光滑的壁面的水跃摩阻力试验，其结果不能用于其他不同粗糙度的壁面。他应用谢才公式、切应力的基本公式和动量方程，导出了考虑壁面阻力的水跃方程为

(4)

式中：B为矩形渠道的宽度；Lj为水跃长度；n为渠道壁面糙率；n0为已知某一渠道壁面的糙率。

由公式(4)可以看出，薛朝阳的公式过于复杂，不易求解。1994年，O.Iwao[4]通过试验给出了阻力系数的计算公式

Cf=0.12(Fr1-1)2。

(5)

式中的适应条件为3≤Fr1≤10。

文献[5]指出：自从Leonardo和Vinic对水跃现象描述以来，在近5个世纪中已有数百篇论文来讨论这一问题，绝大多数论文都是以宏观的形式来描述水跃，而水跃内部的微观流态却很少受到关注。

实际上，早在20世纪30年代，国外学者就已经开始研究水跃的内部微观结构。1934年，Förthmann’s就测量了附壁射流区的流速分布，并以边界层厚度将附壁射流区分为内区和自由混合区。内区即边界层区域，流速沿垂线方向不断增大，最大流速点距壁面的距离即为边界层厚度；在边界层以上的混合区，流速沿垂线逐渐减小，在水面附近减小为零。在附壁射流区，各断面的流速分布具有相似性，这些成果对水跃特性的研究具有非常重要的作用。以后Zerbe and Selna(1946),Sigalla(1958),Schwarz 和 Selna(1961)等都对附壁射流做过研究。1963年，G. E. Myers等[6]较详细地测量了平板附壁射流区的流速分布、边界层的发展和壁面阻力。研究发现：在附壁射流区，边界层内的流速分布符合指数律，其指数为1/14，而非常用的1/7；在内区，流速分布也可以用对数律表示。1963年，Verhoff根据Förthmann’s的试验结果给出了附壁射流区断面流速分布的公式。1967年，Rajaratnam 和 Subramanya根据Myers，Sigalla，Schwarz and Cosart，Gartshore以及自己的试验成果，给出了附壁射流区最大流速沿程变化的计算公式。Sigalla利用Preston tube测量了壁面切应力，并给出了切应力的表达式。

N.Rajaratnam的最大贡献是将水跃看作附壁射流。1965年，N.Rajaratnam[2]在对水跃的研究中，提出水跃也是一种附壁射流的新概念。这一概念的提出，为水跃研究开拓了新思路，可以利用附壁射流的研究成果来研究水跃，使水跃的研究从宏观走向了微观。1976年，N.Rajaratnam在TurbulentJets[7]著作中，全面地论述了前人对附壁射流的试验研究成果，主要包括附壁射流区的流速分布、边界层的发展、壁面切应力等。1985年，郭子中[8]在他的混合流理论中，提出水跃是一种贴底的附壁射流，提法上与N.Rajaratnam的不谋而合。

虽然前人对水跃的微观结构进行了试验研究，但至今在水跃共轭水深的计算中仍然采用不考虑壁面阻力的Belanger公式。虽然该公式应用方便，但计算出来的跃后水深偏大。所以本文在前人对水跃区流速分布、壁面切应力试验研究的基础上，从边界层理论出发，提出考虑壁面阻力的水跃共轭水深计算的新方法。

2 水跃区的流速分布和边界层的发展

水跃区的水流流态如图2所示，图中h1和h2分别为跃前和跃后断面的水深，Lr为水跃的旋滚长度，Lj为水跃长度，v1和v2分别为跃前和跃后断面的平均流速，e0为闸门开度，F为床面摩阻力。

图2 光滑壁面消力池水跃示意图

根据N.Rajaratnam[2]对水跃的新定义，利用附壁射流的研究成果对水跃进行研究。1965年，Verhoff给出了附壁射流区断面上的流速分布为

(6)

式中：u为断面任一点的流速；Um为断面最大流速；η0=y/b，b为最大流速之半处距壁面的距离；e-ξ2为误差函数，将上式展开取前3项得

(7)

由式(7)可以看出，当u=Um时，y=δ,δ为边界层厚度。经由公式(7)计算，当δ/b=0.167 54时，u=Um，当y/b=1.795时，u=0。

Rajaratnam 和 Subramanya给出了最大流速沿程变化的公式为

Um/v1=3.45(x/h1)-1/2。

(8)

Sigalla给出壁面切应力系数为

(9)

式中υ为水流的运动黏滞系数。

边界层的发展可以用边界层的动量积分方程来求得。边界层的动量微分方程为

(10)

式中：δ1为边界层的位移厚度；δ2为边界层的动量损失厚度；ρ为水流的密度。

(11)

(12)

为了便于积分，根据G.E.Myers等[6]的研究成果，水跃区的流速分布符合指数律，其指数为1/14，即

(13)

将公式(13)代入公式(11)和公式(12)积分得δ1=0.066 667δ，δ2=0.058 333δ。将δ1，δ2和公式(8)，公式(9)代入公式(10)积分得

(14)

将公式(8)和公式(14)代入公式(9)得壁面切应力系数为

(15)

壁面切应力为

(16)

水跃区的阻力为

2.803ρv19/5h19/10υ1/5(δ0-0.1-Lr-0.1)。

(17)

式中:积分下限应该为零，但如果取为零，积分为无穷大，这显然是不合理的。分析原因可能是流速分布的经验公式形式不完善造成的。N.Rajaratnam的试验表明，水跃区流速分布相似的断面位置约在x/h1=20，而G.E.Myers则给出了4≤x/h1≤14。为了能够应用上式，积分下限取一有限小量，本文取δ0=0.1 m。积分上限为水跃长度。对于水跃长度，一般有2种确定方法：一是以水跃旋滚的末端作为水跃的长度，称旋滚长度Lr；另一种是以旋滚后水面基本与渠底平行时的最近点作为水跃末端，称为水跃长度Lj。显然，在水跃旋滚末端的水深已达到了跃后水深 ，所以取旋滚长度Lr作为计算壁面阻力比较合适。阻力系数为

(18)

式中γ为水的重度。

根据文献[9]水跃旋滚长度的实测结果，作者拟合的经验公式为

Lr=5.450 6(Fr1-1)1.037 6h1。

(19)

3 公式验证

下面用F.G.Carollo等[9-10]的实测资料来验证公式的正确性。F.G.Carollo等[9-10]在对粗糙壁面水跃的试验研究中，为了与光滑壁面对比，也实测了光滑壁面的跃前断面和跃后断面的水深。由于在测量中水面波动较大，实测跃后水深有时甚至大于不考虑壁面阻力时的计算值，所以在对比时，先根据实测的跃前断面水深h1和弗劳德数Fr1，由公式(3)计算出不考虑壁面阻力的跃后水深h2，如果实测的跃后水深大于用公式(3)计算的跃后水深，则不在比较之列，只比较实测的跃后水深小于用公式(3)计算的跃后水深的值。比较结果如表1所示。由表1中可以看出，考虑壁面阻力后计算的跃后水深与实测值接近，除1项误差大于5%外，其余均小于3.5%。

表1 考虑壁面阻力时实测跃后水深与计算跃后水深比较

4 结 语

本文从前人对水跃区流速分布、壁面切应力分布的研究成果出发，根据边界层的动量积分方程研究了水跃区的紊流边界层的发展和壁面阻力系数的变化规律。根据F.G.Carollo对水跃旋滚长度的试验成果，拟合了旋滚长度的计算公式，给出了考虑壁面阻力情况下平底矩形明渠水跃共轭水深的计算方法。通过与F.G.Carollo和W.C.Hughes的试验资料对比，验证了公式的正确性。

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