风景园林学中常用的数学分析方法概览

刘颂 章舒雯

风景园林规划设计是一门艺术与科学相结合的学科。在我国，由于受到传统古典园林思想的影响，风景园林长期被认为是诠释个人情感和精神世界外化的一个手段——该思想使得风景园林规划设计过于强调艺术，忽视了其科学性。随着计算机技术、数学方法的发展和广泛应用，借助计算机平台将数学方法应用于风景园林的研究过程，使其从传统的定性分析转向定量分析的尝试越来越多。而实践证明，数学方法的引入，不仅使风景园林的研究过程更加理性和客观，也使得很多复杂的问题得到解决。

数学方法在风景园林学中的应用方式体现在2个方面：一是利用数学思维和语言对风景园林的问题进行思考和描述，从更深层次揭示问题的机理；二是利用数学分析方法对获取的数据进行分析、计算，从而发现现象背后的内在规律。而这2方面应用的最终目的都是为了加深决策者对于风景园林问题的理解，从而辅助决策。章俊华作了开拓性的专题研究，他曾在《中国园林》从 1998 年开始的“规划设计学中的调查分析法”专栏中连载论文[1]，并于2005年出版专著《规划设计学中的调查分析法与实践》[2]。本文旨在总结国内外关于风景园林中常用的数学方法的功能、基本原理及应用方向，以促进数学方法在风景园林领域的应用。

1 基于风景园林实践过程的数学方法应用范围

从风景园林规划设计的实践过程来看，数学方法的应用可分为2个阶段：调查阶段和分析决策阶段。其中分析决策阶段是数学方法的主要应用阶段，根据其应用功能，大致可分为4个方面：描述揭示景观特征及规律、景观综合评价、景观过程模拟及预测、景观格局优化。本文将从风景园林规划设计实践的过程入手，对风景园林学中的数学方法进行梳理和归纳，重点阐述分析决策阶段常用的数学方法。

2 描述揭示景观特征与规律

虽然大部分的风景园林现象、景观过程和事件都具有一定的随机性，但在研究过程中通过对随机现象量化表达后进行分析，可以发现其发展的一般规律。统计分析法就是这样的建立在概率论和数理统计基础上的数学方法，适用于对各种随机现象、随机过程和随机事件的处理。而对于景观空间特征的分析，景观生态学常常用景观指数来分析景观要素的分布形态和特征，或借助景观格局分析模型如地统计学分析、分形理论、小波分析、聚块样方方差分析等来揭示景观尺度特征。

2.1 统计分析法——发现风景园林的统计学规律

统计分析法是一种比较成熟的定量分析方法，包括时间序列分析、相关分析、回归分析、主成分分析、聚类分析等。它可以帮助人们从一系列离散的、随机的现象（数据）中找出事物发展的规律或因果制约关系。另外，统计分析法还是其他数学方法的基础，一般常用EXCEL、SPSS、STATISTIC 等软件实现。

（1）时间序列分析（Time Series Analysis）

时间序列是按时间顺序排列的一组数字。时间序列分析就是利用这组数列，应用数理统计方法加以处理，来预测未来事物的发展。该方法一方面承认事物发展的延续性，即利用过去的数据，就能推测事物的发展趋势。另一方面也考虑到事物发展的随机性。该分析方法常用于发现、预测事物在时间维度上的发展规律和趋势。如游客流量的分析，将某风景区第一个月、第二个月、……、第N个月的游客量数据，利用时间序列分析方法获得的月际变动分析的结果可反映旅游流的流量在年度内变化情况（如高峰期和低谷期），为旅游产品的开发和旅游营销提供依据；年际变动分析的结果则反映了旅游流多年来的发展趋势，是旅游地客流量规模预测的基础[3]。

（2）相关分析（Correlation Analysis）

相关分析是研究两种现象（两列数据）之间是否存在某种依存关系，并对具体有依存关系的现象探讨其相关方向以及相关程度（相关系数），是研究随机变量之间的相关关系的一种统计方法。该方法往往不是单独应用，而是与主成分分析、聚类分析等结合使用，常应用在评价指标的筛选上，以减少指标的重复性。例如黄晖针对较冗繁的指标层,分类别作统计筛选处理：利用Pearson的χ2统计量求出定性指标的相关系数，然后通过主成分分析和因子分析筛选指标；采用聚类分析法、相关分析法对定量指标进行筛选和优化，最终构建了国家园林城市评价指标体系[4]。

（3）聚类分析 （Cluster Analysis）

聚类分析是根据“物以类聚”的道理，对样本或指标进行分类的一种多元统计分析方法，其基本原理是根据样本自身的属性，用数学方法按照某种相似性或差异性指标，定量地确定样本之间的亲疏关系，并按这种亲疏关系程度对样本进行分类。同一类的样本有很大的相似性，而不同类间的样本有很大的相异性。它常与模糊数学法结合，更有效地对类与类之间有交叉的数据集进行聚类。该方法在风景园林中常被用于分类、分级或分区。如吴志峰等选择有代表性的景观指数，进行珠海景观生态聚类分析，根据聚类分析结果多层次客观地对珠海地区进行景观生态类型区划分，为区域的景观生态规划设计奠定基础[5]。

（4）回归分析（Regression Analysis）

回归分析是确定两种或两种以上变量间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法。与相关分析相比，它不仅仅揭示要素间的关系的密切程度，还要分析现象之间相关的具体形式，确定其因果关系，并用数学模型来表现其具体关系（回归模型）。回归分析主要解决以下几方面的问题： ①确定几个特定变量之间是否存在相关关系，如果存在，求出数学表达式；②根据一个或几个变量的值，预报或控制另一个变量的取值， 并且知道这种预报或控制的精确度；③进行因素分析，确定因素的主次以及因素之间的相互关系等。目前在风景园林领域，回归分析常应用在景观评价与预测，如景观美景度评价、植物效能预测等方面。

（5）主成分分析（Principal Component Analysis，PCA）

这是一种降维处理技术，即把多指标转化为少数几个综合指标，从而使研究简化。在实际问题研究中，为了全面、系统地分析问题，我们必须考虑众多影响因素（变量），因为每个变量都在不同程度上反映了所研究问题的某些信息，但是指标之间彼此有一定的相关性，因而所得的统计数据反映的信息在一定程度上有重叠。由于变量太多会增加计算量和增加分析问题的复杂性，通过主成分分析可发现用较少的变量，得到较多的信息量。该方法常用在景观评价中分析影响因子贡献度大小，剔除负荷量较小的指标，选择所占系数较大的指标，有助于确定更加合理有效的指标体系。如马琳、赵兰勇对济南植物园进行景观评价时采用了主成分分析法发现有5个主成分对评价结果影响较大[6]。

2.2 空间分析法——发现景观的空间格局特征

（1）地统计分析（Geostatistical Analysis）

地统计学是以具有空间分布特点的区域化变量理论为基础，研究自然现象的空间变异与空间结构的一门科学。它针对象矿产、资源、生物群落、地貌等有着特定的地域分布特征而发展的统计学。由于最先在地学领域应用，故称为地统计学。地统计学的主要理论是法国统计学家马瑟荣（G.Matheron）创立的，经过不断完善和改进，目前已成为具有坚实理论基础和实用价值的数学工具。由于景观空间分布的复杂性，其空间依赖性与异质性往往表现出既具有结构性又具有随机性的特征，这就致使它无法用传统的数学方法进行处理。地统计学不仅可以研究空间分布数据的结构性和随机性、空间相关性和依赖性、空间格局与变异，还可以对空间数据进行最优无偏内插，以及模拟空间数据的离散性及波动性。如薛冬冬等基于地统计学分析方法，提出了南京钟山风景区最佳景观格局研究尺度及其景观特征[7]。

（2）分形理论（Fractal Thoery）

分形，是指其组成部分具有以某种方式与整体相似的几何形态，即具有自相似结构，比如地表形态、水文过程、气候过程……以及许多社会经济现象等。按照分形理论，分形体内任何一个相对独立的部分（分形元或生成元），在一定程度上都是整体的再现和缩影[8]。

分形理论让人们认识到在极度复杂的现象背后存在着意想不到的简单规则。布鲁斯·T.·米尔恩（Bruce T. Milne）指出由于自然景观是具有显著规律性的图案,有大小、形状、连通性以及密度的补丁等属性，因此在景观格局与规模上出现了许多实例一致的变化分形[9]。有学者认为中国古代城市、建筑和园林空间形态表现出广义的、非严格数学意义上的分形特征，具有多层次的嵌套自相似性[10]。

目前分形在风景园林中的应用涉及到景观格局、景观美学、建筑构成、栖息地多样性及破碎现象以及景观生态学等各方面，并且从更大的尺度上对风景园林中空间系统的研究，涉及景观偏好分析、景观来源研究及景观格局预测等。如何东进运用分形理论对未来50a武夷山风景名胜区在不同干扰程度下景观格局变化进行了模拟分析[11]。分形理论为解决以往风景园林中空间格局等难题提供了新的思路，丰富了风景园林的创作思想和手法，由此成为风景园林研究的工具。如王雨竹在描述自然形态的方法上，通过提供函数，在计算机上利用少量的数据完成了对复杂的自然景观进行逼真绘制[12]。

（3）小波分析法 （Wavelet Analysis）

小波分析是傅立叶分析的突破性进展，其基本思想类似于傅立叶变换，就是用信号在一簇基函数形成空间上的投影表征该信号。小波变换在时域和频域同时具有良好的局部化性能，有一个灵活可变的时间——频率窗，能更有效的从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析，从而小波变化被誉为“数学显微镜”。小波分析能多尺度对时、空格局进行分析，也能将格局、尺度与具体空间位置明确地表示出来。借助小波分析理论，可以检测和提取空间格局的多尺度特征，并通过小波系数来表达。

小波分析作为进行景观空间特征尺度研究的一种新方法，对研究生态系统的空间异质性格局的测量尺度提供了更为可信的依据，有效地解决了尺度选择的随意性[13]。因而广泛应用于地学、生态学和景观生态学研究中，用以揭示自然或生态因子的多尺度格局。尤其是利用遥感影像作为主要信息源以来，不同分辨率图像上地物景观空间特征尺度的分析和检测是基础和重要的一环，小波分析展现了广阔的应用前景，其结果有助于理解和把控图像上地物景观在空间分布上的变异特征，特别是明显地物或地物景观的特征尺度。如蔡博峰等用小波分析的方法清晰明了地确定510km左右是林地主导的特征尺度[14]。近些年小波分析常与神经网络法、分形几何法相结合，互相弥补各自的缺陷，形成新的研究方法。如祝伟民对区域景观的生态评价研究中，构建了基于小波神经网络的景观生态评价指标体系，提出景观生态评价的小波神经网络模型，并且以姜堰市为研究对象，开展了土地可持续利用景观生态评价的研究[15]。

（4）景观指数分析法 （Landscape Index Analysis）

景观指数是高度浓缩的景观格局信息，反映景观结构组成、空间配置特征的简单量化指标，并且是研究景观格局构成、特征的最常用的静态定量分析方法。常用反映景观格局的景观指数根据景观的空间形态可分为破碎化指数、边缘特征指数、形状指数和多样性指数等4大类[16]。目前大多研究者通过比较景观指数在时间维度上的变化反映景观格局演变趋势。景观指数分析法已经成为风景园林常用的分析手段，各指数的生态学意义以及计算方法比较成熟，这里不再赘述。

3 景观综合评价

风景园林规划设计通过对场地生态系统和空间结构的整合，最大限度地发挥基地潜力，是基于环境自我更新的再生设计。因此，对场地生态系统、空间结构、历史人文背景的认知是规划设计的前提，而景观综合评价是对场地认知的重要途径。

在景观综合评价过程中，常常通过选取相应的影响因子建立评价指标体系，再选择适宜的数学方法进行量化评价，从而为规划设计决策提供依据。其中，最常用的方法是运筹学中的层次分析法和模糊数学理论，以及灰色理论中的灰色关联分析法等。

3.1 层次分析法（Analytic Hierarchy Process，AHP）

所谓层次分析法，是指将一个复杂的多目标决策问题作为一个系统，将决策问题按总目标、各层子目标、评价准则直至评价因子的顺序分解为不同的层次结构，然后用求解判断矩阵特征向量的办法，求得每一层次的各元素对上一层次某元素的优先权重，最后再用加权和的方法递阶归并各评价因子对总目标的最终权重。

层次分析法通过两两比较标度值的方法，把人们依靠主观经验来判断的定性问题定量化，既有效地吸收了定性分析的结果，又发挥了定量分析的优势；既包含了主观的逻辑判断和分析，又依靠客观的精确计算和推演，从而使决策过程具有很强的条理性和科学性。

层次分析法在风景园林学中的应用十分广泛，凡是涉及到方案比较、指标权重确定及需要做出决策的问题都可运用层次分析法辅助分析，如景观评价指标体系的构建、风景园林规划设计方案的比选、风景资源开发潜力评价、植物景观的评价、生态系统敏感性评价等，并且常常与其他数学方法结合应用。如舒远山等通过层次分析法构建了淮南市旅游资源开发类型评价指标体系[17]。庄世坚、叶丽娜将层次分析法应用于风景区的环境质量评价，并对厦门市的4个风景区进行评价和排序[18]。

3. 2 模糊数学综合评价法 （Fuzzy Comprehensive Evaluation，FCE）

模糊数学是一种研究和处理模糊现象的数学方法，由美国自动控制专家L. A. Zadeh于1965年首次提出。它通过数量化的描述和运算，对系统中多个相互影响因素进行综合评价。

模糊综合评判法是一种运用模糊变换原理分析和评价模糊系统的方法，它以模糊推理为主，定性与定量结合、精确与非精确相统一。它的基本原理是，将评价对象视为由多种因素组成的模糊集合（评价指标集），通过建立评价指标集到评语集的模糊映射，分别求出各指标对各级评语的隶属度，构成评判矩阵（或称模糊矩阵），然后根据各指标在系统中的权重分配，通过模糊矩阵合成，得到评价的定量解值。

模糊数学法在风景园林中最早应用于风景名胜区的环境评价以及旅游资源评价研究,后被更广泛地应用于风景园林各要素，包括水系景观评价、公路景观评价、植物景观效果评价等。 1986年，张江山将模糊数学方法应用于风景区的环境质量评价，并将评价方法运用到福建省十佳风景区评价中[19]。彭敏、鲍晓云运用模糊数学理论将人群对旅游地区的感观性指标转为定量指标，较客观地评价了该区域旅游环境的现状[20]。张立明在环城市游憩开发系统研究中，应用多层次模糊综合评价方法构建了游憩地游客满意度(RDVSI)模型[21]；黄国平等从公众对城市水景观质量的评语中进行模糊综合评价，并通过求解模糊关系矩阵来获取各因素对整体景观影响的权重系数，从而指导城市水系景观规划设计[22]。

模糊综合评判法在应用中常与层次分析法相结合，方法是：首先利用层次分析法来确定评价指标体系的权重，然后在此基础之上进行模糊综合评价。这种AHP-模糊综合评价法已经相当成熟，并被广泛应用于景观资源评价、生态评价等方面，如付毅的高等级公路景观评价方法研究[23]、乔文黎对城市滨水区景观评价的研究等[24]。

3. 3 灰色关联度分析法（Grey Relational Analysis，GRA）

灰色系统理论是1982年由我国学者邓聚龙教授首次提出的。所谓灰色系统是介于白色系统和黑箱系统之间的过渡系统，其具体的含义是：如果某一系统的全部信息已知为白色系统，全部信息未知为黑箱系统，部分信息已知，部分信息未知，那么这一系统就是灰色系统。一般地说，社会系统、经济系统、生态系统都是灰色系统。

灰色关联度分析法是一种多因素统计分析方法，它是以各因素的样本数据为依据用灰色关联度来描述因素间关系的强弱、大小和次序，若样本数据反映出的2种因素变化的态势（方向、大小和速度等）基本一致，则它们之间的关联度较大；反之，关联度较小。此方法的优点在于思路明晰，可以在很大程度上减少由于信息不对称带来的损失，并且对数据要求较低，工作量较少；其主要缺点在于要求需要对各项指标的最优值进行现行确定，主观性较强，同时部分指标最优值难以确定。

目前灰色关联分析法在风景园林中主要应用于影响因子的评定、美景度评价中评价指标的筛选、游客满意度分析、景观设计中方案的选择等，它也常与其他数学方法结合使用。如付毅在对高等级公路景观评价中，将模糊综合评判法和灰色关联分析法结合进行评价[23]；杨盼在旅游需求预测的研究中，采用灰色关联分析法描述了各影响因素对国内旅游人数的影响程度的大小然后将神经网络和灰色模型进行有机结合建立了灰色神经网络组合模型用于旅游人数预测[25]。

4 景观过程模拟及预测

任何景观现象，都随着时间在不断地运动和变化着。风景园林的研究引入了各种数学模型对景观过程进行模拟和拟合，从而定量地揭示景观现象随时间变化的规律，进一步对其未来发展趋势做出预测。比较常见的2种方法是人工神经网络法和元胞自动机模型。

4.1 人工神经网络法（Artif i cial Neural Networks，ANN）

人工神经网络是由大量神经元广泛互连而形成的网络，是在对人脑认识的基础上，以数学和物理方法及从信息处理的角度对人脑生物神经网络进行抽象并建立起来的某种简化模型。

人工神经网络首先要以一定的学习准则进行学习，然后才能工作。当其对输入的模式已有记忆，当网络再遇到其中任何一个模式，就能够做出迅速、准确的判断和识别。通常，网络所含的神经元个数越多，能记忆、识别的模式也就越多。到目前，已经出现了近60种神经网络模型，不同的人工神经网络模型的拓扑结构、传递函数和学习规则是有一定区别的。目前人工神经网络的实际应用中, 绝大部分的模型都是采用鲁梅尔哈特（Rumelhart） 等人于1986 年提出的BP（Backpropagation）模型或者它的变化形式。

人工神经网络方法在计算机图像、经济管理学、心理学、地理学等领域都有广泛的应用。在地理学中，该方法适用于地理模式识别、地理过程模拟与预测、复杂地理系统的优化计算等问题的研究。近年来，在生态建设、城市规划等领域的模拟、评价和预测中的应用也日益广泛[26]。

目前在风景园林中人工神经网络法多用于区域景观格局的模拟预测研究，如张利权、甄彧分析了上海市城市景观格局及其变化规律，建立了能够较好地模拟上海市景观格局对居住区用地、道路密度、人口密度、城市发展历史与黄浦江等自然、社会、经济因素相应的人工神经网络，提出了利用人工神经网络模型预测不同时期景观格局的设想[27]。郭烁、夏北成等通过对森林景观格局的分维数、破碎化指数、多样性指数和聚集度指数进行系统分析,将ANN运用到了森林景观格局预测!模拟分析及景观规划[28]。该方法还常与其它数学方法结合应用，如祝伟民[15]将神经网络和小波分析法相结合进行景观生态的评价；井长青等将神经网络与元胞自动机耦合，建立城市土地利用的动态演化模型[29]；杨盼在将神经网络与灰色系统结合，拟合4个方面（公路里程、服务人数、人均可支配收入、旅游收入）对旅游人数影响的非线性关系，并进行旅游需求的预测[25]。

4.2 元胞自动机（Cellular Automata，CA）

元胞自动机也称细胞自动机，是一个时间和空间都离散的动力系统，是对时间、空间研究对象的一个高度的抽象概括。它由4部分组成，分别是元胞（Cells）、状态（States）、邻域（Neighbors）和规则（Rules）。

景观变化过程中，斑块的变化既取决于上一时间点的状态，同时受到相邻斑块性质及其变化的影响。元胞自动机模型正是基于这种思想，使用简单的转换规则模拟复杂的景观变化过程。元胞自动机模型的工作机理是：将研究区域划分为若干个大小形状一致的单元，即“元胞”，在其集合构成的元胞空间中，每个元胞都具有有限个邻居，每个元胞的当前状态以及邻居的状况决定了下一时刻该元胞的状态。元胞规则定义了元胞状态转换的规则。这样，散布在规则网格（Lattice Grid）中的元胞遵循相同的作用规则进行更新演化，大量的元胞通过简单的相互作用构成一个动态演化系统。元胞自动机模型是以栅格数据为基础，能够直接读取大型空间数据库和各种分辨率的遥感影像数据，也能够与基于栅格的GIS系统很好的集成，来处理时空问题。

元胞自动机模型最早由乌拉姆（S. M.Ulam）在1940年代提出。1960年代开始，它被运用到地理学上[30]；托布勒（Tobler）在1970年代首先正式采用元胞自动机的概念来模拟美国五大湖边底特律地区城市的迅速扩展[31]。在1980年代中后期以来，CA在地理学上的应用得到了长足的发展，如城市热岛效应的模拟、交通流的模拟、城市土地利用动态模拟等。自20世纪90年代开始，CA被引入到风景园林的规划和管理中，广泛应用于景观格局和空间生态学过程的研究上。利用元胞自动机进行区域景观时空演化过程模拟，可以揭示景观演替的机制与规律，进而预测景观的未来变化趋势，为景观的保护和管理提供决策支持。郭红结合GIS模拟了森林的景观过程，尝试将元胞自动机运用到森林景观生态规划上[32]；于欢等用元胞自动机技术模拟了湿地景观的时空演化过程[33]。

5 景观格局优化方法

遗传算法（Genetic Algorithm，GA）是一种有效解决空间优化问题的方法，它模拟达尔文的遗传选择和自然淘汰的生物进化过程的计算模型。其思想源于生物遗传学和适者生存的自然规律，是具有“生存＋检测”的迭代过程的搜索算法。遗传算法以一种群体中的所有个体为对象，并利用随机化技术指导对一个被编码的参数空间进行高效搜索。其中，选择、交叉和变异构成了遗传算法的遗传操作；参数编码、初始群体的设定、适应度函数的设计、遗传操作设计、控制参数设定5个要素组成了遗传算法的核心内容。 作为一种新的全局优化搜索算法，遗传算法以其简单通用、适于并行处理以及高效、实用等显著特点，在各个领域得到了广泛应用，取得了良好效果，并逐渐成为重要的智能算法之一。

遗传算法首先对可行域中的点进行编码，然后随机挑选一些组成第一代编码组，并计算编码的适应度。接下来利用选择机制挑选编码作为繁殖前的编码样本，适应度较高的解会保留较多的样本进行接下来的繁殖。在繁殖过程中，遗传算法提供了交叉和变异两种算子对挑选后的样本进行交换。通过选择和繁殖产生下一代编码组，重复这一过程，直到达到原先设定的条件，即找到最优解。遗传算法是一种求解复杂系统化问题的通用框架，不依赖于问题的具体领域，但由于在很多情况下容易产生“早熟”现象以及局部寻优能力较差等问题，所以它常常和其他数学方法结合使用，如神经网络、模糊数学等等，作用于数学方法中参数的优化，而并不直接作用于案例本身。

遗传算法在风景园林中的应用不多，目前主要应用于区域景观空间格局的优化。如张戈丽应用遗传算法对济南市进行景观空间结构优化研究，确定景观类型在空间上的分配[34]。潘玉侠等首次提出将遗传算法理论运用于旅游线路优化之中，并建立了基于遗传算法的旅行线路优化算法，这是单独应用遗传算法的案例[35]。

6 讨论

当前，计算机及各种功能软件的发明、“3S”等空间信息技术的发展给我们的生活带来一场革命，数字技术将为风景园林带来无限可能，数学与风景园林学科的交叉融合必将成为未来数字化/参数化风景园林规划设计的核心之一。但是，作者相信本文并没有囊括所有的应用于风景园林的数学方法，并且由于很多方法适用范围较广，使得本文对上述提及的数学方法按照风景园林实践阶段归类有一定的局限性，但同时也认识到我国目前风景园林中数学方法的应用仍处于初步探索阶段，还局限于用理想化模型验证方法本身的可行性和准确性研究，应用的领域也局限于风景园林中社会经济现象的统计学分析及区域景观格局研究为主，今后应主动吸收数学领域新的成果，进一步增强应用的深度和广度。

还需明确的是，由于风景园林系统存在着不确定性和复杂性，任何一种方法都可能存在某些局限。所以，一方面，在实践中应具体情况具体分析，根据风景园林系统的特征和数学方法的适用范围选择合适的方法；另一方面，要认识到数学方法不可能完全取代传统的定性分析方法，避免走入“唯数字论”的误区。传统方法采用的方式是根据已有的概念体系对资料进行综合归纳，而数学方法采用的方式是根据数据推理演绎为主。传统方法与数学方法的有机结合，使得分析方法更加全面、综合，是风景园林研究中必不可少的条件，这两种方法在风景园林中的作用是不能相互替代的。

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