非线性微分系统的等度积分φ0-相对稳定性

王培光, 许青

(1.河北大学 电子信息工程学院， 河北 保定 071002； 2.河北大学 数学与计算机学院， 河北 保定 071002)

迄今为止，对于2微分系统的相对稳定性理论已有一些结果[1-5].其中，文献[1]讨论了关于2微分系统的相对稳定性概念，文献[2]又将这一概念发展为关于2微分系统的φ0-相对稳定性.文献[3]讨论了脉冲混合微分系统的φ0-相对稳定性.然而在已有关于相对稳定性的研究中，积分φ0-相对稳定性的相关结论很少.

考虑如下2个微分系统

x′=f1(t,x),x(t0)=x0,
y′=f2(t,y),y(t0)=y0,

(1)

及其扰动系统

x′=f1(t,x)+h1(t,x),x(t0)=x0,
y′=f2(t,y)+h2(t,y),y(t0)=y0,

(2)

其中f1,f2,h1,h2∈C[R+×Sρ,Rn],且f1(t,0)=f2(t,0)=h1(t,0)=h2(t,0)=0,R+=[0,+∞),Sρ={x∈K:‖x‖<ρ,ρ>0},‖·‖为Rn中范数.本文利用锥值Lyapunov函数方法和比较原理研究了微分系统(1)的等度积分φ0-相对稳定性.另外，关于φ0-稳定性和积分稳定性的相关结论见文[1-12].

1 预备知识

定义1Rn的真子集K称为锥，如果

1)λK⊂K，λ≥0，2)K+K⊂K，3)K=K，4)K0≠Φ，5)K∩(-K)={0}，其中K和K0分别称为K的闭包与内部，∂K称为K的边界.

定义4函数b(r)属于K类函数，如果b∈C[[0,ρ),R+],b(0)=0,且b(r)关于r是严格单增的.

本文将利用比较原理研究非线性微分系统的等度积分φ0-相对稳定性.为此，考虑如下比较系统

u′=G(t,u),u(t0)=u0,

(3)

u′=G(t,u)+p(t),u(t0)=u0,

(4)

称Lyapunov函数V(t,x,y)属于类v0，如果满足

1)V(t,x,y)∈C[R+×Sρ×Sρ,K],V(t,x,y)关于t,x以及y有连续的偏导数；

2)V(t,x,y)对于任意t，关于x,y满足局部Lipschitz条件，V(t,x,x)=0.

令V(t,x,y)∈v0，则定义

D+V(t,x,y)=limh→0+sup1h[V(t+h,x+hf1(t,x),y+hf2(t,y))-V(t,x,y)].

2 主要结果

给出如下定义及引理.

定义5比较微分系统(3)的零解是等度积分φ0-稳定的，如果对α≥0，t0∈R+,存在β=β(t0,α),其中α，β∈K，β在t0处连续，使得当

时，有

(φ0，u*)<β，t≥t0,

其中u*(t,t0,u0)为微分系统(4)的右行最大解.

其他相应的积分稳定性概念见文献[1，11].

定义6微分系统(1)的零解是等度积分相对稳定的，如果对α≥0，t0∈R+,存在β=β(t0,α),其中α，β∈K，β在t0处连续，使得对扰动系统(2)的所有解x(t)=x(t,t0,x0),y(t)=y(t,t0,y0)，当

时，有‖x(t)-y(t)‖<β,t≥t0成立.

定义7微分系统(1)的零解是

IS1)等度积分φ0-相对稳定的，如果对α≥0，t0∈R+,存在β=β(t0,α)，其中α，β∈K，β在t0处连续，使得当

时，(φ0，x*(t)-y*(t))<β，t≥t0成立，其中x*(t,t0,x0)和y*(t,t0,y0)为扰动系统(2)的右行最大解.

IS2)一致积分φ0-相对稳定的，如果IS1)中的β与t0无关.

IS3)等度渐近积分φ0-相对稳定的，如果IS1)成立，并且对ε>0，α≥0和t0∈R+,存在β(t0,α)∈K及T=T(t0,α,),γ=γ(t0,α,)∈R+,使得当

时，(φ0，x*(t)-y*(t))<ε，t≥t0+T成立，其中x*(t,t0,x0)和y*(t,t0,y0)为扰动系统(2)的右行最大解.

IS4)一致渐近积分φ0-相对稳定的，如果IS3)中的β,T,γ与t0无关.

引理1假设

H1)V(t,x,y)关于x，y满足局部Lipschitz条件，且对(t,x,y)∈J×Sρ×Sρ,有D+V(t,x,y)≤G(t,V(t,x,y));

H2)G∈C[J×K,Rn]，且对任意t∈J，G关于u是拟单调非减的.

若V(t0,x0,y0)≤u0,则有

V(t,x0,y0)≤r(t,t0,u0),t≥t0,

其中r(t,t0,u0)为微分系统(3)的右行最大解.

证明： 令x(t)=x(t,t0,x0),y(t)=y(t,t0,y0)为微分系统(1)的解，使得V(t0,x0,y0)≤u0.

令m(t)=V(t,x(t),y(t)),则对充分小的h>0，由V(t,x(t),y(t))关于x，y满足局部Lipschitz条件，得

m(t+h)-m(t)≤L‖x(t+h)-x(t)-hf1(t,x(t))‖+L‖y(t+h)-y(t)-

hf2(t,y(t))‖+V(t+h,x(t)+hf1(t,x(t)),y(t)+hf2(t,y(t)))-V(t,x(t),y(t)).

由上式及H1)，D+m(t)≤G(t,m(t)).

根据文[14]的定理2.3，得V(t,x0,y0)≤r(t,t0,u0).

定理1假设

A1)V(t,x,y)∈v0;

A2)D+V(t,x,y)≤G(t,V(t,x,y));

A3)f1,f2分别关于x，y是拟单调非减的；

A4)对(t,x,y)∈J×Sρ×Sρ，(φ0，x(t)-y(t))≤(φ0,V(t,x,y)).

比较系统(3)零解的等度积分φ0-稳定性蕴含微分系统(1)零解的等度积分φ0-相对稳定性.

证明： 比较系统(3)的零解是等度积分φ0-稳定的，即对α≥0,t0∈R+,存在β=β(t0,α),其中α，β∈K，β在t0处连续，当

时，有

(φ0，r*)<β，t≥t0,

其中r*是微分系统(4)的右行最大解.

令h1(t,x*)=M1p(t),h2(t,y*)=M2p(t),M1,M2为常数，则

因为V(t,x,x)=0，并且V(t,x,y)是连续的，所以存在α1满足

‖x0-y0‖≤α1,‖V(t0,x0,y0)‖<β‖φ0‖.

令V(t0,x0,y0)=u0，由定理1条件A2)及引理1可知，V(t,x,y)≤r*(t,t0,u0)，其中r*(t,t0,u0)是微分系统(4)的最大解.

由

(φ0，x0-y0)≤‖φ0‖‖x0-y0‖≤‖φ0‖α1，

得

(φ0，V(t,x,y))≤‖φ0‖‖V(t,x,y)‖<β.

令α*=min[‖φ0‖α1,|M1-M2|α],使得

(φ0，x0-y0)≤α*，(φ0，V(t,x,y))<β.

(5)

由定理1中A4)及式(5)，得

(φ0，x(t)-y(t))≤(φ0,V(t,x,y))<(φ0，r*)<β,t≥t0.

因此，由

得

(φ0，x*-y*)<β，t≥t0.

因此，微分系统(1)的零解是等度积分φ0-相对稳定的.

定理2假设条件A1)，A3)成立，且进一步假设

A5)a(φ0，x-y)≤(φ0,V(t,x,y)),a-1(ω)≤ω,a∈K;

A6)D+(φ0，V(t,x,y))≤-v[g(φ0,V(t,x,y))]+μ(t)(φ0,V(t,x,y)),其中v∈K，g，μ∈C[R+,R+]；

A7)μ′(t)<0，limt→+∞μ(t)=0,对t≥t0>0,

则比较系统(3)零解的等度渐近积分φ0-稳定性蕴含微分系统(1)零解的等度渐近积分φ0-相对稳定性.

证明： 由条件A6)，A7)，存在充分大的t1≥t0,当t≥t1时，D+(φ0，V(t,x,y))≤0.

比较系统(3)的零解是等度渐近积分φ0-稳定的，从而是积分φ0-稳定的，即对α≥0，t0∈R+，存在β=β(t0,α)，γ=γ(t0,α,ε),当

有(φ0，r*)<β,t≥t0.

A5)蕴含定理1中A4)，则由定理1可知

(φ0,V(t,x*,y*))≤(φ0，V(t0,x0,y0)).

因此由定理1，微分系统(1)的零解是等度积分φ0-相对稳定的.

下面为证当t→+∞时，(φ0，x*-y*)→0成立，须证当t→+∞时，(φ0，V(t,x*，y*))→0成立.假设V*=limt→+∞V(t,x,y)≠0.

对A6)有

因此，对系统(2)的右行最大解x*,y*，有

(6)

对式(6)积分，得

当t→+∞时，(φ0，V(t,x*,y*))→-∞与A5)矛盾.故V*=0一定成立.

从而，当t→+∞时,(φ0，V(t,x*,y*))→0，即当t→+∞时,(φ0，x*-y*)→0.因此，微分系统(1)的零解是等度渐近积分φ0-相对稳定的.

参 考 文 献:

[1] LAKSHMIKANTHAM V, LEELA S. Differential and integral inequalities[M]. New York: New York Academic Press， 1969.

[2] EL-SHEIKH M M A, SOLIMAN A A, ABDALLA M H. On stability of nonlinear differential systems via cone-valued Lyapunov function method[J]. Appl Math Comput, 2001, 119:265-281.

[3] WANG Peiguang, FAN Yongyan,WU Yonghong. On relativeφ0-stability of impulsive hybrid systems via perturbing Lyapunov functions[J]. Appl Math Comput, 2010, 216:3050-3055.

[4] AKPAN E P, AKINYELE O. On theφ0-stability of comparison differential systems[J]. J Math Anal Appl, 1992, 164:307-324.

[5] WANG Peiguang, GENG Fengjie. On relativeφ0-stability of nonlinear systems of functional differential equations[J]. International Journal of Pure and Applied Mathematics, 2003, 1:67-75.

[6] EL-SHEIKH M M A, SOLIMAN A A.φ0-Stability criteria of nonlinear systems of differential equations[J]. Pan Amer Math J, 1995, 5(3):17-30.

[7] EL-SHEIKH M M A, SOLIMAN A A. On stability of nonlinear systems of functional differential equations[J]. Appl Math Comput, 2000, 107:81-93.

[8] WANG Peiguang, LIU Xia.φ0-Stability of hybrid impulsive dynamic systems on time scales[J]. J Math Anal Appl, 2007, 334:1220-1231.

[9] WANG Peiguang, WU Meng.φ0-Boundedness and φ0-stability of difference equations [J]. Compu Math Appl, 2011, 62:2863-2870.

[10] HRISTOVA S G. Integral stability in terms of two measures for impulsive functional differential equations[J]. Math Comp Model, 2010, 51:100-108.

[11] SOLIMAN A A, ABDALLA M H. Integral stability criteria of nonlinear differential systems[J]. Math Comp Model, 2008, 48:258-267.

[12] SOLIMAN A A. On stability for impulsive perturbed systems via cone-valued Lyapunov function method[J]. Appl Math Comput, 2004, 157:269-279.

[13] 廖晓昕.稳定性的理论、方法和应用[M].2版.武汉：华中科技大学出版社, 2010.

[14] LAKSHMIKANTHAM V, LEELA S. Cone-valued Lyapunov functions[J]. Nonlinear Anal, 1977,1(3):215-222.