乘积FC-度量空间中的不动点定理及其对广义约束多目标对策的应用

文开庭

(毕节学院土木建筑工程学院，贵州毕节551700)

近年来，由于多准则模型能更好的应用于真实世界，因而，对策论中的具有矢量支付函数的对策问题被广泛研究，而Pareto平衡的存在性是多目标对策的基本问题之一.文献［1-2］引入研究了局中人数是有限或无限的并且所有的支付函数是单值的和取值于无限维空间的约束多目标对策模型.L.J.Lin等［3］在局部凸拓扑矢量空间内引入研究了具有多值矢量支付函数的广义约束多目标对策.文献［4-5］研究了局部FC-空间和局部FC-一致空间中的广义约束多目标对策，文献［6-8］研究了相关的广义矢量平衡问题.文献［9-10］引入了FC-度量空间，建立了FC-度量空间中的R-KKM定理、不动点定理及抽象经济平衡存在定理，研究了FC-度量空间中的变分不等式解集、相交点集、Ky Fan截口和极大元集的性质.文献［11］建立了FC-度量空间新的R-KKM定理和不动点定理.文献［12-13］研究了FC-度量空间中的匹配定理、抽象经济平衡、一般拟平衡问题系统等.文献［14-15］研究了FC-度量空间中的一般拟平衡问题、约束多目标对策、带上下界的广义平衡问题等.

本文的目的是建立乘积FC-度量空间中的Browder型不动点定理.我们的结论统一、改进和推广了一些近期文献的已知结果.作为应用，获得了FC-度量空间中广义约束多目标对策的弱Pareto平衡的新的存在定理.

1 预备知识

用〈X〉和2X分别表示非空集X的一切非空有限子集的族和X的所有子集的族，Δn表示以e0，e1，…，en为顶点的n维标准单形.(X，φN)称为FC-空间，若X为拓扑空间，且对∀N:={x0，x1，…，xn}∈〈X〉，存在连续映射 φN:Δn→X.D⊂X称为X的FC-子空间，若对∀N:={x0，x1，…，xn}∈〈X〉和∀{xi0，xi1，…，xik}⊂N∩D，φN(Δk)⊂D.设X≠Ø，(Y，φN)为FC-空间，称映射T:X→2Y为 R-KKM映射，若对∀{x0，x1，…，xn}∈〈X〉，∃N:={y0，y1，…，yn}∈〈Y〉，使得对∀{i0，i1，…，ik}⊂{0，1，…，n}，有.设X≠Ø，Y为拓扑空间，称集值映射T:X→2Y为转移紧开(相应地，闭)值的，若对∀x∈X和任意紧集K⊂Y，且y∈G(x)∩K(相应地，y∉G(x)∩K)，∃x'∈X使得y∈intK(G(x')∩K)(相应地，y∉clK(G(x')∩K)).设(M，d)为度量空间，以μ记M上的Kuratowksi非紧性测度.(M，d，φN)称为 FC-度量空间，若(M，d)为度量空间，(M，φN)为 FC-空间，且对∀N:={x0，x1，…，xn}∈〈M〉，φN(Δn)⊂co(N).

据文献［5］，设Z为拓扑矢量空间，C⊂Z为闭凸尖锥具有int(C)≠Ø，Ø≠A⊂Z.称∈A是A的弱矢量极小点，若对∀z∈A，z-∉ -int(C)，用wminC(A)表A的弱矢量极小点集.设I为指标集，∀i∈I，Xi为 拓 扑 空 间.记对∀x∈X，分别以 πi和 πi表X在Xi和Xi上的投影，写xi:= πix，xi:= πix，x=(xi，xi).一个广义约束多目标对策(GCMOG) Γ:=(Xi，Ai，Fi，Ci)i∈I是有序组(Xi，Ai，Fi，Ci)的族.其中，指标集I为局中人集，{Zi}i∈I为Hausdorff拓扑矢量空间族，对每个局中人i∈I，其策略集Xi为拓扑空间，约束对应Ai:Xi→2Xi、支付函数Fi:Xi×Xi→2Zi和最优判别准则Ci:Xi→2Zi为集值映射，且对∀i∈I，Ci(xi)是Zi内的闭凸尖锥具有int(Ci(xi))≠Ø，Ci(xi)≠Zi.称为Γ的弱 Pareto平衡，若对∀i∈I，∃i∈Fi(i，i) 使得i∈Ai(i)，zi-i∉-intCi(i)，∀zi∈Fi(i，ui)，ui∈Ai(i).

2 主要结果

［1］Yu H.Weak Pareto equilibria for multiobjective constrained games［J］.Appl Math Lett，2003，16(5):773-776.

［2］Lin Z，Yu J.The existence of solutions for the system of generalized vector quasi-equilibrium problems［J］.Appl Math Lett，2005，18(4):415-422.

［3］Lin L J，Cheng S F.Nash-type equilibrium theorems and competitive Nash-type equilibrium theorems［J］.Comput Math Appl，2002，44(10/11):1369-1378.

［4］Ding X P.Weak Pareto equilibria for generalized constrained multiobjective games in locally FC-spaces［J］.Nonlinear Anal，2006，65(3):538-545.

［5］Ding X P，Lee C S，Yao J C.Generalized constrained multiobjective games in locally FC-uniform spaces［J］.Appl Math Mech，2008，29(3):301-309.

［6］王彬，丁协平.FC-空间中的KKM型定理和重合点定理在广义矢量平衡问题中的应用［J］.四川师范大学学报:自然科学版，2008，31(1):38-41.

［7］丁协平.局部FC-一致空间内的联立广义矢量拟平衡问题组［J］.四川师范大学学报:自然科学版，2009，32(1):1-12.

［8］郑莲.拓扑空间中的广义L-KKM定理和抽象广义矢量平衡问题［J］.四川师范大学学报:自然科学版，2010，33(5):610-613.

［9］文开庭.FC-度量空间中的R-KKM定理及其对抽象经济的应用［J］.西南师范大学学报:自然科学版，2010，35(1):45-49.

［10］文开庭.FC-度量空间中的R-KKM定理及其对变分不等式和不动点的应用［J］.应用泛函分析学报，2010，12(3):266-273.

［11］文开庭，李和睿.有限度量紧开值映射的R-KKM定理及其对不动点的应用［J］.西南大学学报:自然科学版，2011，33(10):110-113.

［12］文开庭，李和睿.FC-度量空间中的匹配定理及其对抽象经济的应用［J］.经济数学，2012，29(4):38-41.

［13］文开庭.FC-度量空间中的Browder不动点定理及其对一般拟平衡问题系统的应用［J］.应用数学，2013，26(1):75-79.

［14］Wen K T.Properties of the solution set for generalized equilibrium problems with lower and upper bounds in FC-metric spaces［J］.Adv Mat Res，2013，671/672/673/674(2):1557-1560.

［15］文开庭.FC-度量空间中的一般拟平衡问题及其对约束多目标对策的应用［J］.西南大学学报:自然科学版，2013，35(4):91-94.

［16］Kirk W A，Sims B，Yuan X Z.The Knaster-Kuratowski and Mazurkiewicz theory in hyperconvex metric spaces and some of its applications［J］.Nonlinear Anal，2000，39(5):611-627.

［17］Chowdhury M S R，Tarafder E，Tan K K.Minimax inequalities on G-convex spaces with applications to generalized game［J］.Nonlinear Anal，2001，43(2):253-275.

［18］Park S.Fixed point theorems in hyperconvex metric spaces［J］.Nonlinear Anal，1999，37(4):467-472.

［19］Park S.Fixed point theorems in locally G-convex spaces［J］.Nonlinear Anal，2002，48(6):869-879.

［20］Chen F J，Shen Z F.Continuous selection theorem and coincidence theorem on hyperconvex spaces［J］.Adv Math China，2005，34(5):614-618.

［21］文开庭.非紧超凸度量空间中的Browder不动点定理及其对重合问题的应用［J］.数学进展，2005，34(2):208-212.

［22］Wen K T.A new GLKKM theorem in L-convex spaces with the application to fixed points［J］.J Math Res Exposition，2009，29(6):1064-1068.

［23］Wen K T.A new Ky Fan matching theorem in noncompact L-convex spaces with the application to systems of general quasiequilibrium problems［J］.J Math Res Exposition，2011，31(5):898-904.

［24］文开庭.FC-空间中的不动点定理及其对广义拟平衡问题系统的应用［J］.数学的实践与认识，2013，43(21):217-221.

［25］Wen K T.A new fixed point theorem in FC-metric spaces with applications to variational inequalities and saddle points［J］.College Math，2013，29(5):23-27.

［26］文开庭.FC-度量空间中新的不动点定理及其对鞍点的应用［J］.应用泛函分析学报，2013，15(1):26-31.

［27］Wen K T.A new fixed point theorem in L-convex spaces with the application to saddle points［J］.Chin Quart J Math，2013，28(1):27-32.

［28］文开庭.GFC-空间中的Browder不动点定理及其对重合问题的应用［J］.毕节学院学报，2013(4):26-32.

［29］Wen K T.A new intersection theorem in topological spaces with applications to variational inequalities and fixed points［C］//International Conference on Artificial Intelligence.Management Science and Electronic Commerce，2011:923-926.

［30］Wen K T.New GRKKM theorems in FC-spaces with application to fixed points［J］.Adv Math China，2010，39(3):331-337.

［31］Wen K T.A GLKKM type theorem for noncompact complete L-convex metric spaces with applications to variational inequalities and fixed points［J］.J Math Res Exposition，2009，29(1):19-27.

［32］程支明.渐近非扩张映射族公共不动点的粘性逼近［J］.四川师范大学学报:自然科学版，2010，33(3):317-322.

［33］赵良才，肖辉成.变分包含与非扩张映象不动点问题公解的黏性算法［J］.四川师范大学学报:自然科学版，2010，33(1):62-68.

［34］陈升平.用Leggett-Williams不动点定理求多点边值问题的3个正解［J］.四川师范大学学报:自然科学版，2009，32(4):465-469.

［35］卫星，张万雄.偏序集上拟压缩映象的一个不动点定理及应用［J］.四川师范大学学报:自然科学版，2009，32(4):421-423.

［36］丁协平.乘积局部FC-一致空间内的聚合不动点定理和应用［J］.四川师范大学学报:自然科学版，2009，32(4):1-5.