买西瓜中的数学

李媛

一、买西瓜——做数学

开普勒是德国近代著名的天文学家、数学家、物理学家和哲学家.他以数学的和谐性探索宇宙，在天文学方面做出了巨大的贡献.开普勒是继哥白尼之后第一个站出来捍卫太阳中心说、并在天文学方面有突破性成就的人物，被后世的科学家称为“天上的立法者”.

开普勒出生在德国威尔的一个贫民家庭，他在童年时代遭遇了很大的不幸，四岁时患上了天花和猩红热，虽侥幸死里逃生，身体却受到了严重的摧残，但开普勒身上有一种顽强的进取精神.大学毕业后，为了谋生，开普勒曾当过家庭教师，教授的科目就是数学，由此他对数学中许多问题产生了浓厚兴趣，并投入相当多的时间和精力进行研究.比如最为著名的是，某一日开普勒对如何精确计算圆的面积有了自己的想法.在此以前，古代的数学家是用不断分割的办法来求圆的面积，即把圆近似看作圆内接多边形，然后用圆内接多边形的面积近似代替圆的面积.而不断增加分割的次数，只能保证求出的结果相对更精确些（此时圆内接多边形更接近于圆）.但可以看出，不管分多少次，得到的都是大致的近似值.那能不能有一种方法能从根本上解决近似的敝病呢？开普勒首先想到的是，从理论上来进行分割，最准确的莫过于把圆分成无穷多等分，可这样的分法如何求出它的面积呢？

开普勒苦苦思索这个问题却不得其解，有一天他看见有人正在切西瓜，不禁眼前一亮：西瓜被切成一块块，而这一块块又是原本能拼成球形西瓜的，那么与此类似，圆也能分成许多小的扇形，然后把这些扇形进行对插处理（如图1）.这样圆的面积就转变成一个近似长方形的面积，可以想象，因为开普勒设想的是把圆分成无穷多个小扇形，所以小扇形中弯曲的弧就会越来越小，最终小扇形就“化曲为直”成为小三角形，而拼成的图形就极端化为一个长方形，长方形的长为原周长的一半πr，宽就是圆的半径r，那么长方形的面积为西瓜甜不甜，不是摊主说了算.用小刀剜出一小块西瓜，是顾客们的惯用手法.这里也有数学，剜瓜启发我们得到一个直观推导球体积公式的妙法.仔细观察，如图2剜出的一小块瓜像不像一个“曲底面的锥体”？其顶点在球心（当然实际剜瓜不必这么深入），底面在球面上，高就是球的半径，整个大西瓜就是由无限多个这样的小锥体构成的（好像是一个以球面为底面、以球心为顶点的“封闭椎体”）

所以

这种方法就是用分割的思路，得出了球体的体积.

二、用数学——买西瓜

买西瓜即便是价格一样、也一样甜，就不用挑了？非也，还是有的挑，挑什么？这里也大有数学的学问在呢.通常购买同一品种的西瓜时，西瓜的重量越大，花费的钱越多.显然大家都希望西瓜瓤占整个西瓜的比例越大越好.假如我们把西瓜都看成球形且把这个球的半径设为R，并把西瓜瓤的密度看成是均匀的，西瓜皮的厚度都是d，那么是买大西瓜合算还是买小西瓜合算呢？

因为

其中d是定值，故R越大，dR就越小，1-dR就越大，从而西瓜瓤占整个西瓜的比例就越大.所以说，购买大西瓜更合算.

大概是1987年或1988年，数学家王元先生和太太买西瓜，两位一边挑一边算价钱呢.

由于西瓜卖得好，摊主不免有些“作怪”.不称重，分大瓜小瓜卖，大瓜3块一个，小瓜1块一个.

看到大瓜小瓜尺寸差别不是很大，很多人都拼命往小瓜那边挤.

王太太好像也是这样，却听见王元先生说：“买那个大的.”

“大的贵3倍呢……”王太太犹豫.

“大的比小的值.”王先生说.

王太太挑了两个大瓜，交了钱，看看别人都在抢小瓜，似乎又有些犹豫.

王先生看出她犹豫，笑笑说：“你吃瓜吃的是什么？吃的是容积，不是面积.那小瓜的半径是大瓜的2/3稍弱，容积可是按立方算的.小的容积不到大的30%，当然买大的赚.”

王太太点点头，又摇摇头：“你算得不对，那大西瓜皮厚，小西瓜还皮薄呢，算容积，恐怕还是买大的吃亏.”

却见王先生胸有成竹，点点头道：“嘿嘿，你别忘了那小西瓜的瓜皮却是3个瓜的，大西瓜只有1个，哪个皮多你再算算表面积看.” 聪明的小读者，你认为是买大瓜合算还是买小瓜合算呢？

一、买西瓜——做数学

开普勒是德国近代著名的天文学家、数学家、物理学家和哲学家.他以数学的和谐性探索宇宙，在天文学方面做出了巨大的贡献.开普勒是继哥白尼之后第一个站出来捍卫太阳中心说、并在天文学方面有突破性成就的人物，被后世的科学家称为“天上的立法者”.

开普勒出生在德国威尔的一个贫民家庭，他在童年时代遭遇了很大的不幸，四岁时患上了天花和猩红热，虽侥幸死里逃生，身体却受到了严重的摧残，但开普勒身上有一种顽强的进取精神.大学毕业后，为了谋生，开普勒曾当过家庭教师，教授的科目就是数学，由此他对数学中许多问题产生了浓厚兴趣，并投入相当多的时间和精力进行研究.比如最为著名的是，某一日开普勒对如何精确计算圆的面积有了自己的想法.在此以前，古代的数学家是用不断分割的办法来求圆的面积，即把圆近似看作圆内接多边形，然后用圆内接多边形的面积近似代替圆的面积.而不断增加分割的次数，只能保证求出的结果相对更精确些（此时圆内接多边形更接近于圆）.但可以看出，不管分多少次，得到的都是大致的近似值.那能不能有一种方法能从根本上解决近似的敝病呢？开普勒首先想到的是，从理论上来进行分割，最准确的莫过于把圆分成无穷多等分，可这样的分法如何求出它的面积呢？

开普勒苦苦思索这个问题却不得其解，有一天他看见有人正在切西瓜，不禁眼前一亮：西瓜被切成一块块，而这一块块又是原本能拼成球形西瓜的，那么与此类似，圆也能分成许多小的扇形，然后把这些扇形进行对插处理（如图1）.这样圆的面积就转变成一个近似长方形的面积，可以想象，因为开普勒设想的是把圆分成无穷多个小扇形，所以小扇形中弯曲的弧就会越来越小，最终小扇形就“化曲为直”成为小三角形，而拼成的图形就极端化为一个长方形，长方形的长为原周长的一半πr，宽就是圆的半径r，那么长方形的面积为西瓜甜不甜，不是摊主说了算.用小刀剜出一小块西瓜，是顾客们的惯用手法.这里也有数学，剜瓜启发我们得到一个直观推导球体积公式的妙法.仔细观察，如图2剜出的一小块瓜像不像一个“曲底面的锥体”？其顶点在球心（当然实际剜瓜不必这么深入），底面在球面上，高就是球的半径，整个大西瓜就是由无限多个这样的小锥体构成的（好像是一个以球面为底面、以球心为顶点的“封闭椎体”）

所以

这种方法就是用分割的思路，得出了球体的体积.

二、用数学——买西瓜

买西瓜即便是价格一样、也一样甜，就不用挑了？非也，还是有的挑，挑什么？这里也大有数学的学问在呢.通常购买同一品种的西瓜时，西瓜的重量越大，花费的钱越多.显然大家都希望西瓜瓤占整个西瓜的比例越大越好.假如我们把西瓜都看成球形且把这个球的半径设为R，并把西瓜瓤的密度看成是均匀的，西瓜皮的厚度都是d，那么是买大西瓜合算还是买小西瓜合算呢？

因为

其中d是定值，故R越大，dR就越小，1-dR就越大，从而西瓜瓤占整个西瓜的比例就越大.所以说，购买大西瓜更合算.

大概是1987年或1988年，数学家王元先生和太太买西瓜，两位一边挑一边算价钱呢.

由于西瓜卖得好，摊主不免有些“作怪”.不称重，分大瓜小瓜卖，大瓜3块一个，小瓜1块一个.

看到大瓜小瓜尺寸差别不是很大，很多人都拼命往小瓜那边挤.

王太太好像也是这样，却听见王元先生说：“买那个大的.”

“大的贵3倍呢……”王太太犹豫.

“大的比小的值.”王先生说.

王太太挑了两个大瓜，交了钱，看看别人都在抢小瓜，似乎又有些犹豫.

王先生看出她犹豫，笑笑说：“你吃瓜吃的是什么？吃的是容积，不是面积.那小瓜的半径是大瓜的2/3稍弱，容积可是按立方算的.小的容积不到大的30%，当然买大的赚.”

王太太点点头，又摇摇头：“你算得不对，那大西瓜皮厚，小西瓜还皮薄呢，算容积，恐怕还是买大的吃亏.”

却见王先生胸有成竹，点点头道：“嘿嘿，你别忘了那小西瓜的瓜皮却是3个瓜的，大西瓜只有1个，哪个皮多你再算算表面积看.” 聪明的小读者，你认为是买大瓜合算还是买小瓜合算呢？

一、买西瓜——做数学

开普勒是德国近代著名的天文学家、数学家、物理学家和哲学家.他以数学的和谐性探索宇宙，在天文学方面做出了巨大的贡献.开普勒是继哥白尼之后第一个站出来捍卫太阳中心说、并在天文学方面有突破性成就的人物，被后世的科学家称为“天上的立法者”.

开普勒出生在德国威尔的一个贫民家庭，他在童年时代遭遇了很大的不幸，四岁时患上了天花和猩红热，虽侥幸死里逃生，身体却受到了严重的摧残，但开普勒身上有一种顽强的进取精神.大学毕业后，为了谋生，开普勒曾当过家庭教师，教授的科目就是数学，由此他对数学中许多问题产生了浓厚兴趣，并投入相当多的时间和精力进行研究.比如最为著名的是，某一日开普勒对如何精确计算圆的面积有了自己的想法.在此以前，古代的数学家是用不断分割的办法来求圆的面积，即把圆近似看作圆内接多边形，然后用圆内接多边形的面积近似代替圆的面积.而不断增加分割的次数，只能保证求出的结果相对更精确些（此时圆内接多边形更接近于圆）.但可以看出，不管分多少次，得到的都是大致的近似值.那能不能有一种方法能从根本上解决近似的敝病呢？开普勒首先想到的是，从理论上来进行分割，最准确的莫过于把圆分成无穷多等分，可这样的分法如何求出它的面积呢？

开普勒苦苦思索这个问题却不得其解，有一天他看见有人正在切西瓜，不禁眼前一亮：西瓜被切成一块块，而这一块块又是原本能拼成球形西瓜的，那么与此类似，圆也能分成许多小的扇形，然后把这些扇形进行对插处理（如图1）.这样圆的面积就转变成一个近似长方形的面积，可以想象，因为开普勒设想的是把圆分成无穷多个小扇形，所以小扇形中弯曲的弧就会越来越小，最终小扇形就“化曲为直”成为小三角形，而拼成的图形就极端化为一个长方形，长方形的长为原周长的一半πr，宽就是圆的半径r，那么长方形的面积为西瓜甜不甜，不是摊主说了算.用小刀剜出一小块西瓜，是顾客们的惯用手法.这里也有数学，剜瓜启发我们得到一个直观推导球体积公式的妙法.仔细观察，如图2剜出的一小块瓜像不像一个“曲底面的锥体”？其顶点在球心（当然实际剜瓜不必这么深入），底面在球面上，高就是球的半径，整个大西瓜就是由无限多个这样的小锥体构成的（好像是一个以球面为底面、以球心为顶点的“封闭椎体”）

所以

这种方法就是用分割的思路，得出了球体的体积.

二、用数学——买西瓜

买西瓜即便是价格一样、也一样甜，就不用挑了？非也，还是有的挑，挑什么？这里也大有数学的学问在呢.通常购买同一品种的西瓜时，西瓜的重量越大，花费的钱越多.显然大家都希望西瓜瓤占整个西瓜的比例越大越好.假如我们把西瓜都看成球形且把这个球的半径设为R，并把西瓜瓤的密度看成是均匀的，西瓜皮的厚度都是d，那么是买大西瓜合算还是买小西瓜合算呢？

因为

其中d是定值，故R越大，dR就越小，1-dR就越大，从而西瓜瓤占整个西瓜的比例就越大.所以说，购买大西瓜更合算.

大概是1987年或1988年，数学家王元先生和太太买西瓜，两位一边挑一边算价钱呢.

由于西瓜卖得好，摊主不免有些“作怪”.不称重，分大瓜小瓜卖，大瓜3块一个，小瓜1块一个.

看到大瓜小瓜尺寸差别不是很大，很多人都拼命往小瓜那边挤.

王太太好像也是这样，却听见王元先生说：“买那个大的.”

“大的贵3倍呢……”王太太犹豫.

“大的比小的值.”王先生说.

王太太挑了两个大瓜，交了钱，看看别人都在抢小瓜，似乎又有些犹豫.

王先生看出她犹豫，笑笑说：“你吃瓜吃的是什么？吃的是容积，不是面积.那小瓜的半径是大瓜的2/3稍弱，容积可是按立方算的.小的容积不到大的30%，当然买大的赚.”

王太太点点头，又摇摇头：“你算得不对，那大西瓜皮厚，小西瓜还皮薄呢，算容积，恐怕还是买大的吃亏.”

却见王先生胸有成竹，点点头道：“嘿嘿，你别忘了那小西瓜的瓜皮却是3个瓜的，大西瓜只有1个，哪个皮多你再算算表面积看.” 聪明的小读者，你认为是买大瓜合算还是买小瓜合算呢？