行对称矩阵广义逆的快速求解公式

李秀格

摘要：对行对称矩阵的QR分解进行了研究，在此基础上给出了求行对称矩阵广义逆的快速求解公式，并给出了证明。将QR分解方法应用于该类行对称矩阵的广义逆的求解过程，既利用了QR分解保证足够的精度，又可大大降低求解一类具有该结构矩阵的广义逆的计算量和存储量。

关键词：行对称矩阵；QR分解；广义逆

中图分类号：O151.21 文献标识码：A 文章编号：1009-3044（2014）17-4137-03

Fast Calculating Formula for Generalized Inverse of Row Symmetric Matrices

LI Xiu-ge

（Department of Information，Liaoning University，Shenyang 110036， China）

Abstract： The QR factorization of row symmetric matrices is studied，and on this basis an fast calculating formula for generalized inverse of row symmetric matrices is obtained and the proof of that formula is also given，all of which can dramatically reduce the amount of calculation and save the CPU time and memory for generalized inverse of row symmetric matrices，without loss of any numerical precision by the QR factorization.

Key words： row symmetric matrices；QR factorization； generalized inverse

1 概述

广义逆矩阵的理论和方法广泛应用于数值分析、最小二乘问题、非线性问题、网络问题、统计问题和无约束（约束）随机规划问题等领域。很多实际问题的数学模型，均可转化为线性问题，进而利用矩阵进行求解。该文中我们针对k次行对称矩阵的特点，将QR分解方法应用于该类行对称矩阵的广义逆的求解过程，与以往算法相比，该方法可降低求解一类具有该结构矩阵的广义逆的计算量和存储量。

本文用[AH]表示矩阵A的共轭转置矩阵，[Cm×n]表示[m×n]复矩阵集，[J∈Rm×m]为单位反对角矩阵（即反对角线上的元素全为1而其它元素全为0的矩阵）。

2 基本概念

定义1 （行对称矩阵）[1] 令[A∈Cm×n]为任意给定的复矩阵，k为任意给定的正整数。定义矩阵[RA；J1，J2，…，Jk-1]为

[RA；J1，J2，…，Jk-1=A0A1?Ak-1∈Ckm×n]，

其中[A0=A，Ai=JiA，i=1，2，…，k-1]。矩阵[RA；J1，J2，…，Jk-1]称为A的k次行对称矩阵，A称为它的母矩阵。

若[J1=J2=…=Jk-1=J]，则行对称矩阵[RA；J1，J2，…，Jk-1]可简记为[RkA；J]，[RkA；J]称为[k]次行周期对称矩阵。

定义2 （广义逆）[2] 对任意一个[m×n]矩阵A，Penrose用下面的四个方程定义A的广义逆：

1） [AXA=A]，

2） [XAX=X]，

3） [AXH=AX]，

4） [XAH=XA].

对任意[A∈Cm×n]，满足上面四个方程的矩阵X是唯一的，称矩阵X为矩阵A的广义逆，简记为[A+]。

基本性质：

（a）对任意矩阵A，[A+]存在且唯一。

（b）对任意矩阵A，若A可逆，则[A-H=AH-]。

（c）对任意矩阵A，[A++=A]。

（d）对任意矩阵A，[AHH=A]。

定义3 （复矩阵的QR分解）[12] 设[A∈Cm×nm≥n]，[Q∈Cm×n]为酉矩阵，使得

[QHA=R0]，

其中[R]为[n×n]上三角矩阵，则称此式为[A]的[QR]分解。

3 行对称矩阵的QR分解

定理1 （k次行对称矩阵的QR分解）[1] 设[A∈Cm×nm≥n]，[Q0∈Cm×n]为酉矩阵，使得

[Q0HA=R00]，

其中[R0]为[n×n]上三角矩阵。令

[Q=λ11Q0λ21Q0…λk1Q0λ12J1Q0λ22J1Q0…λk2J1Q0??…?λ1kJk-1Q0λ2kJk-1Q0…λkkJk-1Q0∈Ckm×km]，

则[Q]为[km×km]酉矩阵，满足

[QHRA；J1，J2，…，Jk-1=kR00]。

其中 [λijk×k=1k1k1k…1k11×2-11×20…012×312×3-22×3…0????1k-1×k1k-1×k1k-1×k…-k-1k-1×k]

为[k×k]正交矩阵，k为一正整数。

推论1（k次行周期对称矩阵的QR分解） [1] 前提条件同定理1，则k次行周期对称矩阵[RkA；J]存在一个QR分解

[QHRkA；J=kR00]

4 基于行对称矩阵的上述QR分解求其广义逆

引理（复矩阵的广义逆） 设[A∈Cm×nm≥n]，[Q0∈Cm×n]为酉矩阵，使得[Q0HA=R00]，则可求得A的广义逆： [A+=R-00?QH0]。endprint

证明：由基本性质（1）易知，[A+]不仅存在而且唯一。因为[R0]为上三角矩阵，所以[R0]非奇异，[R0]的逆一定存在，且[R-00?R00=E]。因为[Q0]为酉矩阵，所以[QH0?Q0=E]。下证[A+]满足Penrose方程：

[A?A+?A=Q0R00?R-00?QH0?Q0R00=Q0R00?E=Q0R00=A]

[A+?A?A+=R-00?QH0?Q0R00?R-00?QH0=E?R-00?QH0=R-00?QH0=A+]

[A?A+H=Q0R00?R-00?QH0H=Q0?E000?Q0HH=Q0?E000H?Q0H=Q0?E000?Q0H=Q0R00?R-00?QH0=A?A+]

[A+?AH=R-00?QH0?Q0R00H=EH=E=R-00?QH0?Q0R00=A+?A]

证毕。

定理2（k次行对称矩阵的广义逆） 前提条件同定理1，[A∈Cm×n]的k次行对称矩阵可作如下QR分解：

[RA；J1，J2，…，Jk-1=Q?kR00]

则其广义逆为：[RA；J1，J2，…，Jk-1+=1k?R0-0?QH]

证明：因为[Q0]为酉矩阵，所以[QH0?Q0=E]。因为[Q0HA=R00]，

所以[RA；J1，J2，…，Jk-1+=Q?kR00+=kQ?R00+=kQ?Q0HA+][=1k?A+?Q0?QH=1k?R-00?QH0?Q0?QH=1kR0-0?QH]

证毕。

推论2（k次行周期对称矩阵的广义逆） 由推论1及定理2易得到k次行周期对称矩阵[RkA；J]的广义逆为：

[RkA；J+=1k?R0-0?QH].

5 数值示例

求行对称矩阵[RA；J=011110101101]的广义逆。

解：

计算[A]的QR分解为：[Q0=026-1312161312-16-13]

[R0=212036]

产生一个[2×2]正交矩阵[λij2×2]： [λij2×2=121211×2-11×2]

计算正交矩阵[Q]：[Q=12Q0Q0JQ0JQ0=013-16013-161212316121231612-123-1612-123-1612-123-16-12123161212316-12-123-16013-160-1316]

[R=2R00=210300000000]

计算[R0]的逆： [R-0=12-16063]

计算共轭转置矩阵： [QH=012121212013123-123-12312313-1616-16-1616-1601212-12-12013123-123123-123-13-1616-1616-1616]

据（1）式得[RA；J+=12?R0-0?QH=-1616131316-161316-16-161613]

6 结束语

本文对k次行对称矩阵及其广义逆的概念和性质进行了推广，并在对行对称矩阵进行QR分解的基础上给出了求行对称矩阵广义逆的快速求解公式。最后举例说明了求解一类具有该结构矩阵的广义逆的计算过程，利用公式直接求解大大降低了求解该类行对称矩阵的广义逆的计算量和存储量。

参考文献：

[1] 邹红星，王殿军，戴琼海，等.行（或列）对称矩阵的QR分解[J].中国科学（A辑），2002，32（9）：843-845.

[2] 王松桂，杨振海. 广义逆矩阵及其应用[M].北京：北京工业大学出版社，1996.

[3] Golub G H，van Loan CF.Matrix Computations[M].Baltimore，Maryland：Johhns Hopkins University Press，1983.endprint

证明：由基本性质（1）易知，[A+]不仅存在而且唯一。因为[R0]为上三角矩阵，所以[R0]非奇异，[R0]的逆一定存在，且[R-00?R00=E]。因为[Q0]为酉矩阵，所以[QH0?Q0=E]。下证[A+]满足Penrose方程：

[A?A+?A=Q0R00?R-00?QH0?Q0R00=Q0R00?E=Q0R00=A]

[A+?A?A+=R-00?QH0?Q0R00?R-00?QH0=E?R-00?QH0=R-00?QH0=A+]

[A?A+H=Q0R00?R-00?QH0H=Q0?E000?Q0HH=Q0?E000H?Q0H=Q0?E000?Q0H=Q0R00?R-00?QH0=A?A+]

[A+?AH=R-00?QH0?Q0R00H=EH=E=R-00?QH0?Q0R00=A+?A]

证毕。

定理2（k次行对称矩阵的广义逆） 前提条件同定理1，[A∈Cm×n]的k次行对称矩阵可作如下QR分解：

[RA；J1，J2，…，Jk-1=Q?kR00]

则其广义逆为：[RA；J1，J2，…，Jk-1+=1k?R0-0?QH]

证明：因为[Q0]为酉矩阵，所以[QH0?Q0=E]。因为[Q0HA=R00]，

所以[RA；J1，J2，…，Jk-1+=Q?kR00+=kQ?R00+=kQ?Q0HA+][=1k?A+?Q0?QH=1k?R-00?QH0?Q0?QH=1kR0-0?QH]

证毕。

推论2（k次行周期对称矩阵的广义逆） 由推论1及定理2易得到k次行周期对称矩阵[RkA；J]的广义逆为：

[RkA；J+=1k?R0-0?QH].

5 数值示例

求行对称矩阵[RA；J=011110101101]的广义逆。

解：

计算[A]的QR分解为：[Q0=026-1312161312-16-13]

[R0=212036]

产生一个[2×2]正交矩阵[λij2×2]： [λij2×2=121211×2-11×2]

计算正交矩阵[Q]：[Q=12Q0Q0JQ0JQ0=013-16013-161212316121231612-123-1612-123-1612-123-16-12123161212316-12-123-16013-160-1316]

[R=2R00=210300000000]

计算[R0]的逆： [R-0=12-16063]

计算共轭转置矩阵： [QH=012121212013123-123-12312313-1616-16-1616-1601212-12-12013123-123123-123-13-1616-1616-1616]

据（1）式得[RA；J+=12?R0-0?QH=-1616131316-161316-16-161613]

6 结束语

本文对k次行对称矩阵及其广义逆的概念和性质进行了推广，并在对行对称矩阵进行QR分解的基础上给出了求行对称矩阵广义逆的快速求解公式。最后举例说明了求解一类具有该结构矩阵的广义逆的计算过程，利用公式直接求解大大降低了求解该类行对称矩阵的广义逆的计算量和存储量。

参考文献：

[1] 邹红星，王殿军，戴琼海，等.行（或列）对称矩阵的QR分解[J].中国科学（A辑），2002，32（9）：843-845.

[2] 王松桂，杨振海. 广义逆矩阵及其应用[M].北京：北京工业大学出版社，1996.

[3] Golub G H，van Loan CF.Matrix Computations[M].Baltimore，Maryland：Johhns Hopkins University Press，1983.endprint

证明：由基本性质（1）易知，[A+]不仅存在而且唯一。因为[R0]为上三角矩阵，所以[R0]非奇异，[R0]的逆一定存在，且[R-00?R00=E]。因为[Q0]为酉矩阵，所以[QH0?Q0=E]。下证[A+]满足Penrose方程：

[A?A+?A=Q0R00?R-00?QH0?Q0R00=Q0R00?E=Q0R00=A]

[A+?A?A+=R-00?QH0?Q0R00?R-00?QH0=E?R-00?QH0=R-00?QH0=A+]

[A?A+H=Q0R00?R-00?QH0H=Q0?E000?Q0HH=Q0?E000H?Q0H=Q0?E000?Q0H=Q0R00?R-00?QH0=A?A+]

[A+?AH=R-00?QH0?Q0R00H=EH=E=R-00?QH0?Q0R00=A+?A]

证毕。

定理2（k次行对称矩阵的广义逆） 前提条件同定理1，[A∈Cm×n]的k次行对称矩阵可作如下QR分解：

[RA；J1，J2，…，Jk-1=Q?kR00]

则其广义逆为：[RA；J1，J2，…，Jk-1+=1k?R0-0?QH]

证明：因为[Q0]为酉矩阵，所以[QH0?Q0=E]。因为[Q0HA=R00]，

所以[RA；J1，J2，…，Jk-1+=Q?kR00+=kQ?R00+=kQ?Q0HA+][=1k?A+?Q0?QH=1k?R-00?QH0?Q0?QH=1kR0-0?QH]

证毕。

推论2（k次行周期对称矩阵的广义逆） 由推论1及定理2易得到k次行周期对称矩阵[RkA；J]的广义逆为：

[RkA；J+=1k?R0-0?QH].

5 数值示例

求行对称矩阵[RA；J=011110101101]的广义逆。

解：

计算[A]的QR分解为：[Q0=026-1312161312-16-13]

[R0=212036]

产生一个[2×2]正交矩阵[λij2×2]： [λij2×2=121211×2-11×2]

计算正交矩阵[Q]：[Q=12Q0Q0JQ0JQ0=013-16013-161212316121231612-123-1612-123-1612-123-16-12123161212316-12-123-16013-160-1316]

[R=2R00=210300000000]

计算[R0]的逆： [R-0=12-16063]

计算共轭转置矩阵： [QH=012121212013123-123-12312313-1616-16-1616-1601212-12-12013123-123123-123-13-1616-1616-1616]

据（1）式得[RA；J+=12?R0-0?QH=-1616131316-161316-16-161613]

6 结束语

本文对k次行对称矩阵及其广义逆的概念和性质进行了推广，并在对行对称矩阵进行QR分解的基础上给出了求行对称矩阵广义逆的快速求解公式。最后举例说明了求解一类具有该结构矩阵的广义逆的计算过程，利用公式直接求解大大降低了求解该类行对称矩阵的广义逆的计算量和存储量。

参考文献：

[1] 邹红星，王殿军，戴琼海，等.行（或列）对称矩阵的QR分解[J].中国科学（A辑），2002，32（9）：843-845.

[2] 王松桂，杨振海. 广义逆矩阵及其应用[M].北京：北京工业大学出版社，1996.

[3] Golub G H，van Loan CF.Matrix Computations[M].Baltimore，Maryland：Johhns Hopkins University Press，1983.endprint