英国：直抵知识本质的数学课堂

陆晓林

在唐彩斌和张影合著的《零距离英国教育》一书中提出了这样的观点，“英国的天气最适合英国”，“中国的经验也最适合中国”，“新鲜并不意味着先进，人家常用也不意味着对我们有用，某些方面的延后绝不意味着落后，某些方面的不习惯并不是一种错误”。当笔者成为江苏省首批赴英国研修学习的小学数学教师，得以零距离观察英国中小学数学课堂时，这种体会才愈加深刻。走出国门对比中外数学教育，根本目的在于反观、检视自己的不足，在借鉴中前行和发展，扬长避短、正本清源，这应该是我们的基本态度。

相同的运算，不同的智慧

计算教学是小学阶段的主要教学内容，20以内的整数加减法则是学生掌握进位加和退位减方法的关键起步。在曼城，我有机会观摩了一节20以内的退位减的随堂课，感受颇深。

在计算“13-8”时，英国老师用学具摆出13和8，一一对应（如图1）；之后让孩子们讨论并操作，先在8后加上2使之成为10（如图2），然后再对应上面13继续摆出3，用2加3得5，算出13-8的结果（如图3）。接着孩子们继续借助学具用一一对应的方法练习了几道题，最后交流了自己计算的心得：先想减数加几凑成10，再用几加上被减数的个位数。课后与任教老师交流，得知英国教材版本有上百种，教师按照国家课程标准的要求，参照一些主流教材自主安排教学内容。据介绍，英国“退位减”的教材编写和教师教学基本上都是“用加算减”。

我们的退位减是怎样教学的呢？以苏教版教材为例（如图4），13-9主要有这样几种计算方法：一是从13里一个一个地减；二是“破十法”，先用10-9，再算1+3；三是将13-9轉化为连减13-3-6；四是直接“想加算减”。教学中，往往是先由学生分别列举出几种方法，然后引导比较，优化算法（实则是优选出教材与老师先验认定的最佳普适方法）。通过强化练习，一段时间后学生们几乎都用“想加算减”的方法了。

表面看，中英两种方法没有什么大的不同，都是利用加减互逆关系进行减法计算，但运用方法的本质是不同的。他们用一一对应的方法，使两个数（量）的“差”显现在不对应之处，在实现完全一一对应的过程中，也就是由不相等到相等的变化过程中得出了“差”，突出了“减数+差=被减数”即“左边=右边”这样的相等关系，强化了“=”的本质：符号两边的数（量）相等，这对学生将来理解方程的意义是极其重要的。

我们的方法是从总数中取出（去除）一部分（事实上，一次性取出一部分都可以回归为一个一个地连续取，看剩余的部分，即把总数分成两部分：已知的部分和剩余的部分。直观上是“数的分成”，最终是用“算术公理体系”的“后继关系”来解释自然数加法及其逆运算的。简言之，一种是基于对应的思想，强调的是“数学概念之间的关系”，一种是基于自然数定义的思想，彰显的是“数学知识的发生”，相同的减法，不同的智慧。

“用加算减”看似有点傻瓜式、不够快捷，“想加算减”主要是通过熟练记忆数的大小关系、数的分成来筛选和提取计算结果，显得快捷有效。但相对而言，基于定义自然数的方法解释运算是抽象的，也没能说清楚“相等”的意义到底是什么。所以当我们的学生开始学习方程时，由“算术思维”转换为“代数思维”会有一个艰难的过程。

繁复的过程，直白的联系

在英国，没有公开课、研讨课等形式的教研活动。曼城城市大学应我们的要求专门邀请了两位英国老师带着自己的学生现场上了两节课，搞了一场“中国式”的教研活动。其中一节课教学内容是“一位数除两位数”。

这节课，我们感兴趣的是英国老师对除法计算方法的教学。因为没有类似“九九乘法口诀表”这样的知识与技能背景，英国的除法计算直接回归本原——连减法（如图5）。在计算87÷3时，教师借助于学具操作来演示说明具体的算法：先从87中减10个3，再减10个3，最后减9个3，一共可以连减29个3。具体计算时，每一次减几个除数可以不同，计算步骤可多可少，只要减到余数为0便可（不能整除的减到余数小于除数为止）。

虽然计算的过程和竖式的书写显得有些琐碎，但从自然数中“包含”的意义看，除法是“连续减去相同数的减法”，凸显了除法与减法的“血肉”联系。这样计算的过程不受“余数要比除数小”的限制，计算除数是多位数的除法时，无需反复“试商”与“调商”。繁复的竖式，却直白地说明了两种运算之间的本质联系，巧妙规避了我们在教学中一定会遇到的难题。

这样计算87÷3，如果从“等分”的意义上去理解，每份先分10个，再分10个，最后分9个，即一个一个地数、顺次轮流分3份，一轮分掉3个、可以连续分29轮。“等分”与“包含”本质上是统一的，即3行29列与29行3列的问题。

我们的除法教学没有立足于除法与减法的联系。仍以苏教版教材为例，二年级上册教材先从“等分”、“包含”两层意义上教学除法的初步认识，然后用逆运算的关系借助乘法口诀求商，教材中虽然没有给出明确的除法定义，但沿袭了从运算的互逆关系来定义除法的传统，除法是“已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数运算”。在解决问题、进行除法计算时，乘法口诀始终是不离不弃的拐杖。我们的除法竖式简洁明了且高度统一，同样也能解读出“除法即连减”这样的关系，但学生甚至教师几乎不会在竖式计算的过程中感悟到除法与相同减数减法的内在一致性。

在计算中，中国式的口诀朗朗上口，汉语言文字的优势非常明显。用口诀计算，浓缩甚至是消除了“过程”，但浓缩并非都是精华，数学学习的精华就是要让学生反复经历数学化的“过程”。笔者认为，中英数学教学如同中西方饮食一般，西方人多吃“生”，消化难一些、慢一些，但营养损失得少；中国人多吃“熟”，消化、吸收得快，营养打了折扣。我们现在也强调“过程”，但还是更多地习惯于引导学生对“过程”进行归纳、总结，形成约定的“套路”，最后都直接用“规律”办事。这样的“过程”没有完全成为学生自己的“过程”，这或许是我们的学生能考试、能解题，但少有奇思妙想的原因。因此，我们的数学教学应该更多地让学生“吃生食”、“吃粗粮”，这样才有利于学生形成自己的、能够健康生长的数学。

“慢”课堂、“慢”数学里的成长力

在观摩“一位数除两位数”教学时，我特别留心学生“知识技能”、“数学思考”等目标的达成情况。仅就“知识技能”而言，用中国课堂的眼光和标准去评判，这节课绝对不是一节优质课，甚至连一节成功的课都算不上。课堂练习时，全班只有不到30%的学生初步掌握了用竖式直接计算“一位数除两位数”，大部分孩子主要还是依靠分学具、画图、扳手指等方式获得计算的结果，教师没有刻意去优化和统一计算的方法。

观摩课结束后，我们与执教者以及她的助教进行了交流，分享了她们的数学教育理念。她们认为，在第一关键阶段（小学）要让数学成为孩子心中好玩的“智力游戏”，而不是一门考试课程。教师应努力让数学课程适应儿童，而不是改变儿童，让儿童适应课程。她们说，最成功的课堂是让学生收获对数学的喜爱，获取知识、掌握技能不应成为孩子的负担，最佳的方法就是儿童自己能理解、能运用的方法。对于“掌握竖式算法人数少”，执教者告诉我们，教育——尤其是数学教育，要有“三分教七分等”的心态，要相信孩子是天生的数学家，只不过有些孩子在数学能力方面属于“慢熟型”的，需要慢慢等待，卓越的课堂关注长期的教学效果。在他们看来，统一的目标要求不是真正的教育，而是对一部分孩子自信的扼杀，收获自信是孩子最美的成长。因此，儿童的学习既不能“拔苗助长”，也不能过度“施肥浇水”，课堂必须充分考虑学生的反馈，“慢”课堂、“慢”数学才是最具成长力的数学教育。

与英国老师交流，他们总喜欢把苏格拉底的话挂在嘴边：教育不是灌输，而是点燃火焰。在研修期间，我们随机走进了多节中小学数学课堂，发现确如她们所言，数学课堂总是其乐融融。老师讲解、示范得少，学生交流、探究得多，游戏、生活与数学结合紧密，数学不是“远”且“玄”的深奥知识，而是十分有趣、有益、随手可得的学问。英国的课堂上一般有两名教师，一“主”一“助”，助教在课堂上更多的是“助两头”，主教则更多的是“教中间”。到了中学，甚至有些小学高年级就开始实施走班制和分层教学，尊重差异、适应差异，让不同的学生得到不同的发展与提高。

比知识更重要的是儿童的创造

在与英国教师的交流中，笔者了解到英国也十分重视考试，这与我们先前的认识迥然不同。英国教育大臣迈克尔·戈夫很看重中国重视基础知识的教育优势，强调传承宝贵的知识是国家课程的核心，他批评“知识就在谷歌上”的观点，呼吁英国要向中国学习。英国有类似于中国中考、高考的国家考试GCSE（即普通中等教育证书）、A-level（即中学高级水平考试），还有SATS（即标准成绩考试），并依据考试成绩在媒体上公布学校的排名。他们与我们的区别在于评价理念和方法。比如不搞一考定终身，可以申请重考刷分；实施等级制；对考试有选择权，同样的课程、同样的年级可以考不同級别的试卷；选修类课程可以扬长避短等。

更可贵的是，英国教育虽然重视知识，但他们认为儿童的创造性比知识更重要。在学习交流期间，我们和英国的老师把一份江苏小学毕业会考试卷与一份英国中学七年级招生考试试卷进行了全面的比较分析，力图通过评价取向的对比来发现中英数学教育理念上的差别。

其一，我们的试卷中填空、判断、选择、计算、画图、解决问题等各类题型一一排列，刻板、没有儿童气息。英国的试卷如同一本故事书，有人物、有情节，环环相扣、引人入胜，孩子完成一份数学试卷就是一次情境化的“微生活”历练。

其二，我们的试卷中知识考查的成分多，计算技能要求高，题型有“套路”，数学与生活的关联性小。英国的试卷中考查直接应用定义、概念、公式等现成知识的内容少，用计算器计算，自定义、自操作、自规则的内容多，问题的现实性很强。

其三，我们的试卷中几乎每题都有标准答案，评价时看重解题的规范、完整与严密。即便所谓的开放题，结论的可能性也有限，更多的是关注知识的掌握和技能的形成。英国试卷中有固定答案的试题比例不到40%，很多题目都需要学生自己探究，通过举证或论证发现结论。试卷没有所谓的标准答案，更重视个性化的数学表达、数学发现。他们强调儿童自己的见识比书本知识更可贵、更难得，更多地关注思维力和创造力的发展。

用英国老师的话说，真理不重要，重要的是自圆其说。在他们看来，儿童的数学学习应该是一个漫长而又愉快的探险历程，探险的主角永远是儿童，一次有价值的测评就是孩子探险历程中一次成功的闯关，要不断地给他们自己发现、自己创造和遇挫反思的机会。