对一类不等式求最值深度解读

林生

数学学习是一个认知过程，在这个过程中，由于考生的认知水平、理解水平的不同，解题过程中往往会出现这样或者那样的错误，因此我们在备考的过程中就要认真对待错误，要剖析错误产生的原因，探讨错误的纠正方法，只有我们在这个过程中真正地做到慎思、深思，明辨其错误的“是非”，这样才可以做到不要让类似的错误再次发生.下面笔者结合利用基本不等式求最值出现的一些错误来辨析，以达到正本清源的功效，最终让考生认清利用不等式求最值的本质，使学生在运用时达到融会贯通的境界.

一、不同角度不用解 似是而非起波澜

【点评】通过调查发现，以上两种解法是考生中常用的解法，认真审视上面的解题过程，它们是从不同角度出发，得出来的两种解法.看那来好像这两种解法都准确“无误”，一下子难以找出问题的根源.这说明这种错因具有隐蔽性的特征，这也足见考生在对基本不等式求最值方面的知识理解具有片面性，缺乏对基本不等式本质的理解，这体现了考生对于所学的利用不等式求最值要注意“一正、二定、三相等”的注意条件理解只停留在表面上.缺乏对利用基本不等式求最值本质的真正理解和掌握.

二、思路回溯寻错因 角度调整得方法

三、方法类比本质现 一题可破万题山

再度审视前面的解法和过程，可发现：我们利用基本不等式求最值时，只要确保“一正、二定、三相等”三个条件即可，如果不满足其中的任何一个条件，都不能直接使用. 正所谓“春雨断桥人不渡，小舟撑出柳荫来”.只要我们明白这点之后，利用基本不等式求最值就要想方设法（即凑项、拆项、变形等技巧）构造出满足条件的形式，这样一切的问题就迎难而解.下面我们再结合几个典型的例题来分析，如何针对“一正、二定、三相等”这三个条件来构造基本不等式.主要有以下几种技巧.

（1）凑项.

四、融会贯通条条道 总结反思用自如

通过我们对上面的分析可发现：我们只要在解题过程中充分理解“一正二定三相等”的条件.不要乱来盲目套用公式.因此在平时的学习过程中要对错误有深入的思考，只有真正地“明辨是非”，我们才可以在考场中做到“水源清流”.我们弄清楚错误发生的真正原因（无法满足一正、二定、三相等的条件）之后，我们就要针对错误“对症下药”，通过凑项、凑系数、拆项分离、灵活运用“1”、消元、重组等途径来构造基本不等式，把产生错误的原因和解决错误的途径（当然解决途径除了以上6种方法之外还有很多）两者结合在一起，尽管有些题目披上厚厚的“神秘面纱”，但只要我们多点在实践中去总结反思，就可以对利用基本不等式求最值这种类型达到“柳暗花明、茅塞顿开、融会贯通”的境界，运用起来才可以得心应手，运用自如.

（作者单位：信宜中学）

责任编校 徐国坚endprint

数学学习是一个认知过程，在这个过程中，由于考生的认知水平、理解水平的不同，解题过程中往往会出现这样或者那样的错误，因此我们在备考的过程中就要认真对待错误，要剖析错误产生的原因，探讨错误的纠正方法，只有我们在这个过程中真正地做到慎思、深思，明辨其错误的“是非”，这样才可以做到不要让类似的错误再次发生.下面笔者结合利用基本不等式求最值出现的一些错误来辨析，以达到正本清源的功效，最终让考生认清利用不等式求最值的本质，使学生在运用时达到融会贯通的境界.

一、不同角度不用解 似是而非起波澜

【点评】通过调查发现，以上两种解法是考生中常用的解法，认真审视上面的解题过程，它们是从不同角度出发，得出来的两种解法.看那来好像这两种解法都准确“无误”，一下子难以找出问题的根源.这说明这种错因具有隐蔽性的特征，这也足见考生在对基本不等式求最值方面的知识理解具有片面性，缺乏对基本不等式本质的理解，这体现了考生对于所学的利用不等式求最值要注意“一正、二定、三相等”的注意条件理解只停留在表面上.缺乏对利用基本不等式求最值本质的真正理解和掌握.

二、思路回溯寻错因 角度调整得方法

三、方法类比本质现 一题可破万题山

再度审视前面的解法和过程，可发现：我们利用基本不等式求最值时，只要确保“一正、二定、三相等”三个条件即可，如果不满足其中的任何一个条件，都不能直接使用. 正所谓“春雨断桥人不渡，小舟撑出柳荫来”.只要我们明白这点之后，利用基本不等式求最值就要想方设法（即凑项、拆项、变形等技巧）构造出满足条件的形式，这样一切的问题就迎难而解.下面我们再结合几个典型的例题来分析，如何针对“一正、二定、三相等”这三个条件来构造基本不等式.主要有以下几种技巧.

（1）凑项.

四、融会贯通条条道 总结反思用自如

通过我们对上面的分析可发现：我们只要在解题过程中充分理解“一正二定三相等”的条件.不要乱来盲目套用公式.因此在平时的学习过程中要对错误有深入的思考，只有真正地“明辨是非”，我们才可以在考场中做到“水源清流”.我们弄清楚错误发生的真正原因（无法满足一正、二定、三相等的条件）之后，我们就要针对错误“对症下药”，通过凑项、凑系数、拆项分离、灵活运用“1”、消元、重组等途径来构造基本不等式，把产生错误的原因和解决错误的途径（当然解决途径除了以上6种方法之外还有很多）两者结合在一起，尽管有些题目披上厚厚的“神秘面纱”，但只要我们多点在实践中去总结反思，就可以对利用基本不等式求最值这种类型达到“柳暗花明、茅塞顿开、融会贯通”的境界，运用起来才可以得心应手，运用自如.

（作者单位：信宜中学）

责任编校 徐国坚endprint

数学学习是一个认知过程，在这个过程中，由于考生的认知水平、理解水平的不同，解题过程中往往会出现这样或者那样的错误，因此我们在备考的过程中就要认真对待错误，要剖析错误产生的原因，探讨错误的纠正方法，只有我们在这个过程中真正地做到慎思、深思，明辨其错误的“是非”，这样才可以做到不要让类似的错误再次发生.下面笔者结合利用基本不等式求最值出现的一些错误来辨析，以达到正本清源的功效，最终让考生认清利用不等式求最值的本质，使学生在运用时达到融会贯通的境界.

一、不同角度不用解 似是而非起波澜

【点评】通过调查发现，以上两种解法是考生中常用的解法，认真审视上面的解题过程，它们是从不同角度出发，得出来的两种解法.看那来好像这两种解法都准确“无误”，一下子难以找出问题的根源.这说明这种错因具有隐蔽性的特征，这也足见考生在对基本不等式求最值方面的知识理解具有片面性，缺乏对基本不等式本质的理解，这体现了考生对于所学的利用不等式求最值要注意“一正、二定、三相等”的注意条件理解只停留在表面上.缺乏对利用基本不等式求最值本质的真正理解和掌握.

二、思路回溯寻错因 角度调整得方法

三、方法类比本质现 一题可破万题山

再度审视前面的解法和过程，可发现：我们利用基本不等式求最值时，只要确保“一正、二定、三相等”三个条件即可，如果不满足其中的任何一个条件，都不能直接使用. 正所谓“春雨断桥人不渡，小舟撑出柳荫来”.只要我们明白这点之后，利用基本不等式求最值就要想方设法（即凑项、拆项、变形等技巧）构造出满足条件的形式，这样一切的问题就迎难而解.下面我们再结合几个典型的例题来分析，如何针对“一正、二定、三相等”这三个条件来构造基本不等式.主要有以下几种技巧.

（1）凑项.

四、融会贯通条条道 总结反思用自如

通过我们对上面的分析可发现：我们只要在解题过程中充分理解“一正二定三相等”的条件.不要乱来盲目套用公式.因此在平时的学习过程中要对错误有深入的思考，只有真正地“明辨是非”，我们才可以在考场中做到“水源清流”.我们弄清楚错误发生的真正原因（无法满足一正、二定、三相等的条件）之后，我们就要针对错误“对症下药”，通过凑项、凑系数、拆项分离、灵活运用“1”、消元、重组等途径来构造基本不等式，把产生错误的原因和解决错误的途径（当然解决途径除了以上6种方法之外还有很多）两者结合在一起，尽管有些题目披上厚厚的“神秘面纱”，但只要我们多点在实践中去总结反思，就可以对利用基本不等式求最值这种类型达到“柳暗花明、茅塞顿开、融会贯通”的境界，运用起来才可以得心应手，运用自如.

（作者单位：信宜中学）

责任编校 徐国坚endprint