对简易方程典型错例的思考与实践

陈关雄

简易方程与学生初次会面是在五年级上学期，是学生第一次较为系统地学习有关代数的初步知识。方程概念的引进让学生的思考方式从算术思想转变到代数思想，并出现了诸多的不适应，出现的错误也比较多。本文试图借助《简易方程》教学中学生出现的典型错例，谈谈对学生相关数学错误诊治的一些探索与实践。

一、 发现错误：引起关注

为了便于叙述，笔者将从知识学习的三个分类（层次）作阐述。

1.陈述性知识错误

陈述性知识也叫说明性知识，在简易方程单元中含有不少陈述性质的数学知识，比如方程的概念、等式的性质等。

典型错题1：按要求将下面式子的编号填入对应的集合圈里。

① 2x+8=20 ②2x+8 ③2x+8<20

④2×6-8=4 ⑤20>2x+8 ⑥ 2（x+8）=20

⑦5x-6=4 ⑧6÷x=12 ⑨x+x+x=12

方程 等式 既不是方程也不是等式

错解：

第一种：①②⑥⑦⑧⑨ ①②④⑥⑦⑧⑨ ②⑤

第二种：①⑥⑦⑧⑨ ④ ②③⑤ （此种错误人数最多）

第三种：①⑥⑦⑧⑨ ①④ ②③⑤

第四种：①⑥⑦⑧⑨ ①⑥⑦⑧⑨ ②③④⑤

第一次教学方程概念时呈现的习题，在课堂中已经讨论、对比过方程与等式的关系：方程一定是等式，等式不一定是方程。

2.程序性知识错误

程序性知识是指怎样进行认知活动的知识，在简易方程中解设未知数、按题意列方程、解方程、答结果这一系列的操作行为就是属于上述范畴。

典型错题2：3年前父亲的岁数是儿子的7倍，今年父亲38岁。儿子今年几岁？（用方程解答）

错 解：

本题是学生学习了简易方程这一单元后作业本上出现的星号题。内容涉及年龄的问题，属于与生活密切相关的实际问题。

3.策略性知识错误

策略性知识是关于如何学习和如何思维的知识，它往往与问题解决融合在一起。

典型错题3：一个长为12厘米的长方形面积比边长是12厘米的正方形面积少36平方厘米，这个长方形的宽是多少厘米？

错 解：

解：设长方形的宽是x厘米。

学生已经学会了解简易方程的基本方法，此题是凭借方程算法，根据问题情境，运用顺向思维利用图形面积以及大小关系，求长方形的宽。

二、 错因探究：追踪溯源

错误是师生交流信息的一个“窗口”，是教学的一面“镜子”。成功运用学生的错误，需要教师善于观察、善于诊断，关注学生错误背后的故事，积聚智慧做学生典型错误的剖析者。

1.“思维定势”惹的祸

思维定势有时是一种熟练的表现，当学生的习惯思路和眼前要解决的具体问题不一致时，习惯性思维“战胜”了理性思考，结果就带来了错误。例如典型错题1中，认为等式只有④这项的同学最多，占了62.4%。学生接触了4年多的纯数字等式，受到之前学习中司空见惯的数字化等式的影响，思考时总偏向于这类式子的判断，而忽视新学的含有字母的等式。这种习惯思维导致学生漏掉方程是等式也就不足为奇了。

2.“形式假设”惹的祸

在教材编排中，用方程解决问题，都是先假设，然后再列出等量关系式进行解答。这样的安排无论从学生的现实起点还是从教材的逻辑起点来说都是合理的。但是这一呈现形式带来的负面影响也是不容忽视的：容易导致学生不论碰到什么问题，直接把问题中的未知数设为x，不进行深入的思考。如典型错题2中，学生都不约而同地设儿子今年为x岁，当列出方程7x=38-3后再计算5+3=8。这样的解题思路完全和解设不统一。学生解题时往往看到问就下笔抄写，然后把“多少”等疑问词换成x后就万事大吉，把未知数x表达的意义抛诸脑后。解设成为摆设，这种张冠李戴的现象比比皆是，不得不引起一线教师的关注。

3.“尴尬编排”惹的祸

新教材较好地解决了关于方程教学的中小学衔接问题，促进了学生由算术思维向代数思维方式的转变。等式的性质更有利于学生的可持续发展。为了便于说明等式的基本性质，又兼顾学生的思维水平，教材回避了a-x=b和a÷x=b二种方程。作为教材的编写者在编写解方程题目时可以有意避开这几种特殊情况，但是在列方程解决实际问题时，学生列出的方程却不可避免地会出现这几种特殊情况。如典型错题3中，学生找到最基本的等量关系——正方形面积-长方形面积=相差面积，根据相等关系，得到12×12-12x=36这样较复杂的方程。学生不明白在减数或除数中出现未知数时如何解答，只好生搬硬套地运用已学解法，结果当然是错误的。

三、 跟踪纠错：柳暗花明

面对学生形形色色的错误，教师是望“错”兴叹，袖手旁观？还是乘风破浪直面出击？教师可以有何作为？笔者以为可以从以下几个方面入手：

1.加强概念的建构性理解

学生在获取概念时容易出现“眉毛胡子一把抓”或孤立认识的现象。因此，教师在教学时既要重视学生有意义地获取概念，又要引导学生去伪存真抓本质。如典型错题1中多数学生还是以经验为思考方法，“惯性”使然导致错误。如何改变这样的现状？教师可在课堂中采取一些针对性的教学策略。例如教师通过设问——你知道为什么取名等式吗？什么是等式？从而引起学生注意。最后在提炼方程的意义时让学生横向比较等式20+X=50、20+X=100与等式20+30=50有什么不同，在对比中让学生深入透彻理解方程和等式的概念，避免数学概念的理解只停留在表象上。当然为了加深印象，在课末小结中，教师也可以对数学概念提取核心词。比如对于方程概念可以提取两个关键词：未知数、等式。对于等式可以提出判断性标志：等号。endprint

2.重视数量关系的分析

列方程解决问题的关键是寻找数量关系，这是方程教学的重点，亦是学生学习的难点。如典型错题2中很多种错解都是无法把握正确的等量关系：3年前父亲的年龄=3年前儿子的年龄×7。再如典型错题3，当学生列含有字母的式子时，因缺少参照系（数据直观的大小），往往忽略正确意义列出错误的方程。而这些错误的方程也能求解让学生误以为获得正解。在遇到图形问题时，教师要积极倡导学生动手操作。此题可以让学生画一画长方形和正方形。画的时候可以追问谁该画得大一些，目的是让学生在动手操作时必须考虑大小问题，从而把关注的目光聚焦到题目的理解上。用笔涂一涂它们的面积，目的是避免学生混用各自的面积和周长计算公式。在教学中，教师要善于运用多种策略，加强学生对数量关系的分析，让数量关系成为运算意义和解决问题的桥梁。

3.跨越未知数设置的障碍

如何防止未知数的假设与列出的方程出现“张冠李戴”的现象？笔者认为在教学时不妨多试问方程中未知数x的意义，是否与解设中x的意义相同。通过师生问答潜移默化地领悟x意义的一致性，接着在之后的学习过程中出现一些变式练习（设间接未知数后轻松快速解决问题的练习），出现时机建议在复习整理阶段。如四、五年级共植树80棵，五年级植树比四年级的2倍少4棵，五年级植树多少棵？学生会采用直接设法（设五年级植树x棵），接着列方程和解方程都会出现困难，教师引导学生采用间接设法，通过体验、对比让学生体会到适当的未知数设置不仅能降低列方程和解方程的难度，还能融合算术方法共同解决数学问题。

4.寻找新旧教法的融合点

针对简易方程新旧教法的差异，教师应采取撷长补短的策略，有机揉和传统教学和现代教学的精华，从而达到最佳的教学效果。首先按照新教材的教学思路学习等式基本性质并能熟练地解答方程。在练习课中引导学生解答练习十一（1）的问题时，学生列出了2个方程：x+835=6299和6299-x=835。对于第一个方程学生轻松解决，第二个方程就出现了困难。组织学生讨论：当减数位置出现未知数时该怎么办？先引导学生回忆减法模型：被减数-减数=差。再引导学生利用等式性质将其变形。除法也是同样的道理。由于在这个关系式的变化过程中不出现任何未知数，且结合了等式的基本性质，学生容易理解。

【责任编辑：陈国庆】endprint

2.重视数量关系的分析

列方程解决问题的关键是寻找数量关系，这是方程教学的重点，亦是学生学习的难点。如典型错题2中很多种错解都是无法把握正确的等量关系：3年前父亲的年龄=3年前儿子的年龄×7。再如典型错题3，当学生列含有字母的式子时，因缺少参照系（数据直观的大小），往往忽略正确意义列出错误的方程。而这些错误的方程也能求解让学生误以为获得正解。在遇到图形问题时，教师要积极倡导学生动手操作。此题可以让学生画一画长方形和正方形。画的时候可以追问谁该画得大一些，目的是让学生在动手操作时必须考虑大小问题，从而把关注的目光聚焦到题目的理解上。用笔涂一涂它们的面积，目的是避免学生混用各自的面积和周长计算公式。在教学中，教师要善于运用多种策略，加强学生对数量关系的分析，让数量关系成为运算意义和解决问题的桥梁。

3.跨越未知数设置的障碍

如何防止未知数的假设与列出的方程出现“张冠李戴”的现象？笔者认为在教学时不妨多试问方程中未知数x的意义，是否与解设中x的意义相同。通过师生问答潜移默化地领悟x意义的一致性，接着在之后的学习过程中出现一些变式练习（设间接未知数后轻松快速解决问题的练习），出现时机建议在复习整理阶段。如四、五年级共植树80棵，五年级植树比四年级的2倍少4棵，五年级植树多少棵？学生会采用直接设法（设五年级植树x棵），接着列方程和解方程都会出现困难，教师引导学生采用间接设法，通过体验、对比让学生体会到适当的未知数设置不仅能降低列方程和解方程的难度，还能融合算术方法共同解决数学问题。

4.寻找新旧教法的融合点

针对简易方程新旧教法的差异，教师应采取撷长补短的策略，有机揉和传统教学和现代教学的精华，从而达到最佳的教学效果。首先按照新教材的教学思路学习等式基本性质并能熟练地解答方程。在练习课中引导学生解答练习十一（1）的问题时，学生列出了2个方程：x+835=6299和6299-x=835。对于第一个方程学生轻松解决，第二个方程就出现了困难。组织学生讨论：当减数位置出现未知数时该怎么办？先引导学生回忆减法模型：被减数-减数=差。再引导学生利用等式性质将其变形。除法也是同样的道理。由于在这个关系式的变化过程中不出现任何未知数，且结合了等式的基本性质，学生容易理解。

【责任编辑：陈国庆】endprint

2.重视数量关系的分析

列方程解决问题的关键是寻找数量关系，这是方程教学的重点，亦是学生学习的难点。如典型错题2中很多种错解都是无法把握正确的等量关系：3年前父亲的年龄=3年前儿子的年龄×7。再如典型错题3，当学生列含有字母的式子时，因缺少参照系（数据直观的大小），往往忽略正确意义列出错误的方程。而这些错误的方程也能求解让学生误以为获得正解。在遇到图形问题时，教师要积极倡导学生动手操作。此题可以让学生画一画长方形和正方形。画的时候可以追问谁该画得大一些，目的是让学生在动手操作时必须考虑大小问题，从而把关注的目光聚焦到题目的理解上。用笔涂一涂它们的面积，目的是避免学生混用各自的面积和周长计算公式。在教学中，教师要善于运用多种策略，加强学生对数量关系的分析，让数量关系成为运算意义和解决问题的桥梁。

3.跨越未知数设置的障碍

如何防止未知数的假设与列出的方程出现“张冠李戴”的现象？笔者认为在教学时不妨多试问方程中未知数x的意义，是否与解设中x的意义相同。通过师生问答潜移默化地领悟x意义的一致性，接着在之后的学习过程中出现一些变式练习（设间接未知数后轻松快速解决问题的练习），出现时机建议在复习整理阶段。如四、五年级共植树80棵，五年级植树比四年级的2倍少4棵，五年级植树多少棵？学生会采用直接设法（设五年级植树x棵），接着列方程和解方程都会出现困难，教师引导学生采用间接设法，通过体验、对比让学生体会到适当的未知数设置不仅能降低列方程和解方程的难度，还能融合算术方法共同解决数学问题。

4.寻找新旧教法的融合点

针对简易方程新旧教法的差异，教师应采取撷长补短的策略，有机揉和传统教学和现代教学的精华，从而达到最佳的教学效果。首先按照新教材的教学思路学习等式基本性质并能熟练地解答方程。在练习课中引导学生解答练习十一（1）的问题时，学生列出了2个方程：x+835=6299和6299-x=835。对于第一个方程学生轻松解决，第二个方程就出现了困难。组织学生讨论：当减数位置出现未知数时该怎么办？先引导学生回忆减法模型：被减数-减数=差。再引导学生利用等式性质将其变形。除法也是同样的道理。由于在这个关系式的变化过程中不出现任何未知数，且结合了等式的基本性质，学生容易理解。

【责任编辑：陈国庆】endprint