3D动画网格变形方法中的软约束权值研究

余奇明+齐鹏飞

【摘 要】 本文对3D动画变形网格变形领域的拉普拉斯求解系统进行分析，通过多目标优化理论分析，证明拉普拉斯求解系统是多目标优化问题。同时对Laplacian求解系统中影响求解精度的软约束权值进行分析，在matlab环境下实验得出合理的权值范围，在此范围内选择权值求解线性系统逼近满意解，获得平滑的变形效果。

【关键词】 拉普拉斯 网格变形 软约束权值 最小二乘系统

1 引言

在3D动画领域，拉普拉斯网格变形技术可以很好的表示局部曲面的几何细节，通过求解最小二乘系统，在整个网格曲面分散误差，在保持曲面的几何细节变形领域应用广泛。

拉普拉斯网格变形技术通常需要添加软约束条件，使原方程组中因增加顶点后，成为超定方程组，最小二乘法用来求解该方程组。在Laplacian约束条件中的软约束权值，影响求解精度，如何借助多目标优化理论确定一个合理的权值范围迅速得到优化解是值得研究的问题。

2 多目标优化理论

多目标优化理论主要解决的是在含有多个目标的情况下，尽可能满足多个目标的多目标优化问题。

2.1 多目标优化理论一般模型

（2.1）

公式2.1表示的一般模型被称为多目标优化问题模型，也是基本模型。

多目标优化问题的求解，可以用间接和直接的解法，通常使用多目标问题的间接解法转化为单目标问题，再对单目标问题求解。转化为单目标问题的线性加权和法、理想点法等多种方法都可应用，一般采用的是理想点法。

2.2 理想点法

理想点法的基本思想是分配给每个目标一个目标值，也就是对每个目标函数，该目标函数值，满足

（2.2）

为理想点。时，为最理想的点。理想点法有多种解法，这里应用的是平方加权和法，其但目标优化问题为：

（2.3）

对公式2.3进行求解，得出在平方加权和下的最优解。一般情况下，，。平方加权和法按照目标的重要程度，先排出最优值一系列最优的目标值，再按照各目标重要程度，确定一系列权系数。此方法下目标愈重要，其对应的权系数愈大。我们可调整的权值，逐步达到最期望的目标。应用加权理想点法根据所需期望程度求解，通过调整所期望目标的值，从而逼近目标。

通过以上的分析，可以说明拉普拉斯网格变形方法的求解问题属于多目标优化问题范畴。

3 软约束权值研究

拉普拉斯网格变形方法的求解框架是一个线性的最小二乘系统，多目标优化理论将被用来对拉普拉斯求解系统进行分析。

3.1 多目标优化分析

拉普拉斯网格变形方法：用拉普拉斯坐标来表示其顶点坐标，一部分控制顶点由研究者自己制定，控制顶点最终需要达到指定位置，重建模型。操作保留拉普拉斯坐标在模型变形前后尽量一致，研究者指定的控制顶点移动到指定位置。重建模型通过求解公式3.1中的最小二乘系统，求解出模型变形操作后其顶点的笛卡尔坐标：

（3.1）

公式3.1由两部分组成，尽可能保持模型变形前后的拉普拉斯坐标一致是第一部分，第二部分是软约束，使研究者能够使指定顶点达到其指定位置，并降低特征顶点处误差。

对拉普拉斯网格变形方法求解系统用多目标优化理论进行分析，公式3.1中的第一部分使顶点尽量维持原来的拓扑结构，模型变形前的拉普拉斯坐标为模型变形后的拉普拉斯坐标的理想点。第二部分使顶点达到指定位置，理想点就是特征顶点。那么，公式3.1本质是一个多目标优化问题，只不过在这里面只有两个目标。

3.2 权值分析

基于以上分析，拉普拉斯网格变形方法的求解系统中的权系数是用来平衡两个目标的，通过调整位置约束的重要性来调整权系数。值越大，软约束会在求解系统中起的作用越大，进而特征顶点愈接近指定位置。在求解系统中，如果软约束越强，特征顶点尽可能到达指定位置，即系统中第二个目标被优先满足，则第一个目标就不能很好实现，误差会增大，就不能很好的保持局部几何细节。因此如何确定权值，尽可能满足两个目标，从而达到满意变形效果，值得研究。

权值能够影响线性最小二乘系统求解精度，变形结果受到影响。因此，一个合适的权值的选择关系到两个目标的平衡问题，正确选择权值，使两个目标都得到最大程度满足，对获得满意变形效果至关重要。下面通过在matlab上的实验来讨论的合理取值，实验结果将为后续研究者提供重要参考。

4 软约束权值实验

实验环境：开发环境为matlab2012b，操作系统为win7，处理器为AMD phenom（tm）II B97 Processor 3.20GHz。

通过大量模型实验，对权值进行调整，直到得出满意的变形效果，对变形效果好的权值进行记录，进而确定一个合理的权值区间。本文做了大量实验，这里只选取柱体、兔子和犰狳模型作为展示。图4-1是对柱体的变形处理图，柱体原始图形是直立的。

固定柱体底端的顶点，拉动柱体顶部顶点进行变形，变形过程当中调整的权值。取较小权值时，软约束作用小，第二个目标即位置约束难以实现，=0.1时，底部顶点未被固定，=0.6时，变形效果理想，权值在1左右的效果也不错。增大到1.5时，作用较强，变形效果不平滑自然。超过1.5的时候作用更强，变形效果更显得不自然。因此对于柱体，在0.6-1.4之间可以得到满意的变形效果。

图4-2是调整权值拖拽兔耳进行变形，兔子原始图耳朵没有被拉伸。

和柱体变形类似，取值在0.6-1.4之间变形效果理想。取值大于等于1.5时，耳朵的拖动部分出现的褶比较明显，>1.5时就更加明显。

除此之外，在matlab环境下还进行了大量实验，取值在0.6-1.4之间均可获得理想变形效果。

如图4-3是犰狳模型在合理取值范围内对其右脚变形的变形效果图。

犰狳模型在权值范围内可以得出比较满意的变形效果。实验结果表明权值在0.6-1.4之间，能够很好平衡线性最小二乘系统中的两个目标，获得满意变形效果。

因此权值的合理区间是0.6-1.4，后续拉普拉斯网格变形方法研究者可以直接在此范围内选择取值。

5 结语

本文对拉普拉斯求解系统应用多目标优化理论进行分析，证明其线性最小二乘系统是多目标优化问题，用权值来平衡两个目标，权值的选取直接影响到求解精度，进而影响变形效果。因此本文通过在matlab环境下对大量模型进行实验，逐步选择权值大小讨论分析，得出合理取值区间是0.6-1.4，此范围内取值变形效果比较理想，为后续拉普拉斯变形方法研究者提供重要参考。

参考文献：

[1]傅英定，成孝予，唐应辉著.最优化理论与方法.国防工业出版社，北京：2008.

[2]O.Sorkine，Differential Representations for Mesh Processing，Computer Graphics Forum，Vol.25，No.4，December， 2006，789～807.

[3]王勖成，邵敏.有限单元法基本原理和数值方法.清华大学出版社，北京：第二版，1997.

[4]李现民.三角网格简化及等值面抽取技术.博士学位论文，中国科学院计算技术研究所，2001.endprint

【摘 要】 本文对3D动画变形网格变形领域的拉普拉斯求解系统进行分析，通过多目标优化理论分析，证明拉普拉斯求解系统是多目标优化问题。同时对Laplacian求解系统中影响求解精度的软约束权值进行分析，在matlab环境下实验得出合理的权值范围，在此范围内选择权值求解线性系统逼近满意解，获得平滑的变形效果。

【关键词】 拉普拉斯 网格变形 软约束权值 最小二乘系统

1 引言

在3D动画领域，拉普拉斯网格变形技术可以很好的表示局部曲面的几何细节，通过求解最小二乘系统，在整个网格曲面分散误差，在保持曲面的几何细节变形领域应用广泛。

拉普拉斯网格变形技术通常需要添加软约束条件，使原方程组中因增加顶点后，成为超定方程组，最小二乘法用来求解该方程组。在Laplacian约束条件中的软约束权值，影响求解精度，如何借助多目标优化理论确定一个合理的权值范围迅速得到优化解是值得研究的问题。

2 多目标优化理论

多目标优化理论主要解决的是在含有多个目标的情况下，尽可能满足多个目标的多目标优化问题。

2.1 多目标优化理论一般模型

（2.1）

公式2.1表示的一般模型被称为多目标优化问题模型，也是基本模型。

多目标优化问题的求解，可以用间接和直接的解法，通常使用多目标问题的间接解法转化为单目标问题，再对单目标问题求解。转化为单目标问题的线性加权和法、理想点法等多种方法都可应用，一般采用的是理想点法。

2.2 理想点法

理想点法的基本思想是分配给每个目标一个目标值，也就是对每个目标函数，该目标函数值，满足

（2.2）

为理想点。时，为最理想的点。理想点法有多种解法，这里应用的是平方加权和法，其但目标优化问题为：

（2.3）

对公式2.3进行求解，得出在平方加权和下的最优解。一般情况下，，。平方加权和法按照目标的重要程度，先排出最优值一系列最优的目标值，再按照各目标重要程度，确定一系列权系数。此方法下目标愈重要，其对应的权系数愈大。我们可调整的权值，逐步达到最期望的目标。应用加权理想点法根据所需期望程度求解，通过调整所期望目标的值，从而逼近目标。

通过以上的分析，可以说明拉普拉斯网格变形方法的求解问题属于多目标优化问题范畴。

3 软约束权值研究

拉普拉斯网格变形方法的求解框架是一个线性的最小二乘系统，多目标优化理论将被用来对拉普拉斯求解系统进行分析。

3.1 多目标优化分析

拉普拉斯网格变形方法：用拉普拉斯坐标来表示其顶点坐标，一部分控制顶点由研究者自己制定，控制顶点最终需要达到指定位置，重建模型。操作保留拉普拉斯坐标在模型变形前后尽量一致，研究者指定的控制顶点移动到指定位置。重建模型通过求解公式3.1中的最小二乘系统，求解出模型变形操作后其顶点的笛卡尔坐标：

（3.1）

公式3.1由两部分组成，尽可能保持模型变形前后的拉普拉斯坐标一致是第一部分，第二部分是软约束，使研究者能够使指定顶点达到其指定位置，并降低特征顶点处误差。

对拉普拉斯网格变形方法求解系统用多目标优化理论进行分析，公式3.1中的第一部分使顶点尽量维持原来的拓扑结构，模型变形前的拉普拉斯坐标为模型变形后的拉普拉斯坐标的理想点。第二部分使顶点达到指定位置，理想点就是特征顶点。那么，公式3.1本质是一个多目标优化问题，只不过在这里面只有两个目标。

3.2 权值分析

基于以上分析，拉普拉斯网格变形方法的求解系统中的权系数是用来平衡两个目标的，通过调整位置约束的重要性来调整权系数。值越大，软约束会在求解系统中起的作用越大，进而特征顶点愈接近指定位置。在求解系统中，如果软约束越强，特征顶点尽可能到达指定位置，即系统中第二个目标被优先满足，则第一个目标就不能很好实现，误差会增大，就不能很好的保持局部几何细节。因此如何确定权值，尽可能满足两个目标，从而达到满意变形效果，值得研究。

权值能够影响线性最小二乘系统求解精度，变形结果受到影响。因此，一个合适的权值的选择关系到两个目标的平衡问题，正确选择权值，使两个目标都得到最大程度满足，对获得满意变形效果至关重要。下面通过在matlab上的实验来讨论的合理取值，实验结果将为后续研究者提供重要参考。

4 软约束权值实验

实验环境：开发环境为matlab2012b，操作系统为win7，处理器为AMD phenom（tm）II B97 Processor 3.20GHz。

通过大量模型实验，对权值进行调整，直到得出满意的变形效果，对变形效果好的权值进行记录，进而确定一个合理的权值区间。本文做了大量实验，这里只选取柱体、兔子和犰狳模型作为展示。图4-1是对柱体的变形处理图，柱体原始图形是直立的。

固定柱体底端的顶点，拉动柱体顶部顶点进行变形，变形过程当中调整的权值。取较小权值时，软约束作用小，第二个目标即位置约束难以实现，=0.1时，底部顶点未被固定，=0.6时，变形效果理想，权值在1左右的效果也不错。增大到1.5时，作用较强，变形效果不平滑自然。超过1.5的时候作用更强，变形效果更显得不自然。因此对于柱体，在0.6-1.4之间可以得到满意的变形效果。

图4-2是调整权值拖拽兔耳进行变形，兔子原始图耳朵没有被拉伸。

和柱体变形类似，取值在0.6-1.4之间变形效果理想。取值大于等于1.5时，耳朵的拖动部分出现的褶比较明显，>1.5时就更加明显。

除此之外，在matlab环境下还进行了大量实验，取值在0.6-1.4之间均可获得理想变形效果。

如图4-3是犰狳模型在合理取值范围内对其右脚变形的变形效果图。

犰狳模型在权值范围内可以得出比较满意的变形效果。实验结果表明权值在0.6-1.4之间，能够很好平衡线性最小二乘系统中的两个目标，获得满意变形效果。

因此权值的合理区间是0.6-1.4，后续拉普拉斯网格变形方法研究者可以直接在此范围内选择取值。

5 结语

本文对拉普拉斯求解系统应用多目标优化理论进行分析，证明其线性最小二乘系统是多目标优化问题，用权值来平衡两个目标，权值的选取直接影响到求解精度，进而影响变形效果。因此本文通过在matlab环境下对大量模型进行实验，逐步选择权值大小讨论分析，得出合理取值区间是0.6-1.4，此范围内取值变形效果比较理想，为后续拉普拉斯变形方法研究者提供重要参考。

参考文献：

[1]傅英定，成孝予，唐应辉著.最优化理论与方法.国防工业出版社，北京：2008.

[2]O.Sorkine，Differential Representations for Mesh Processing，Computer Graphics Forum，Vol.25，No.4，December， 2006，789～807.

[3]王勖成，邵敏.有限单元法基本原理和数值方法.清华大学出版社，北京：第二版，1997.

[4]李现民.三角网格简化及等值面抽取技术.博士学位论文，中国科学院计算技术研究所，2001.endprint

【摘 要】 本文对3D动画变形网格变形领域的拉普拉斯求解系统进行分析，通过多目标优化理论分析，证明拉普拉斯求解系统是多目标优化问题。同时对Laplacian求解系统中影响求解精度的软约束权值进行分析，在matlab环境下实验得出合理的权值范围，在此范围内选择权值求解线性系统逼近满意解，获得平滑的变形效果。

【关键词】 拉普拉斯 网格变形 软约束权值 最小二乘系统

1 引言

在3D动画领域，拉普拉斯网格变形技术可以很好的表示局部曲面的几何细节，通过求解最小二乘系统，在整个网格曲面分散误差，在保持曲面的几何细节变形领域应用广泛。

拉普拉斯网格变形技术通常需要添加软约束条件，使原方程组中因增加顶点后，成为超定方程组，最小二乘法用来求解该方程组。在Laplacian约束条件中的软约束权值，影响求解精度，如何借助多目标优化理论确定一个合理的权值范围迅速得到优化解是值得研究的问题。

2 多目标优化理论

多目标优化理论主要解决的是在含有多个目标的情况下，尽可能满足多个目标的多目标优化问题。

2.1 多目标优化理论一般模型

（2.1）

公式2.1表示的一般模型被称为多目标优化问题模型，也是基本模型。

多目标优化问题的求解，可以用间接和直接的解法，通常使用多目标问题的间接解法转化为单目标问题，再对单目标问题求解。转化为单目标问题的线性加权和法、理想点法等多种方法都可应用，一般采用的是理想点法。

2.2 理想点法

理想点法的基本思想是分配给每个目标一个目标值，也就是对每个目标函数，该目标函数值，满足

（2.2）

为理想点。时，为最理想的点。理想点法有多种解法，这里应用的是平方加权和法，其但目标优化问题为：

（2.3）

对公式2.3进行求解，得出在平方加权和下的最优解。一般情况下，，。平方加权和法按照目标的重要程度，先排出最优值一系列最优的目标值，再按照各目标重要程度，确定一系列权系数。此方法下目标愈重要，其对应的权系数愈大。我们可调整的权值，逐步达到最期望的目标。应用加权理想点法根据所需期望程度求解，通过调整所期望目标的值，从而逼近目标。

通过以上的分析，可以说明拉普拉斯网格变形方法的求解问题属于多目标优化问题范畴。

3 软约束权值研究

拉普拉斯网格变形方法的求解框架是一个线性的最小二乘系统，多目标优化理论将被用来对拉普拉斯求解系统进行分析。

3.1 多目标优化分析

拉普拉斯网格变形方法：用拉普拉斯坐标来表示其顶点坐标，一部分控制顶点由研究者自己制定，控制顶点最终需要达到指定位置，重建模型。操作保留拉普拉斯坐标在模型变形前后尽量一致，研究者指定的控制顶点移动到指定位置。重建模型通过求解公式3.1中的最小二乘系统，求解出模型变形操作后其顶点的笛卡尔坐标：

（3.1）

公式3.1由两部分组成，尽可能保持模型变形前后的拉普拉斯坐标一致是第一部分，第二部分是软约束，使研究者能够使指定顶点达到其指定位置，并降低特征顶点处误差。

对拉普拉斯网格变形方法求解系统用多目标优化理论进行分析，公式3.1中的第一部分使顶点尽量维持原来的拓扑结构，模型变形前的拉普拉斯坐标为模型变形后的拉普拉斯坐标的理想点。第二部分使顶点达到指定位置，理想点就是特征顶点。那么，公式3.1本质是一个多目标优化问题，只不过在这里面只有两个目标。

3.2 权值分析

基于以上分析，拉普拉斯网格变形方法的求解系统中的权系数是用来平衡两个目标的，通过调整位置约束的重要性来调整权系数。值越大，软约束会在求解系统中起的作用越大，进而特征顶点愈接近指定位置。在求解系统中，如果软约束越强，特征顶点尽可能到达指定位置，即系统中第二个目标被优先满足，则第一个目标就不能很好实现，误差会增大，就不能很好的保持局部几何细节。因此如何确定权值，尽可能满足两个目标，从而达到满意变形效果，值得研究。

权值能够影响线性最小二乘系统求解精度，变形结果受到影响。因此，一个合适的权值的选择关系到两个目标的平衡问题，正确选择权值，使两个目标都得到最大程度满足，对获得满意变形效果至关重要。下面通过在matlab上的实验来讨论的合理取值，实验结果将为后续研究者提供重要参考。

4 软约束权值实验

实验环境：开发环境为matlab2012b，操作系统为win7，处理器为AMD phenom（tm）II B97 Processor 3.20GHz。

通过大量模型实验，对权值进行调整，直到得出满意的变形效果，对变形效果好的权值进行记录，进而确定一个合理的权值区间。本文做了大量实验，这里只选取柱体、兔子和犰狳模型作为展示。图4-1是对柱体的变形处理图，柱体原始图形是直立的。

固定柱体底端的顶点，拉动柱体顶部顶点进行变形，变形过程当中调整的权值。取较小权值时，软约束作用小，第二个目标即位置约束难以实现，=0.1时，底部顶点未被固定，=0.6时，变形效果理想，权值在1左右的效果也不错。增大到1.5时，作用较强，变形效果不平滑自然。超过1.5的时候作用更强，变形效果更显得不自然。因此对于柱体，在0.6-1.4之间可以得到满意的变形效果。

图4-2是调整权值拖拽兔耳进行变形，兔子原始图耳朵没有被拉伸。

和柱体变形类似，取值在0.6-1.4之间变形效果理想。取值大于等于1.5时，耳朵的拖动部分出现的褶比较明显，>1.5时就更加明显。

除此之外，在matlab环境下还进行了大量实验，取值在0.6-1.4之间均可获得理想变形效果。

如图4-3是犰狳模型在合理取值范围内对其右脚变形的变形效果图。

犰狳模型在权值范围内可以得出比较满意的变形效果。实验结果表明权值在0.6-1.4之间，能够很好平衡线性最小二乘系统中的两个目标，获得满意变形效果。

因此权值的合理区间是0.6-1.4，后续拉普拉斯网格变形方法研究者可以直接在此范围内选择取值。

5 结语

本文对拉普拉斯求解系统应用多目标优化理论进行分析，证明其线性最小二乘系统是多目标优化问题，用权值来平衡两个目标，权值的选取直接影响到求解精度，进而影响变形效果。因此本文通过在matlab环境下对大量模型进行实验，逐步选择权值大小讨论分析，得出合理取值区间是0.6-1.4，此范围内取值变形效果比较理想，为后续拉普拉斯变形方法研究者提供重要参考。

参考文献：

[1]傅英定，成孝予，唐应辉著.最优化理论与方法.国防工业出版社，北京：2008.

[2]O.Sorkine，Differential Representations for Mesh Processing，Computer Graphics Forum，Vol.25，No.4，December， 2006，789～807.

[3]王勖成，邵敏.有限单元法基本原理和数值方法.清华大学出版社，北京：第二版，1997.

[4]李现民.三角网格简化及等值面抽取技术.博士学位论文，中国科学院计算技术研究所，2001.endprint