最小均方自适应滤波器集平均理论及实验仿真

姚雪春 张茂胜 王晓晨 姜林

摘 要：在自适应滤波器应用中的一个重要问题是确定可调节滤波器参数最优的标准，以及利用这种标准形成实际上可行的算法。最小均方算法是现今应用最为广泛的一种线性自适应滤波算法。在变步长最小均方算法中，变步长算法的选取十分关键，它对自适应滤波器的滤波效果有重大的影响。基于最小步长理论的最小均方自适应滤波器理论，简化均方误差的计算过程，设计合适的参数使实际值与理论性逼近，验证最小步长理论的实用性，仿真结果表明实验值与理论值十分吻合，具有较强的实用性。

关键词：自适应；滤波器；最小均方；步长

Ensemble average of least mean square adaptive filter and simulation

Yao Xuechun1，2 Zhang Maosheng1，2 Wang Xiaocheng1，2 Jiang Lin1，2，3

（1.Shenzhen Institute of Wuhan University，Shenzhen Guangdong，518063；2.Wuhan University，Wuhan Hubei，430072，China；3School of software，East China Institute of Technology，Nanchang，Jiangxi，330013）

Abstract： The optimization method of determining the parameters of an adaptive filters and the way to make the optimization method be a feasible algorithm are vital problems in the application of adaptive filters. Least mean square （LMS） is the most popular linear adaptive filters. The step size significantly influent the effect of adaptive filters in the variable step size least mean square method. Base on the variable step size least mean square theory， a simplified method to estimated mean square error （MSE） is used. A appropriate step size is developed to verify the minimum step size theory. The simulation shows that the experimental values is in accordance with theory values.

Key words：adaptive；filter；least mean square；step size

根据环境的改变使用自适应算法来改变滤波器的参数和结构的滤波器称之为自适应滤波器，其优点是能够根据输入信号自动调整性能进行数字信号处理的数字滤波器。自适应滤波器以其优良的滤波效果获得了广泛的应用， 如自适应天线系统、数字通信接收机、自适应噪声对消技术、系统建模等[1]。

在自适应滤波器应用中一个重要问题是确定可调节滤波器参数最优的标准，以及利用这种标准形成实际上可行的算法。最小均方（LMS，least mean square）算法是現今应用最为广泛的一种线性自适应算法，它不需要有关的相关函数和矩阵求逆运算[2][3]，是一种极为简单的算法。变步长最小均方算法是最小均方算法的一种，变步长算法的选取十分关键，它对自适应滤波器的滤波效果有重大的影响[4]。目前，罗小东[5]、覃景繁[6]提出的变步长算法应用较广泛。在自适应滤波器中，参考输入信号x（k）是幅值固定的余弦信号，误差ε（k）在自适应调节过程中是衰减振荡的，而当自适应调节过程趋于稳定时，ε（k）近似为幅值固定的交变信号。如果实际输入信号d（k）只含2个频率分量，那么自适应调节过程趋于稳定时，ε（k）近似为正弦信号。由于步长变化算法的步长μ（k）与ε（k）或x（k）有关，所以，在自适应调节过程中，尽管步长μ（k）是衰减的，但是它存在较大的波动，这对自适应滤波器的滤波效果有较大的影响[7]。

1 最小均方自适应滤波器

自适应滤波器的一般算法原理框图如图1所示[8]。

其中X（k）为输入信号，Y（k）为输出信号，d（k）为期望信号，E（k）为误差信号，各信号的关系为：

最小均方误差（LMS）算法是由Widrow和Hoff提出的，具有计算量小、易于实现等优点在实践中广泛应用[9][10]。LMS算法的基本思想：调整滤波器自身的参数，使滤波器的输出信号与期望输出信号之间的均方误差最小，系统输出为有用信号的最佳估计。实质上LMS可以看成是一种随机梯度或者随机逼近算法， 可以写成如下的基本迭代方程：

其中L为步长因子，控制稳定性和收敛速度的参量。从上式可以看出其结构简单、计算量小且稳定性好等优点[11]，但固定步长的LMS算法在收敛速度、跟踪速率及权失调噪声之间的要求是相互矛盾的[12]，为了克服其缺点，学者们提出了各种变步长的LMS改进算法，主要是采用减小均方误差或者以某种规则基于时变步长因子跟踪信号的时变[13]，其中有正规LMS算法（NLMS）、梯度自适应步长算法[14]、自动增益控制自适应算法、符号-误差LMS算法、符号-数据LMS算法、数据复用LMS算法等。

2 最小均方自适应滤波器仿真

2.1 LMS算法步骤

LMS算法基本上是一种递推算法，它用任意选择的初始值作为开始，然后将每一新的输入样本输入到这个自适应FIR滤波器，计算相应的输出{y（n）}，形成误差信号e（n）=d（n）-y（n），并按方程

hn（k）=hn-1（k）+Δe（n）x（n-k），0≤k≤N-1

更新滤波器系数，这里Δ称为步长参数，x（n-k）是输入信号在时间n位于滤波器的第k个样本，而e（n）x（n-k）是对第k个滤波器系数的一个梯度负值的近似（估计）[15]。即：

输入抽头向量x（n）在n时刻的抽头输入向量为：x（n）=[x（n），x（n-1），…，x（n-M-1）]，要计算w（n+1）在n+1时刻抽头权向量估计：

对n=1，2，…，计算

2.2 Matlab仿真

为了直观的展现基于小步长理论验证LMS的集平均学习曲线与理论值相符的程度，以Matlab为工具，对理论进行仿真。取步长为0.001，采用100次独立试验，预测误差f（n）均方值集平均结果，期望结果是LMS的集平均学习曲线与理论结果相一致。

理论上LMS滤波器的均方误差为

对于一阶AR过程，σ2v=σ2μ（1-a2），代入上式得

小步长理论的基本结果是：LMS的集平均学习曲线出现与上式相一致的确定性结果，滤波器的自然模式将关于某些固定值做布朗运动。

在Matlab軟件中编程实现以上理论，首先利用抽头权向量自适应方程，实现自适应调整权值矩阵和步长，然后计算集平均结果并计算与理论值之间的误差，最后绘制误差曲线图展示误差的程度。其中关键代码如下：

W=W+mu*e（n，：）'*Xi（n-1，：）；

if（LMSData.decay==1）

mu=mu*n/（n+1）；

end；

xp（n，：）=Xi（n-1，：）* W'；

e（n，：）=Xi（n，：）-xp（n，：）；

mean（（e'）.^2）

semilogy（mean（（E‘）.^2），-‘）；

所绘制理论结果与实验结果，如图2所示。可以看出，实验结果与理论结果吻合度很高，体现算法较好的逼近理论值，可以作为一种实用的实施方式。

3 结论

从仿真实验可以得出，基于小步长理论的LMS集平均结果与理论值十分接近。但同时通过实验发现，大的步长将极大的影响理论与实验结果的一致性。如当u由0.001改为0.003时，实验结果与理论出现明显差异，当为0.01时结果出现很大差异。步长需要小到什么程度，实验结果与理论值的接近程度与步长之间是否有公式关系，是下一步研究的目标。

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