基于Plackett—Burman对星点试验设计理论优化

摘要：星点设计主要解决了水平数过多的试验条件，合理地选取水平数，应用Design expert这一软件进行拟合分析，最终在效应面中对于最优的方案进行选取。文章基于Plackett-Burman设计对星点设计进行补充改进优化，有效地解决因素数目的问题。

关键词：试验设计；星点设计；Plackett-Burman设计；效应面

中图分类号：R284 文献标识码：A 文章编号：1009-2374（2014）15-0022-02

1 概述

试验设计这门起源于20世纪20年代并发展至今的学科正在越来越多的被应用于实际的各行各业，以提高产量；减少质量的波动，提高产品质量水准；大大缩短新产品试验周期；降低成本；试验设计延长产品寿命等目的发挥着它的作用。经过多年的发展试验设计也由早期的正交设计和均匀设计发展出了一些新的设计方法。星点设计就是这其中之一，但正是由于星点设计是近些年才被提出来的，这种方法仍然有很大的发展空间。

星点设计主要解决了对于因素数适中，水平数过多的试验条件，合理地筛选水平数，同时结合效应面方法对试验结果进行拟合，借助计算机分析数据，主要是Design expert这一软件进行分析，最终在效应面中对于最优的方案进行选取。但这种方法的前提是因素的数量适中控制在4到5个以内。但是在实际操作中这种情况可能不如人意，在涉及到很多因素的时候我们很难决定因素的取舍。我们可以做到在水平的选取上科学，但在因素数上也同样不可忽视，正因如此本文基于Plackett-Burman设计对星点设计进行补充改进优化，有效地解决因素数目的问题。

Plackett-Burman试验就是筛选试验设计，主要针对因素数较多，且未确定众因素相对于响应变量的显著影响，采用的试验设计方法。筛选试验设计对显著影响的因素可以确定出来，从而达到筛选的目的，避免在后期的优化试验中由于因素数太多或部分因素不显著而浪费试验资源。这两者的结合可以有效地同时解决实际实验中出现的因素数目多，水平较多的情况。

在未来发展中，随着科学技术的高速发展，试验设计以适应这种高速发展必定会更加复杂，用科学的方法变复杂为简单是试验设计的一个目的，相信这种方法会在未来被更多地应用于实际实验中，同样对这种方法更深入的研究也会是试验设计的一个新的突破。

2 星点试验设计的发展与原理

传统的正交设计会由于之前提到的两种缺陷，即试验精度的选择的试验取值仅仅是接近的最佳取值，无法精确到最佳；不能灵敏地考察各个因素间的交互作用。由此我们提出效应面法，即通过对一些部分水平值进行试验，通过回归拟合可以拟合出全部水平对应的试验结果指标。该方法的优点在于试验次数少，同时这种方法又消除了回归系数间的相关性。但是仅仅凭效应面设计还不足以最佳的改良传统的试验设计的方法，也带来了一个副作用。如果我们用这个效应面进行预测的时候，方差会依赖于试验点在因素空间中的位置，这是由于我们把原本平面化的结果立体化，在空间中考查它们之间的关系结果。由于残差是我们衡量精度的一个重要标准，正是由于这种误差项的干扰，试验者不能根据预测值找到最优方案。

我们考虑如果在二次设计上添加旋转性，我们设计一个旋转中心。使与试验中心距离相等的点上的预测值的方差相等，就可以解决在空间位置带来的方差干扰。但是同时考虑到已有的试验设计表示完全考虑正交性的，如果此时我们改变试验设计表那么我们必定会破坏原有的正交性。此时我们究竟是要正交性还是旋转性，在因素水平较高的时候，用牺牲部分正交性换来旋转性的方法是必要的。

中心组合设计方案中的试验点有三部分组成，第一是将编码值-1，1都看成每个因素的两个水平，如同一次回归的正交设计那样，采用二水平正交表安排设计。这部分试验次数为mc=2k。第二是在每一个因素的坐标轴上取两个试验点，该因素的编码值分别为-γ，其他因素编码值为0，由于有k个因素，因此这部分试验点共有2k个，称这种试验点为星号点。γ=。第三是试验区域的中心进行m0次重复试验，这时每个因素的编码值均为0。这里值得说明的是，以上在选取水平值中应用到的编码值是对于标准差的度量，1代表距离中值相差一个标准差，这是在具体试验中会用到的。

正如之前所述，星点设计解决了因素水平较多的问题，比如在实际试验应用中，有类似比例的指标，比例的指标取值是无穷无尽的，我们不可能穷尽每一个水平试验。由此我们要用某种科学的方法来抽取试验的水平值，在正交试验的试验点选取的基础上选取的新的实验值我们称之为星点，也正因此这种选取水平的设计试验方法被称为星点设计，结合之后的拟合效应面，也就是星点设计效应面法。

正如之前所说，由于对于方差问题解决力度不同，星点设计有三种设计方案，如果确定一个试验，那么在此时试验因素数目，因素水平的选取都是一定的了，此时只有最后一部分可以进行调节以满足不同需要，即中心点重复的次数。

2.1 二次回归正交旋转组合设计

二次回归正交旋转组合设计是星点设计中对方差误差干扰这一问题处理最弱的一种方法，只是能保证所有相对于中心距离相等的点的预测的方差近似相等。对于那些相对于中心的距离有些许差别的试验点的预测方差可能会有很大的差异。

2.2 二次回归通用旋转组合设计

二次回归通用旋转设计之所以有一定的通用性，在于其在对于方差的处理方面又做了更进一步的改进，同样也失去了一定的正交性。其改进在于对于编码中心距离小于1的任意点上的预测值的方差都会近似相等，不会再局限于只是对于相对于中心距离相等的点。

2.3 二次回归的均匀精度旋转组合设计

二次回归的均匀精度旋转组合设计，在整个星点设计中是对于方差误差的处理最严格的一种设计方法，同时也最多地牺牲了正交性。这种方法是建立在之前的通用性的基础之上通过适当的坐标变化转化为任意球内的均匀精度旋转设计。

三者比较来看，通过通用旋转设计的试验次数适中，同时又不会过分地失去正交性，也就是说我们由此相信在星点设计中，通用旋转设计会更多地应用于实际试验中。其结果也会更有说服力，预测的结果会更加有效。

3 Plackett-Burman设计对星点设计的优化

对于因素水平过多导致的精度不准等问题已经被星点设计这一方法在一定程度上很好的解决了。但同时我们还会面临一个问题就是因素本身数量过多的问题。

Plackett-Burman试验就是筛选试验设计，主要针对因素数较多，且未确定众因素相对于响应变量的显著影响，采用的试验设计方法。方法主要通过对每个因素取两水平来进行分析，通过比较各个因素两水平的差异与整体的差异来确定因素的显著性。筛选试验设计不能区分主效应与交互作用的影响，但对显著影响的因素可以确定出来，从而达到筛选的目的，避免在后期的优化试验中由于因素数太多或部分因素不显著而浪费试验资源。

4 基于Plackett-Burman对星点设计的优化的应用说明

对于试验设计中可能会遇到的两大问题，因素数和水平数对于试验设计的影响，通过Plackett-Burman设计以及星点设计可以很好的解决这两个问题。但是正如本文题目所示，这里只是一个在理论上的证述。具体实际应用并没有付诸实践，因为查阅资料时很少有学者将这两者联系起来进行实际操作，而二者分开的研究却是数不胜数。由此对于这个改进是否有价值。在实际试验中究竟会不会碰到因素数与水平数都难以选择的情况，此处还不能体现。但我相信，假以时日这种方法在当今科技高速发展，各行业的科技技术都处在高速发展的阶段，因素数与水平数的取舍定会成为一个问题，那时这种星点设计的改进定会体现它的价值。

5 结语

通过本文的初步研究，得出的结论是基于Plackett-Burman设计可以与星点设计很好地结合在一起。鉴于星点设计主要是解决因素数适当但水平数过多的情况，Plackett-Burman设计则是主要解决因素数过多的情况。如果可以将这两者结合起来使用，那么试验设计中的两大问题就可以很好地被解决。可以预见基于Plackett-Burman改进的星点设计方法由于科学技术的高速发展，未来的研究还可以在从这一方面进行深入，或者对二者的方法再进行改进，相信会有更大的突破。

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作者简介：张双（1993—），女（满族），辽宁锦州人，中南财经政法大学统计与数学学院学生，研究方向：数学统计。