Mathematica在经济数学中的应用

温如凤 李莹 于祥芬

摘要：利用Mathematica数学软件将经济数学的理论知识应用于实际问题，将数学知识、数学方法和计算机应用三者有机的结合，着重培养学生应用数学来解决实际问题的能力。在使用Mathematica数学软件应用的过程中，应注意学生综合能力的培养。

关键词：Mathematica 经济数学 案例 应用

1 概述

经济数学教学遵循“以应用为目的，理论知识以必需够用为度”的原则，淡化概念，注重应用。因此，在教材中应融入经济数学教学实验的新概念，引导学生运用现代信息技术手段解决问题。面对高职学生，Mathematica数学软件在数学的理论知识与应用之间架起了一座桥梁，将数学中复杂的运算与计算机结合，使之变得更具体容易理解，增强了学生学习数学的兴趣，培养了学生的实践能力和创新能力，帮助学生在实践的基础上进行创新。

Mathematica数学软件是一个功能强大的数学软件，它是美国伊利诺大学复杂系统研究中心主任、物理学、数学和计算机科学教授Stephen Wolfram负责研制的。学生在学习微积分初期必须掌握的求函数的极限、导数、积分的运算，借助Mathematica软件的强大的数值运算功能，从而解决生产管理和经济金融中的计算问题。

2 Mathematica软件的基本命令

双击Mathematica软件的图标即可启动Mathematica软件。在其命令窗口中输入命令，如Sin[Pi/2]，然后按下Shift与Enter键即可执行相应的命令。在输入的命令中出现提示符“In[1]：=”，其中，“In”表示“输入”，数字1表示输入命令的序号；在运行结果之前会自动出现提示符“Out[1]=”，其中“Out”表示“输出”。

3 数学软件Mathematica在经济数学中的应用

3.1 用Mathematica计算极限

3.1.1 相关Mathematica软件命令

Mathematica系统中，求极限的语言是“Limit[函数，自变量→数值或∞]”

即Limit[f（x），x→x0]

3.1.2 案例分析

例1 计算■■

In[1]：=Limit[Sin[3x]/x，x→0]

Out[1]=3

例2 计算■■

In[2]：=Limit[1/x，x→0，Direction→1]

Out[2]=+∞

例3 某储户将100万元的人民币以活期的形式存入银行，假设年利率5%，如果银行允许储户在一年内可任意次结算，在不计息税的情况下，若储户等间隔的结算n次，每次结算后将本息全部存入银行，问：一年后该储户的本息和是多少？随着结算次数的无限增加，一年后该储户是否会成为千万富翁？

解：若每次计息一次，那么本利和为

10000001+0.05

若每年计息两次，那么本利和为

10000001+■■

若每年计息三次，那么本利和为

10000001+■■

若每年计息n次，那么本利和为

10000001+■■

随着结算次数的无限增加，即n→∞，故一年后本息和共计：■10000001+■■

输入：Limit[10000001+■■，n→∞]

输出1.00501×106

即一年后该储户不会成为千万富翁。

3.2 用Mathematica计算导数

3.2.1 相关Mathematica软件命令

Mathematica系统中，求导数的函数为：“D[函数f[x]，自变量x]”用于求函数f[x]的一阶导数，即D[f，x]；“D[函数f[x]，自变量x，阶数n]”用于求函数f[x]的n阶导数，即D[f，{x，n}]。

3.2.2 隐函数与由参数方程确定的函数的导数

求隐函数的导数与由参数方程确定的函数的导数，需将求导命令与其他命令结合起来，才能奏效！与笔算的做法一样，先在方程两边对变量x求导，再从所得方程中解出y′（x）即可。这两个步骤分别可由以下两个语句完成：

D[f（x）==0，x]

Solve[%，D[y[x]，x]]

将它们合并，就成为Solve[D[f（x）==0，x]，D[y[x]，x]

运行之后可求出y′（x）。

3.2.3 案例分析

例4 计算3xn的一阶导数

In[3]：=D[3xn，x]

Out[3]=3nxn-1

例5 计算y=ln（1+x）的二阶导数

In[4]：=D[Log（1+x），{x，2}]

Out[4]=-■

例6 求由方程xy-ex+ey=0确定的函数y=y（x）的导数。

In[5]：=Solve[D[x*y[x]-e^x+e^y[x]==0，x]，D[y[x]，x]]

Out[5]={{y′[x]→■}}

例7 某工厂生产某种商品，年产量为q（单位：百台），成本C（单位：万元），其中固定成本为2万元，而每生产1百台成本增加1万元，市场上每年可以销售此种商品4百台，其销售收入R是q的函数R（q）=4q-■q2，q∈[0，4]，问年产量为多少时其利润最大？

分析：要求利润函数L（q）=收入函数R（q）-成本函数C（q），其中R（q）是已知的，C（q）是未知的，因此，确定C（q）是最基本的。而固定成本为2万元，生产q单位商品的变动成本为1·q万元。所以成本函数C（q）=q+2，q∈[0，∞]，由此的利润函数L（q）=R（q）-C（q）=3q-■q2-2，q∈[0，4]，则 L′（q）=3-q，q∈[0，4]，令L′（q）=0得q=3，又因为L″（q）=-1<0，所以q=3是唯一的极大值点。

In[6]：=Clear[f，q]

f[q_]=3q-■q2-2

Solve[D[f[q]，q]==0，q]

D[f[q]，{q，2}]

Out[7]=-2+3q-q2/2

Out[8]={{q→3}}

Out[9]=-1

3.3 用Mathematica计算积分

3.3.1相关Mathematica软件命令

在Mathematica系统中，求不定积分的函数为“Integrate[函数f[x]，自变量x ]”，即Integrate[f，x]。求定积分的函数为“Integrate[函数f[x]，{积分变量x，下限a，上限b}]”，即Integrate[f，{x，a，b}]。

3.3.2 案例分析

例8 用Mathematica求■xarctanxdx

In[10]：=Integrate[xarctanx，x]

out[11]=■-x+1+x■arctan[x]

例9 用Mathematica求■lnxdx

In[12]：=Integrate[Log[x]，{x，1，y}]

out[13]=1+y*（-1+Log[y]）

4 结束语

总之，经济数学中关于函数求极限、求导、求经济函数最值问题、求不定积分和定积分等问题构成了经济数学的基本内容，也是学生学习和计算的重点和难点，引入Mathematica 软件进行经济数学教学，将理论学习与Mathematica软件使用相结合，有利于培养学生学习数学的兴趣，提高学生运用数学知识和数学软件分析、解决经济问题的能力。

参考文献：

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[7][美]D.尤金.Mathematica使用指南[M].科学出版社，2002年.

基金项目：课题项目名称：青年课题，课题名称：高职院校《经济数学》教材开发的探究，编号：2012QN06。

作者简介：温如凤（1981-），女，山东济南人，硕士，济南幼儿师范高等专科学校助教，研究方向：代数半群。