基于全齿宽啮合的弧齿圆柱齿轮参数化设计及接触特性

翟秀云，张学刚，谢永春，刘 丹，2

(1.攀枝花学院 机械工程学院，四川 攀枝花 617000;2.西华大学 机械工程与自动化学院，成都610039)

0 引言

齿轮被广泛地应用于各种机械设备中，主要用来传递一定的速度和力矩，力矩的传递对齿轮轮齿的强度有一定的要求，其中，增加轮齿间接触线的长度是提高齿轮强度的一种方式。随着机械工业的不断发展，相续出现了直齿圆柱齿轮、斜齿圆柱齿轮、人字齿轮等用于传递平行轴运动的齿轮，齿轮副在啮合过程中，这三种齿轮的齿面接触线依次增加，人字齿轮的接触线最长，因为人字齿轮的加工是齿轮中间截面的两边斜齿分开加工，所以保证人字齿轮的对称性是比较困难的。早在1952 年，日本学者长谷川吉三郎［1］第一次提出了弧齿圆柱齿轮，并设计了相应的加工机床，弧齿圆柱齿轮具有接触线长、啮合性能好、传动平稳等优点，由于该齿轮的加工效率低、成本高等原因导致没有大面积推广。2000 年以后，台湾学者Tseng 和Tsay［2-5］采用滚刀法和假想齿条加工法对弧齿圆柱齿轮的接触特性和几何特性做了一定的理论研究。2012 年，王少江、侯力等人［6-7］借助UG 的二次开发通过弧齿齿条刀具虚拟加工出弧齿圆柱齿轮的三维实体模型，提出了弧齿圆柱齿轮正确啮合的条件，即曲线齿轮凹面半径必须大于等于凸面半径，当凹面半径等于凸面半径时，齿轮达到全齿宽啮合。

基于全齿宽啮合的弧齿圆柱齿轮和非全齿宽啮合齿轮的主要区别如图1 所示。宋爱平团队在全齿宽啮合弧齿圆柱齿轮方面作了大量的研究［8-13］，但是没有提及到齿根过渡曲面的数学模型，其齿面接触曲线是通过计算两齿面啮合平面和齿面的交线获得，齿轮凸面刚进入啮合时的接触曲线分布于齿面完整齿宽。本文根据全齿宽啮合弧齿圆柱齿轮的啮合原理，推导出全齿宽啮合的弧齿圆柱齿轮精确齿面和过渡曲面的方程，用MATLAB 软件编写人性化的人机交互界面，快速获取不同参数下的弧齿圆柱齿轮齿面和过渡曲面的数据点，经三维实体建模软件简单处理生成精确的齿轮三维模型。最后，直接将两齿轮凹面和凸面分别对应的离散渐开线接触，用数值解法计算出弧齿圆柱齿轮齿面接触的离散点，这些离散点便构成齿面真实接触曲线，轮齿凸面刚进入啮合时接触曲线仅分布于齿面中间。

图1 齿形示意图

1 弧齿圆柱齿轮的齿面方程

为了得到精确的全齿宽啮合弧齿圆柱齿轮实体模型，必须根据齿轮啮合原理推导出齿轮的齿面方程和过度曲面方程。本文的做法是首先根据全齿宽啮合弧齿圆柱齿轮的啮合原理采用包络线法推导出二维精确过渡曲线和渐开线方程，然后通过坐标变换推导出弧齿圆柱齿轮的齿面和过度曲面方程。

1.1 渐开线和过渡曲线方程

渐开线和过渡曲线的生成按照文献［14］中提及的方法采用齿条刀具包络法，首先获得齿条刀具刀尖曲线参数方程:

对刀尖曲线方程进行变换可求得过渡曲线方程:

其中，

同理，可以获得齿条刀具齿线参数方程:

其中，- m≤θ ≤m

对齿线方程进行变换可求得渐开线方程:

其中，

过渡曲线和渐开线，即方程(1)、(2)之间的交点可以用三分法求得，在交点处将过渡曲线和渐开线连接起来，即可产生一条完整的齿廓曲线。

1.2 齿面和过渡曲面方程

在文献［12］中提到，齿面和过渡曲面方程分别由渐开线和过渡曲线经坐标变换而成，其坐标系转换示意图如图2 所示。渐开线和过渡曲线由坐标系S2(X2，Y2，Z2)转换到坐标系S1(X1，Y1，Z1)中，即可得到弧齿圆柱齿轮的齿面方程和过渡曲面方程。

图2 坐标系转换示意图

因此，齿轮的凹面的方程可以表示为如下形式:

其中，

齿轮凹面的过渡曲面方程可以表示为:

其中，

其中，

在这里只需要推导出弧齿圆柱齿轮一个齿的凹面、凹面的过渡曲面、凸面、凸面的过渡曲面即可，其它齿的齿面可以通过在三维实体造型软件里面处理完成。

2 弧齿圆柱齿轮齿面参数化程序

由1.2 节推导出的弧齿圆柱齿轮齿面参数方程借助MATLAB 编写参数化程序，具体操作步骤参见文献［14］。编写的用户交互界面如图3 所示。

图3 生成点云的用户交互界面

将弧齿圆柱齿轮的基本参数输入人机交互界面，点击“Generate”按钮即可显示出生成的单个齿面图形和齿面点云文件，将获得的点云文件转化为三维实体造型软件可识别的文件格式导入其中，简单处理即可生成完整的基于全齿宽啮合的弧齿圆柱齿轮，如图4所示。

图4 基于全齿宽啮合的弧齿圆柱齿轮三维实体模型

3 弧齿圆柱齿轮的接触特性

弧齿圆柱齿轮在啮合过程中，相互接触的两个齿面分别为大(小)齿轮凸面和小(大)齿轮凹面。为了研究齿轮的接触特性，我们根据1.2 节中推导的齿轮凸面和凹面方程，经坐标变换，分别表达出大(小)齿轮凸面和小(大)齿轮凹面方程使两齿面的中截面处的两条渐开线刚好相互接触，因为在弧齿圆柱齿轮齿面中截面处至少存在一个接触点。

齿轮1 的转动动态凸面方程表示为:

其中，

参数φ 表示齿轮1 啮合时的瞬时转动角;M1r表示齿轮1 绕齿轮2 中心的转动矩阵。

齿轮2 的转动动态凹面方程表示为:

其中，

参数z1、z2分别表示齿轮1 和齿轮2 的齿数;φ＇表示齿轮2 啮合时的瞬时转动角;为了使两齿轮的齿面存在初始接触，就必须调整齿轮2 齿面的位置，Mcr表示齿轮2 上凸面的调整矩阵;M2r表示齿轮2 绕齿轮2中心的转动矩阵;矩阵［xc yc zc］T表示齿轮1 和齿轮2之间的中心距。

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为了计算出齿面间的接触曲线我们将组成齿轮凹面和凸面的渐开线按一定步长分布，使凹面和凸面上的渐开线一一对应，然后计算每两条对应渐开线间的接触点，通过B 样条曲线连接渐开线上的接触点，从而构成齿面间的接触曲线，渐开线间步长越小，拟合出的接触曲线也就越精确。具体计算过程如下(参见图5):

(1)分别将齿轮1 的凸面和齿轮2 的凹面上的渐开线步长h统一，使两齿面间的渐开线一一对应，便于计算渐开线间的接触点;

(2)将两条渐开线投影到x坐标轴上，找出两条渐开线公共部分的范围;

(3)将组成两条渐开线公共部分的坐标点的x坐标合并在一起，用几何插值法处理公共部分的坐标点的x坐标;

(4)将处理后得x坐标还原到两条渐开线上，便于计算公共x坐标点xi对应的y(xi)值，当y2(xi)-y1(xi)=0 时，两对应渐开线存在接触点;当y2(xi)-y1(xi)≠0 时，两对应渐开线间不存在接触点;

(5)修改步长h重复(1)～(4)步，计算下一个对应渐开线间的接触点;

(6)将计算出的每个接触点依次用B 样条曲线连接，形成齿面间的接触曲线。

图5 对应渐开线间接触点计算说明图

齿面间的接触曲线随着齿轮的转动而变化。在标准安装条件下，本文仅分析了齿轮副凸面进入啮合到退出啮合四个啮合位置(转角φ = 12°，9°，- 9°，-15°)的接触曲线。齿轮副的基本参数为Z1=20，Z2=30，mc=4，RT=30，B=30。四个啮合位置齿面接触曲线如图6 所示。

图6 齿轮侧面观察四个啮合位置在凸面上的接触曲线

图6a 到图6d 依次表示凸面进入啮合到退出啮合的过程。从图可以看出凸齿面刚进入啮合的时候接触线分布在齿面中间;凸面完全进入啮合的时候接触线分布于整个齿面;退出啮合的时候接触线分布于凸齿面两端。

4 结论

以上内容阐述基于全齿宽啮合的弧齿圆柱齿轮的精确参数化设计，并分析了该齿轮的接触特性，得出以下结论:

(1)齿根过度曲面模型的建立为全齿宽啮合的弧齿圆柱齿轮有限元精确齿根应力分析奠定了基础;

(2)该弧齿圆柱齿轮的啮合曲线关于齿轮中截面对称;

(3)齿轮刚进入啮合和退出啮合时的接触曲线均分布于齿面局部。当凸面刚进入啮合时接触曲线分布于齿面中间，当凸面刚退出啮合时接触曲线分布于齿面两端;

(4)当齿轮转动到全齿宽啮合位置时，接触曲线比直齿轮接触曲线更长。

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