可修系统剩余寿命分析的广义发生函数法

周金宇,谢里阳,韩文钦,朱福先

(1.江苏理工学院装备再制造工程高技术重点实验室,江苏常州 213001;2.东北大学机械工程与自动化学院,辽宁沈阳 110004)

可修系统剩余寿命分析的广义发生函数法

周金宇1,谢里阳2,韩文钦1,朱福先1

(1.江苏理工学院装备再制造工程高技术重点实验室,江苏常州 213001;2.东北大学机械工程与自动化学院,辽宁沈阳 110004)

系统剩余寿命是机电装备面向多生命周期设计、制造与服役的重要分析指标。基于更新过程理论,通过引入广义发生函数(UGF),提出一种针对元件及系统有限时间区间的剩余寿命概率分析的实用方法。当系统各元件承受具有整体不确定性的平稳载荷随机历程时,直接根据元件在各等效恒幅应力水平下的失效数据构建元件条件寿命发生函数,由自定义复合算子分别计算相应的系统条件剩余寿命发生函数,经统计平均得系统剩余寿命分布。运算过程中,可利用近似项合并技术大幅度提高分析效率。新方法适用于元件寿命为任意分布随机变量场合,并体现各元件因等效恒幅应力不确定而引发的失效相关性,可为装备系统剩余寿命精细化分析开辟新途径。

机械学;可修系统;剩余寿命;失效相关;广义发生函数

Key words:mechanics;repairable system;residual life;failure dependence;universal generating function

0 引言

机电装备是多故障/失效模式并存、耦合的复杂可修系统,为确保其长期、可靠地运行,需要定期检测各元件或结构细节的损伤状态,及时通过更换、修复、再制造等方式恢复装备的工作可靠度,实现多生命周期服役。因此,基于更新过程理论的元件与装备系统剩余寿命定量概率评估,对于合理制定可靠度约束条件下的预防性维修策略、科学构建面向多生命周期的可靠性模型具有重要意义。

近年来,国内外学者针对可修系统的可靠性、维修性、再制造性和寿命周期的成本优化等问题开展了广泛研究。具有代表性的工作包括3个方面:1)针对有限时间区间和无限时间区间,分别运用Laplace-stieltjes变换和渐近定理,求解更新方程得到瞬时解和稳态解,获得元件及系统瞬时或长程概率分析指标[1-2];2)为避免在复杂更新方程求解中进行Laplace逆变换所碰到的诸多困难,基于更新时间离散法或计算机统计模拟法,近似获得各类概率分析指标[3-5];3)综合考虑安全性、可靠性、维修性和经济性等因素,建立可修系统多目标优化模型[6-8]。鉴于可修系统概率模型因元件的多次更新而导致的复杂性,现有概率分析方法较多基于失效模式统计独立或完全相关假设,分析结果与实际情况往往存在较大偏差。此外,对于有限或较短时间区间问题,运用Laplace-stieltjes变换难以求解含非正态、非指数分布或非连续分布随机变量的更新方程,而运用计算机统计模拟法进行系统级概率分析时将面临计算复杂度的挑战。

本文基于更新过程理论,通过引入广义发生函数(UGF),提出一种针对装备元件及系统有限时间区间的剩余寿命概率分析方法。在元件寿命为任意分布随机变量的情况下,考虑到元件在具有整体不确定性平稳载荷随机历程作用下的失效相关性,根据元件单生命周期寿命的离散失效数据建立可修元件及可修系统的剩余寿命概率模型,为精确而高效地分析装备剩余寿命分布的动态演化规律提供新思路。

1 广义发生函数法

发生函数是现代离散数学领域中的重要工具,具有形式统一、表达简洁、易编程、通用性强等优点,便于以统一的程序方式处理众多不同类型的问题。自20世纪80年代Ushakov对发生函数进行扩展以来[9],UGF被引入工程理论和实践中发挥了巨大作用。对于工程系统,可靠度是任务(需求)、性能(供给能力)这对矛盾在概率空间中相互作用的结果。采用UGF描述任务、性能随机变量,利用UGF复合运算实现各随机量的概率组合并最终求解系统/元件可靠性指标的方法,称为可靠性分析的UGF法。近10年,Lisnianski、Levitin、Zhou等、Li等在系统可靠性理论研究领域中应用并进一步发展了 UGF法[10-15],使之逐渐成为系统可靠性及寿命分布的有力工具。

利用UGF法进行系统可靠性分析所需的基本信息是:元件性能分布和系统性能结构函数,即

式中:H表示系统元件数。任意元件Ch的性能Gh都有mh种离散状态,各状态值及相应的概率可通过有序集合对gh={gh1,…,ghmh},ph={ph1,…,phmh}进行描述。Φ表示系统性能结构函数,该函数建立了系统性能与各元件性能之间的关系。用UGF描述元件的性能分布为

式中:UGF指数表示元件性能状态值,对应的系数表示元件性能处于该状态的概率。

为评估全系统的性能分布g、p,需求出系统性能状态值及与各状态值所对应的概率,具体表现为各组成元件所有可能的状态组合,系统性能状态值可通过性能结构函数Φ求出。当系统各元件状态统计独立时,各元件状态组合的概率就等于所对应的各元件状态概率的乘积,由此对描述不同元件性能分布的元件发生函数作复合运算,即得到描述系统性能分布的系统发生函数

式中:ΩΦ为复合算子符。运算时,元件发生函数各项系数相乘,而指数的运算规则由性能结构函数Φ确定。Φ的定义严格基于系统各元件的相互关系和物理特性。文献[11]针对流量传输和任务处理两类系统,分别给出了元件串联、并联时的性能结构函数;文献[14]针对静定、静不定结构系统静强度可靠性和疲劳强度可靠性问题,分别定义了相应的性能结构函数。

在UGF复合运算中,系统的状态组合总数为

式中:δ为条件求和算子符;1(gi-w＞0)为示性函数,当gi＞w时等于1,否则为0;w表示划分系统安全、失效二状态的性能临界值。

2 可修元件剩余寿命分析

设元件在某确定载荷历程下的单周期寿命为T,其概率分布函数、概率密度函数分别为F(t)和 f(t).元件临近失效时能在后继检测点被检出并及时更新,实现“修复如新”,更新后的寿命分布与原分布相同。为描述简洁起见,不计维护与更新时间,元件的检测时间间隔为Δt.经变量离散化[13]后得T的发生函数为

式中:UGF系数qj表示元件单周期寿命等于jΔt的概率,j=0,1,…,m,m为最长寿命对应的状态序号。

记元件在tk=kΔt时刻的服役年龄和剩余寿命分别为Xk和Yk,则元件的单周期寿命T=Xk+Yk, k=0,1,2,….

若元件已在(tk-ti,tk)时段可靠服役了 ti年龄,其后还能继续工作y时长,则该元件在tk时刻的剩余寿命等于y,全寿命等于ti+y,相应的概率等于

3 可修系统剩余寿命分析

装备系统的故障通常源自薄弱元件或结构细节(以下简称元件)的失效,形式通常为载荷(压力、速度、温度等)多次、长期作用下的渐变失效,如疲劳、蠕变、磨损等,载荷、强度、宏微观结构的不确定性,都将影响元件与系统寿命的分布特征。对于多数机电装备,疲劳是最常见的失效形式之一,且任一薄弱元件或细节的疲劳失效通常会导致系统发生故障,所以下文以可修串联系统的疲劳失效为研究对象进行阐述。

对于各态历经平稳载荷历程L(t)下的高周服役元件,可忽略载荷样本的过程不确定性,依据针对中位寿命的损伤等效原则,把载荷随机过程当量为元件等效恒幅循环应力,再由恒幅应力与服役寿命之间的非线性经验关系(如应用-循环次数-存活率曲线,即P-S-N曲线)预测元件的寿命分布。工程实践中,通常由元件母体的平均使用情况确定载荷谱,由于母体载荷谱与不同批次、不同环境下各样本群的载荷谱之间存在着一定差异,导致局部样本载荷随机过程的当量幅值具有不确定性[16],可视为随机变量,记作S.由此引出两类元件寿命概率分析方法:1)直接在母体载荷谱下,根据确定的当量应力幅值计算元件寿命;2)在局部载荷谱下,根据随机的当量应力幅值计算元件寿命。对于仅面向母体元件级的元件寿命分析,以上两类方法的计算结果差异不大。

然而,在进行母体系统级寿命分析时,由于安装在同一装备系统中的一批元件共同处于该装备系统局部样本群的载荷环境下,该批元件在服役过程中仅承受局部载荷谱,导致不同装备系统中各元件的安全裕度和寿命分布作群体性同向波动,在母体概率空间中呈现出统计正相关性[17],使母体系统级寿命概率建模复杂化。考虑到元件失效相关性,可尝试3种方法实现母体系统级寿命分析:1)在母体载荷谱下,根据确定的当量应力幅值计算元件寿命,再导出元件寿命之间的积矩相关系数,在多维正态空间中描述并计算系统寿命分布;2)在局部载荷谱下,将随机当量应力幅值S离散化为si,i=1,…, mS,在各离散值si下首先按统计独立分别计算元件及系统的条件寿命分布,再对系统条件寿命分布进行统计平均获得系统寿命分布。该方法基于共因随机量离散化思想,间接处理了失效相关问题[18];3)运用Monte Carlo法,基于随机枚举原理计算系统寿命分布。鉴于方法1的数学处理瓶颈和方法3的计算复杂度,本节将引入UGF,运用方法2实现可修系统剩余寿命建模。

设可修串联系统的薄弱环节由H个元件组成,各元件强度统计独立,任一元件失效系统即失效,更新失效元件后系统可继续工作,则系统在tk时刻的剩余寿命分析步骤如下。

1)根据各元件的S-N曲线和母体中多个局部载荷谱统计信息,运用损伤等效原理构造系统薄弱元件组的当量应力幅值发生函数

式中:指数S(i)=(s1(i),…,sH(i))表示元件组应力水平向量,其分量sh(i)表示元件Ch当量应力幅值的第i个离散值,系数表示相应的概率。

2)根据各元件的P-S-N曲线分别构造各元件在不同应力水平下的条件寿命发生函数

式中:指数Th|i(j)表示元件Ch在应力水平sh(i)下寿命的第j个离散值;系数pTh|i(j)表示相应的概率; mTi表示元件在该应力水平下寿命的状态总数。

3)分别将元件C1,…,CH在各自对应的应力水平s1(i),…,sH(i)下的条件寿命发生函数代入(11)式,运用(12)式求得各元件在应力水平向量S(i)下的服役年龄发生函数,进一步由(13)式、(14)式定义的复合算子,计算各元件在S(i)下剩余寿命Ykh|i的发生函数

4)定义性能结构函数Φ(a,b)=min(a,b),通过(3)式,对剩余寿命,…,的发生函数进行复合运算,得可修串联系统在S(i)下剩余寿命发生函数

5)根据薄弱元件组的当量应力幅值发生函数US(z)的系数信息,对可修系统在S(1)、…、S(mS)下的剩余寿命发生函数进行统计平均,最终求得可修系统在tk时刻的剩余寿命发生函数

以上各步计算中,须及时对发生函数进行同类项或近似项合并,以便动态缩减计算量。

4 数值算例

可修结构系统的薄弱环节由元件C1、C2、C3组成,如图1所示,各元件应力均源自同一共因载荷,元件强度统计独立,任一元件失效系统即发生故障。根据元件S-N曲线,分别在中位寿命处将元件组应力随机过程等效为恒幅应力,幅值在局部样本中近似为常数,在母体中为随机变量,幅值向量S的统计信息如表1第1、2列所示。根据元件P-S-N曲线,在5个不同恒幅应力水平下各元件的条件寿命分布(对数正态分布)如表1第3、4列所示。

图1 可修结构系统Fig.1 Repairable structural system

表1 数值算例已知信息Tab.1 The given information on the numerical example

2)根据表1中第3、4列提供的寿命对数均值和对数标准差数据,分别构造各元件在5个应力水平下的条件寿命发生函数UTh|i(z),h=1,2,3;i= 1,2,3,4,5.

3)分别将各元件在5个应力水平下的条件寿命发生函数代入(11)式,运用(12)式求得各元件在5个应力水平下的服役年龄发生函数,进一步运用(13)式、(14)式计算各元件在不同等效恒幅应力水平下的剩余寿命发生函数,再由连续化方法得到等效的概率密度。其中,应力水平s1(1)下元件C1在t100=100×105次,t200=200×105次,t500=500×105次的剩余寿命概率密度分别如图2、图3、图4所示。为验证分析方法的合理性,图2、图3、图4同时给出了Monte Carlo法(统计模拟20000次)的计算结果,与UGF法分析结果非常接近。

4)根据性能结构函数Φ(a,b)=min(a,b),运用(3)式对各元件剩余寿命发生函数进行复合,求取可修

该系统为串联系统,设定检测时间间隔为105次。以下分析元件与系统任意时刻的剩余寿命。

图2 应力s1(1)下C1在t100时刻剩余寿命概率密度Fig.2 Probability density function(PDF)of residual life of C1under s1(1)at t100

图3 应力s1(1)下C1在t200时刻剩余寿命概率密度Fig.3 Probability density of residual life of C1under s1(1)at t200

图4 应力s1(1)下C1在t500时刻剩余寿命概率密度Fig.4 Probability density of residual life of C1under s1(1)at t500

1)根据表1中第1、2列数据,构造元件组的当量应力幅值发生函数串联系统分别在元件组应力水平向量S(1),…,S(5)下的剩余寿命发生函数。

5)根据表1中第1列数据,对系统在各应力水平下的剩余寿命发生函数进行统计平均,由(19)式计算该系统在t100=100×105次的剩余寿命发生函数,得到相应的概率密度(见图5).

图5 可修系统t100时刻剩余寿命概率密度Fig.5 Probability density of residual life of repairable system at t100

5 结论

1)在可修系统剩余寿命分析中引入UGF法,针对机电装备面向多生命周期设计、制造与服役的典型问题,构造各类UGF并定义相关复合算子,突破传统二阶矩法不能完成的更新过程分析时常出现的非单峰(见图2)、非正态概率密度随机变量多次复合运算的技术瓶颈,实现可修系统剩余寿命概率建模。

2)UGF法基于载荷离散化思想,根据元件组在等效恒幅应力各离散值下的寿命数据构建元件条件寿命发生函数,由自定义复合算子分别计算相应的系统条件剩余寿命发生函数,经统计平均得系统剩余寿命分布,由此建立的系统剩余寿命概率模型反映了各元件因等效恒幅应力不确定引发失效相关的内在机理。

3)UGF法适用于元件寿命为任意分布随机变量的一般场合,克服了传统模型较多依赖概率分布类型的缺陷,减小了概率分布假设导致的主观误差,同时也避免了Monte Carlo方法导致的计算复杂度,可为装备系统剩余寿命精细化分析开辟新途径。

4)UGF法暂未考虑随机载荷历程恒幅当量化对元件寿命分散性造成的影响,有待进一步深入研究和完善。

References)

[1] Grubbström R W.The newsboy problem when customer demand is a compound renewal process[J].European Journal of Operational Research,2010,203(1):134-142.

[2] 徐安,吕振华.汽车更新理论及更新函数的研究[J].汽车工程, 1995,17(5):282-290,315.

XU An,LYU Zhen-hua.The research on vehicle renewal theory and renewal function[J].Automotive Engineering,1995,17(5):282-290, 315.(in Chinese)

[3] Jiang Z H,Shu L H,Benhabib B.Reliability analysis of non-constant-size part populations in design for remanufacture[J].Journal of Mechanical Design,2000,122(2):172-178.

[4] 岳文辉,刘德顺,陈安华,等.面向维护的机电设备系统多分布可靠性建模与数值计算[J].中国机械工程,2008,19(13):1513-1517.

YUE Wen-hui,LIU De-shun,CHEN An-hua,et al.Modeling and numerical calculation of multi-distribution reliability of mechanical and system undergoing maintenance[J].China Mechanical Engineering, 2008,19(13):1513-1517.(in Chinese)

[5] Kallen M J.Modelling imperfect maintenance and the reliability of complex systems using superposed renewal processes[J].Reliability Engineering&System Safety,2011,96(6):636-641.

[6] Rausand M.Reliability centered maintenance[J].Reliability Engineering and System Safety,1998,60(2):121-132.

[7] Bae C,Koo T,Son Y,et al.A study on reliability centered maintenance planning of a standard electric motor unit subsystem using computational techniques[J].Journal of Mechanical Science and Technology,2009,23(4):1157-1168.

[8] Beaurepaire P,Valdebenito M A,Schuëller G I,et al.Reliabilitybased optimization of maintenance scheduling of mechanical components under fatigue[J].Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering,2012,221:24-40.

[9] Ushakov I A.Optimal standby problems and a universal generating function[J].Soviet Journal of Computer and Systems Sciences,1987, 25(4):79-82.

[10] Lisnianski A,Levitin G.Multi-state system reliability[M].New Jersey/London/Singapore:World Scientific,2003.

[11] Levitin G.A universal generating function approach for the analysis of multi-state systems with dependent elements[J].Reliability Engineering&System Safety,2004,84(3):285-292.

[12] Lisnianski A.Extended block diagram method for a multi-state system reliability assessment[J].Reliability Engineering&System Safety,2007,92(12):1601-1607.

[13] Zhou J Y,Xie L Y.Common cause failure mechanism and risk probability quantitative estimation of multi-state systems[J].Chinese Journal of Mechanical Engineering,2008,44(10):77-81.

[14] Zhou J Y,Xie L Y.Generating function approach to reliability analysis of structural systems[J].Science in China Series E:Technological Sciences,2009,52(10):2849-2858.

[15] Li Y F,Zio E.A multi-state model for the reliability assessment of a distributed generation system via universal generating function[J]. Reliability Engineering&System Safety,2012,106:28-36.

[16] 谢里阳.扩展式可靠性建模方法与四元统计模型[J].中国机械工程,2009,20(24):2969-2973.

XIE Li-yang.Deployment-style reliability modeling approach and a four-parameter statistics model[J].China Mechanical Engineering, 2009,20(24):2969-2973.(in Chinese)

[17] 周金宇,谢里阳,钱文学.载荷相关结构系统的可靠性分析[J].机械工程学报,2008,44(5):45-50.

ZHOU Jin-yu,XIE Li-yang,QIAN Wen-xue.Analysis for reliability in structural systems with load dependency[J].Chinese Journal of Mechanical Engineering,2008,44(5):45-50.(in Chinese)

[18] Xie L,Zhou J,Hao C.System-level load-strength interference based reliability modeling of k-out-of-n system[J].Reliability Engineering and System Safety,2004,84(3):311-317.

Residual Life Analysis of Repairable Systems Based on Universal Generating Function Approach

ZHOU Jin-yu1,XIE Li-yang2,HAN Wen-qin1,ZHU Fu-xian1
(1.Hi-tech Key Laboratory of Equipment Remanufacture,Jiangsu University of Technology,Changzhou 213001,Jiangsu,China; 2.School of Mechanical Engineering and Automation,Northeastern University,Shenyang 110004,Liaoning,China)

The residual life of systems is an important analysis index for multi-lifecycle-based design, manufacture and service of mechanical and electrical equipment.Based on the renewal process theory,a practical method for residual life probability analysis of components and the whole system in a finite time interval is put forward by means of the universal generating function(UGF).For systems undergoing stationary stochastic load process with global uncertainty,the conditional life UGFs of components are constructed according to failure data under all constant-amplitude stress levels,and the corresponding conditional residual life UGFs of the whole system can be figured out by using self-defined composition operators of UGFs.Statistical average of UGFs is employed to obtain the residual life distribution of the repairable system.When the composition operators are executed,the computational costs can be reduced by a big margin by means of collecting like terms.The new model is suitable for random variables with arbitrary distributions and embodies the failure dependence attributed to the uncertainty of equivalent stress amplitude of each component.

TH122;TB114.3

A

1000-1093(2014)07-1103-07

10.3969/j.issn.1000-1093.2014.07.026

2013-09-27

国家自然科学基金项目(51275221);国家科技重大专项(2012ZX04007-011)

周金宇(1973—),男,教授,硕士生导师。E-mail:yuhangyuan888@sina.com