有趣的填数游戏

于晓磐

做数学题时，经常会碰到在某图形中填写数字的题型，这样的题如果不掌握填数的方法，光靠碰数是不行的，那样不仅浪费时间，还容易算错。填数时，要仔细观察图形，确定图形中关键的位置应填什么数字，原则上应首先考量图形的顶点及中间位置。另外，要将所填的空与所提供的数字联系起来，从而确定关键位置应填的数字。关键位置的数确定好了，其他位置就迎刃而解了。下面通过几个实例来介绍一下解题规律。

例1. 把1～8填入下图○内，使每边上3个数的和最大，并求出最大的和是多少？

【解题分析】

这道填数题的图形相对比较简单，要使每边上3个数之和最大，容易想到把8、7、6、5填在四角，因为4个角上的数在求和时各用了2次，其他数各用了1次。由此可以列出求和的算式为：

[（8+7+6+5）×2+4+3+2+1]÷4=62÷4

和不是整数，说明四条边上的总和要减少2才行，这只要将填在角上的5换成3即可。所以，最大的和为：（62-2）÷4=15。

例2. 把9个数1、2、3……9填进图1中的各个圆圈，使下图中7个等腰三角形顶点上3个数的和都相等。

【解题分析】

在填数之前，先看看图中有哪七个等腰三角形？

首先从图中看到4个小三角形，其中有3个分别在图形的左上部、右上部和下部，另一个在图形的中间。然后看到3个大三角形，它们各有一边在图形的六角形边界上，这一边所对的顶点在六角形的内部。

图形外围的6个圆圈，各属于一个小三角形和一个大三角形；图形中间的3个圆圈，每一个都同时属于两个小三角形和一个大三角形。

先考虑角上的3个小三角形，它们各据一方，互不干扰。其中每个小三角形顶点上的3个数编成一组。要能解答这个填数问题，先要把1、2、3……9分成3个一组，使各组的和相等。这恰好就是刚刚做过的“均匀搭配”的问题，它的答案是：

9+4+2=8+6+1=7+5+3，

9+5+1=8+4+3=7+6+2。

由此可见，9、8、7这3个数，每一个都只能属于2个不同的等腰三角形，并且每两个都不能填写在同一个等腰三角形的顶点上。因而9、8、7必须相间排列在图形的六角形边界上，如左图。

例3. 把1、3、5……31这16个单数填入图中的小三角形内，使6个大三角形内的4个数之和都等于64。该怎么填？

【解题分析】

本题要填的数字比较多，似乎很难理出头绪，但是分析一下题干发现，从1、3、5……31这些数中不难可以看出：1与31、3与29……15与17的和都是32。不妨用图来表示：

每个大三角形又都有4个小三角形，因此可以选两组和是32的数，4个数的和正好就是64。可以从中间开始，先选15、17，再选两头的两个数1、31。这4个数填在一个大三角形里，正好满足要求。

为了简便，填的时候可从左至右，首先填在左边第一个大三角形，它是正着放的，再填左边第二个倒放的三角形。就这样一正一反，使所有三角形都按要求填一个数字。如左面这种填法。

练习题

1. 将1～10这十个数字分别填入下图的小圆圈中，使每条线上四个数的和是21，每个三角形顶点上三个数的和都等于17。

2. 把1～10这十个数填入下图中，使每个正方形顶点圆圈内四个数之和都相等，而且最大。这个和是多少？

3. 把2、3、4、6、7、10、11填入下图空白圆圈内，使每个大圆上的四个小圆圈内的数字之和都是24。

做数学题时，经常会碰到在某图形中填写数字的题型，这样的题如果不掌握填数的方法，光靠碰数是不行的，那样不仅浪费时间，还容易算错。填数时，要仔细观察图形，确定图形中关键的位置应填什么数字，原则上应首先考量图形的顶点及中间位置。另外，要将所填的空与所提供的数字联系起来，从而确定关键位置应填的数字。关键位置的数确定好了，其他位置就迎刃而解了。下面通过几个实例来介绍一下解题规律。

例1. 把1～8填入下图○内，使每边上3个数的和最大，并求出最大的和是多少？

【解题分析】

这道填数题的图形相对比较简单，要使每边上3个数之和最大，容易想到把8、7、6、5填在四角，因为4个角上的数在求和时各用了2次，其他数各用了1次。由此可以列出求和的算式为：

[（8+7+6+5）×2+4+3+2+1]÷4=62÷4

和不是整数，说明四条边上的总和要减少2才行，这只要将填在角上的5换成3即可。所以，最大的和为：（62-2）÷4=15。

例2. 把9个数1、2、3……9填进图1中的各个圆圈，使下图中7个等腰三角形顶点上3个数的和都相等。

【解题分析】

在填数之前，先看看图中有哪七个等腰三角形？

首先从图中看到4个小三角形，其中有3个分别在图形的左上部、右上部和下部，另一个在图形的中间。然后看到3个大三角形，它们各有一边在图形的六角形边界上，这一边所对的顶点在六角形的内部。

图形外围的6个圆圈，各属于一个小三角形和一个大三角形；图形中间的3个圆圈，每一个都同时属于两个小三角形和一个大三角形。

先考虑角上的3个小三角形，它们各据一方，互不干扰。其中每个小三角形顶点上的3个数编成一组。要能解答这个填数问题，先要把1、2、3……9分成3个一组，使各组的和相等。这恰好就是刚刚做过的“均匀搭配”的问题，它的答案是：

9+4+2=8+6+1=7+5+3，

9+5+1=8+4+3=7+6+2。

由此可见，9、8、7这3个数，每一个都只能属于2个不同的等腰三角形，并且每两个都不能填写在同一个等腰三角形的顶点上。因而9、8、7必须相间排列在图形的六角形边界上，如左图。

例3. 把1、3、5……31这16个单数填入图中的小三角形内，使6个大三角形内的4个数之和都等于64。该怎么填？

【解题分析】

本题要填的数字比较多，似乎很难理出头绪，但是分析一下题干发现，从1、3、5……31这些数中不难可以看出：1与31、3与29……15与17的和都是32。不妨用图来表示：

每个大三角形又都有4个小三角形，因此可以选两组和是32的数，4个数的和正好就是64。可以从中间开始，先选15、17，再选两头的两个数1、31。这4个数填在一个大三角形里，正好满足要求。

为了简便，填的时候可从左至右，首先填在左边第一个大三角形，它是正着放的，再填左边第二个倒放的三角形。就这样一正一反，使所有三角形都按要求填一个数字。如左面这种填法。

练习题

1. 将1～10这十个数字分别填入下图的小圆圈中，使每条线上四个数的和是21，每个三角形顶点上三个数的和都等于17。

2. 把1～10这十个数填入下图中，使每个正方形顶点圆圈内四个数之和都相等，而且最大。这个和是多少？

3. 把2、3、4、6、7、10、11填入下图空白圆圈内，使每个大圆上的四个小圆圈内的数字之和都是24。

做数学题时，经常会碰到在某图形中填写数字的题型，这样的题如果不掌握填数的方法，光靠碰数是不行的，那样不仅浪费时间，还容易算错。填数时，要仔细观察图形，确定图形中关键的位置应填什么数字，原则上应首先考量图形的顶点及中间位置。另外，要将所填的空与所提供的数字联系起来，从而确定关键位置应填的数字。关键位置的数确定好了，其他位置就迎刃而解了。下面通过几个实例来介绍一下解题规律。

例1. 把1～8填入下图○内，使每边上3个数的和最大，并求出最大的和是多少？

【解题分析】

这道填数题的图形相对比较简单，要使每边上3个数之和最大，容易想到把8、7、6、5填在四角，因为4个角上的数在求和时各用了2次，其他数各用了1次。由此可以列出求和的算式为：

[（8+7+6+5）×2+4+3+2+1]÷4=62÷4

和不是整数，说明四条边上的总和要减少2才行，这只要将填在角上的5换成3即可。所以，最大的和为：（62-2）÷4=15。

例2. 把9个数1、2、3……9填进图1中的各个圆圈，使下图中7个等腰三角形顶点上3个数的和都相等。

【解题分析】

在填数之前，先看看图中有哪七个等腰三角形？

首先从图中看到4个小三角形，其中有3个分别在图形的左上部、右上部和下部，另一个在图形的中间。然后看到3个大三角形，它们各有一边在图形的六角形边界上，这一边所对的顶点在六角形的内部。

图形外围的6个圆圈，各属于一个小三角形和一个大三角形；图形中间的3个圆圈，每一个都同时属于两个小三角形和一个大三角形。

先考虑角上的3个小三角形，它们各据一方，互不干扰。其中每个小三角形顶点上的3个数编成一组。要能解答这个填数问题，先要把1、2、3……9分成3个一组，使各组的和相等。这恰好就是刚刚做过的“均匀搭配”的问题，它的答案是：

9+4+2=8+6+1=7+5+3，

9+5+1=8+4+3=7+6+2。

由此可见，9、8、7这3个数，每一个都只能属于2个不同的等腰三角形，并且每两个都不能填写在同一个等腰三角形的顶点上。因而9、8、7必须相间排列在图形的六角形边界上，如左图。

例3. 把1、3、5……31这16个单数填入图中的小三角形内，使6个大三角形内的4个数之和都等于64。该怎么填？

【解题分析】

本题要填的数字比较多，似乎很难理出头绪，但是分析一下题干发现，从1、3、5……31这些数中不难可以看出：1与31、3与29……15与17的和都是32。不妨用图来表示：

每个大三角形又都有4个小三角形，因此可以选两组和是32的数，4个数的和正好就是64。可以从中间开始，先选15、17，再选两头的两个数1、31。这4个数填在一个大三角形里，正好满足要求。

为了简便，填的时候可从左至右，首先填在左边第一个大三角形，它是正着放的，再填左边第二个倒放的三角形。就这样一正一反，使所有三角形都按要求填一个数字。如左面这种填法。

练习题

1. 将1～10这十个数字分别填入下图的小圆圈中，使每条线上四个数的和是21，每个三角形顶点上三个数的和都等于17。

2. 把1～10这十个数填入下图中，使每个正方形顶点圆圈内四个数之和都相等，而且最大。这个和是多少？

3. 把2、3、4、6、7、10、11填入下图空白圆圈内，使每个大圆上的四个小圆圈内的数字之和都是24。