基于混沌振子和EEMD的周期信号检测方法*

余发军，周凤星

(1.中原工学院信息商务学院 信息工程系,河南 郑州,450001;2.武汉科技大学 冶金自动化与检测技术教育部工程研究中心,湖北 武汉430081)

工程中的信号一般较微弱，很容易被噪声污染，如何有效地进行检测是信号处理领域的首要问题。混沌振子是产生混沌现象的一种非线性系统，许多文献已经证实它对周期信号具有较强敏感性并对噪声具有一定免疫性[1-2]，现已被广泛应用到工程中微弱周期信号检测领域，如生物医学信号检测、军事雷电信号探测、地震信号远程检测、工业机械故障诊断等。然而，混沌振子用于周期信号的检测还存在需进一步完善的问题，如噪声对相变的影响程度什么情况下可以忽略；初值和相位差影响的问题等。

本文通过实验观察噪声对输出量的影响，阐述了噪声对混沌振子检测信号影响程度的大小，提出了基于集合经验模式分解(EEMD)的降噪方法；针对相位差影响问题，通过理论计算检测相位角范围，得出正反导入法最简单的解决方法，最后通过对仿真信号检测，给出混沌振子结合EEMD降噪对信号进行检测的方法和步骤，并验证了方法的有效性。

1 混沌振子检测周期信号的原理

构造Holmes型混沌振子方程[3]：

其中k为阻尼系数;-x+x3为非线性恢复力，由双稳系统S(x)=-0.5x2+0.25x4求导得到;Fcos(t)为周期策动力。双稳系统S(x)具有两个势阱点x=±1和一个势垒点x=0，因此式(1)可以理解为：一个质量为1 kg的粒子，在周期策动力Fcos(t)和阻尼力kx˙作用下运动在双稳系统S(x)中，解值x(t)就代表该粒子不同时刻的位置。

由于非线性项的存在，Holmes型混沌振子方程表现出丰富的动力学特性。相轨迹随F有规律地发生相变，使得混沌振子方程检测周期信号成为可能。设置F为相变临界值，将待测信号加载到式(1)右边，若加载前后发生相变，据此判断待测信号含有与周期策动力同频的分量，达到检测周期信号的目的。

2 噪声对检测的影响

根据噪声对输出量的影响机理，考察混沌振子方程在加白噪声前后的变化，加噪前对应的状态方程为：

其中ΔX(t0)表示加噪前后系统初始值的差，在实际中初始值取值相同，所以 ΔX(t0)=0，故式(3)可简化为：

[4]可知，白噪声的自相关函数与方差和计算步长成正比，即：Rn(τ)=σ2h×δτ ，所以式(4)最终可以表示为：

由式(5)可以得出结论：噪声引起的混沌系统输出的改变量方差与噪声方差和计算步长成正比。当噪声强度或计算步长太大时，会对系统的输出和相图产生一定的影响，所以需要先对含强噪声的信号进行降噪，再用混沌振子方程进行检测。

3 基于EEMD的信号降噪方法

EEMD是由Huang等人于2008年提出的一种处理平稳及非平稳信号的新方法，它将信号分解为多个固有模式函数分量IMF(Intrinsic Mode Function)，这些IMF的频率由高到低依次分布，具有很强的频率选层性能，是一种完全自适应的分解方法，并且能克服模式混叠现象、端点效应等问题[5]。关于EEMD的分解原理及步骤，参考文献[4]给出了详细的阐述，这里不再说明。

用EEMD实现降噪的步骤[6-7]如下：

(1)对含噪信号 x(t)进行EEMD分解，得到 M个IMF分量。

(3)求取 ρj(t1,t2)在零点附近区间的能量集中比ηj(Δn)，并计算对应Pj(j=1…M)，其中：

取 P1=η1(Δn)。

(4)判断 Pj(j=1…M)≥1是否成立，若成立，则噪声分量的分界点K=j。

(5)对前 K=1个IMF进行软阈值[8]处理得到IMF′，其中:

取 μ=0.5，tj=σj2lnN ，σj为第 j 个IMF的标准差。

(6)重构信号 x′(t)如 下式：

4 混沌振子结合EEMD降噪的检测方法

考虑混沌振子方程ω≠1的情况：

4.1 确定检测方程的计算步长和相变阈值

用式(6)检测ω≠1的周期信号，首先要确定相轨迹由混沌态变为大尺度周期态的阈值。大量仿真实验表明，随着角频率ω的改变，需要调整计算步长和周期策动力的幅值F，才能使相轨迹处于混沌的临界态，数据如表1所示。由此可以初步确定已知频率处的相变阈值和计算步长。

表1 不同角频率下的步长及相变阈值

4.2 用正反导入法克服相位差的影响

假设待测信号含有角频率为 ω、幅度为 f、相位为φ的周期成 分，振子方程右边变 成：Fcos(ωt)+fcos(ωt+φ)。调整幅值F为发生相变的阈值F0，则发生相变时，必满足得到相位差 φ的检测范围[9]：这就意味着,相位差φ只有在此区间内才能检测出来。在此区间外，即使待测信号中存在与周期策动力同频的周期成分也检测不出来，造成漏检。

采用简单的正反导入法可以避免相位差造成的漏检。因为待测信号取反后，振子方程右边变为Fcos(ωt)-fcos(ωt+φ)，发生相变时，满足得到相位差φ的检测范围：

由于式(7)、式(8)检测范围角的并集覆盖了整个0～2π,所以正反导入法能有效避免相位差造成的漏检。

5 检测实例

5.1 仿真信号的检测

假设待测信号 x(t)=0.3cos(t)+n(t)，其中 n(t)是均值为0、标准差为0.3的高斯白噪声，将其导入到混沌振子式 (1)的 右 边 进 行 检 测 (令 F=0.527，k=0.5，x(0)=x˙(0)=0)，取计算步长 h=0.04 s，采用四阶 Runge-Kutta法求解，得到其相轨迹如图1所示。由此看出，混沌振子的相图没有进入大尺度周期状态，这是由于较强噪声的存在破坏了原本稳定的大尺度周期状态。

图1 降噪前的检测相轨迹

用EEMD方法对x(t)进行降噪处理，得到降噪后的信号，如图2所示。x(t)经EEMD降噪处理后，噪声大大减小，验证了EEMD降噪方法的有效性。

图2 降噪后信号及其频谱

将降噪后的信号再次导入到混沌振子式(1)的右边，得到其输出信号波形和相轨迹如图3所示。由此看出，先用EEMD抑制强噪声，再用混沌振子检测能有效克服噪声的影响。

5.2 故障轴承振动信号的检测

用混沌振子检测某故障轴承的振动信号。已知故障轴承型号为N205EM，外径为52 mm、内径为25 mm、滚动体数12、滚动体直径为7.5 mm、接触角为 0°。将该轴承放在旋转机械振动故障试验平台上做测试，设置转速为600 r/min，采样频率为20 kHz，采集其振动信号时域波形如图4所示。由图看出此轴承的振动信号含有较强的噪声,对其用EEMD方法进行降噪处理，降噪后波形如图5所示。

图3 降噪后的检测相轨迹

图4 降噪前故障轴承振动信号

图5 用EEMD降噪后故障轴承信号

表2 三个检测方程的参数

理论上可以计算出该故障轴承的各特征频率[10]。建立三个混沌检测方程，设置对应的频率值，调整对应的相变阈值和计算步长，使其相轨迹处于混沌态与大尺度周期态的临界，对应的数据如表2所示。将降噪后的故障轴承信号导入到三个检测方程中，ω=303.54的检测结果如图6所示。可以看出，此时混沌振子的相轨迹进入大尺度周期状态，而其余的相轨迹仍处于混沌状态，由此可以判断轴承的振动信号含有频率为48.31 Hz的周期成分，进而判断轴承外环故障，这与轴承的实际故障情况一致。

图6 用303.54 rad/s频率检测时相轨迹

通过实验观察说明混沌振子对噪声的免疫力是相对的，理论推导出噪声对输出的影响量噪声方差和计算步长成正比。因此用混沌振子检测信号时，不能忽视强噪声对检测结果的影响。

提出了基于EEMD的信号降噪方法，将其与混沌振子结合起来检测周期信号，并采用正反导入法克服相位差对检测的影响。对仿真信号和故障轴承振动的检测效果验证了该方法的有效性。

参考文献

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