姜锐军
导数的主要作用是研究函数的单调性,利用导数可以判断函数的单调性,求函数的单调区间,求函数的极值,最值以及解决恒成立问题中参数的范围问题。下面通过一道常见的习题及其变形来探究导数的应用。
引例已知定义在R上的函数f(x)=x2-3x-m。讨论函数f(x)的单调性,并求出其单调区间和极值。
解由f ′(x)=3x2-3=0 得x=±1,解F′(x)>0得x<-1或x>1,解F′(x)<0得-1 如下表所示 x1(-∞,-1)1-11(-1,1)111(1,+∞) y′1 + 101 ―1 01 + y1↗1极大值1↘1极小值1↗ 所以f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上为增函数,在(-1,1)上为减函数。单调递增区间为(-∞,-1)和(1,+∞),单调递减区间为(-1,1)。所以f(x)最大值=f(-1)=2-m,f(x)最小极=f(1)= -2-m。 变式一(1)若方程x3-3x-m=0恰有两个零点,求实数m的取值范围。(2)若方程x3-3x-m=0恰有三个零点,求实数m的取值范围。(3)若方程x3-3x-m=0恰有一个零点,求实数m的取值范围。 分析首先要搞清楚函数f(x)=x3-3x-m的图象的大致形状,再由零点的个数确定图象与x轴的位置关系,从而得到m的范围。 解法一(1)由引例可知,f(x)的图象的大致形状如下图(1) 若方程恰有两个零点,即图象与x轴恰有两个交点,则x轴恰过其中的一个极值点,如图(2),所以f(-1)=0或f(1)=0,解得m=±2,所以m的取值为m=-2或m=2。 (2) 若方程恰有三个零点,则两极值点必在x轴的两侧,所以f(-1)>0, f(1)<0,解得-2 (3)若方程恰有一个零点,两极值点必在x轴的同一侧,所以f(-1)<0或f(1)>0,解得m<-2或m>2,所以m的取值范围为(-∞,-2)∪(2,+∞)。 解法二可以转化为讨论方程x3-3x=m 的解的个数,即讨论曲线y=x3-3x与y=m的交点情况,利用数形结合的方法去解。但仍然要讨论函数y=x3-3x的单调性和极值以及极值点与直线y=m的位置关系,同解法一。 变式二已知定义在R上的函数f(x)=x3-3x-m,当m=1时,求函数f(x)在[-2 , 2]上的最大值和最小值。 分析因为两极值点在定义域区间[-2 , 2]内,故先要求出函数的极值和区间端点的函数值,再加以比较确定最值。 解当m=1时,由引例得,f(x)极大值=f(-1)=2-m=1,f(x)极小值=f(1)= -2-m=-3,f(-2)=-3×(-2)3-m=-2-m=-3,f(2)=23-3×2-m=2-m=1,所以函数f(x)最大值=3,f(x)最小值=-3。 变式三已知定义在R上的函数f(x)=x3-3x-m,若f(x)≥0或f(x)≤0在[-2 , 2]上恒成立,求实数m的取值范围。 分析可直接转化为函数的最值问题,也可以先分离参数,再转化为新的不含参数的函数的最值问题求解。 解法一若f(x)≥0恒成立,则f(x)最小值≥0,由变式二可得,f(x)最小值=f(-2)=-2-m≥0,解得m≤-2;若f(x)≤0恒成立,则f(x)最大值≤0,即f(x)最大值=f(2) =2-m≤0,解得m≥2。 解法二f(x)≥0恒成立,即x3-3x≥m恒成立,令g(x)=x3-3x, 则m≤g(x)最小值,f(x)≤0恒成立,即x3-3x≤m恒成立,则m≥g(x)最小值,而求函数g(x)的最值和求f(x)的最值解法完全一样,略。 式,对零点不是点也就很好理解了。通过类似的扩展训练,学生不仅能开拓思路、发散思维,还能将所学到的知识真正运用起来。 (五)优化教学模式,变直接概念灌输为侧面迂回的间接揭示 在进行数学概念教学时,可以不直接进行概念的灌输,而是从侧面来引导概念的学习,通过反例来帮助学生了解这一系列概念。例如,在椭圆概念学习的时候,学生常常记为:到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹,这个概念记起来容易,但是真正运用起来却不是那么简单。教师在教学时就可以设计以下的问题链,来引导学生学习:1。若平面内的动点P到两定点(-4,0),(4,0)的距离之和为6,那么P的运动轨迹是什么?2。若P到两定点的距离之和是8的话,那么P的运动轨迹是什么?3。P到两定点的距离之和是10的时候,P的运动轨迹又有什么样的表现?通过让学生们绘制图形可以很容易发现(1)2a<2c,轨迹不存在;(2)2a=2c,轨迹为一条线段;(3)2a>2c,轨迹为椭圆,也就加深了学生对椭圆概念中“a>c”这一附加条件的理解。学生只有真正了解概念的本质,才能正确运用概念,才能真正达到数学概念教学的目的。 “纸上学来终觉浅,绝知此事要躬行。”高中数学概念教学存在诸多亟待解决的问题。这就需要我们数学教育工作者潜心研究教学对象特点,努力运用更加科学、合理的教学方法,积极参与新课改并适时更新我们的教学模式,从而能够真正引导学生更好地进行数学概念的学习,帮助他们建立更加完善的数学思维方式,以促进他们的学习能力得到快速、全面的提升。