例谈超级画板在中学数学教学中的应用*

◆侯小华 宫凡玉

作者：侯小华，鲁东大学数学与统计科学学院讲师，研究方向为数学教育信息技术与教师教育；宫凡玉，鲁东大学数学与统计科学学院全日制教育硕士（264025）。

数学具有的抽象性特点决定了学生在数学学习中要面对更多的理解和认知困难。将信息技术应用于数学教学则有可能在一定程度上降低这种困难。这种可能性的实现取决于教师所选择的信息技术种类。虽然美国2005—2007年的一项调查研究得出“信息技术无助于提高学生的学习成绩”的结论[1]，但是之所以会有这种结论，很有可能是在信息技术工具的选择和应用上出现偏差，尤其是没有深入考虑数学学科的特殊性。超级画板作为一款我国自主开发设计的动态几何软件，具有许多“各行各业都能用的普适信息技术”和“各学科都能用的普适教育技术”所缺少的数学学科性。

本文以超级画板为例，通过几个例子，谈一下服务学科教学的信息技术在中学数学教学中的应用价值。

1 提供直观感知，优化知识形成

要化解数学学习抽象性所造成的学习困难，将抽象内容直观化无疑是一个好的方法。数学的思想方法都是经过数学家的归纳概括抽象而成，教材中呈现的都是最终的结果，体现的是一种“冰冷的美丽”。数学教师的教学所要做的就应该是创造条件，让学生再次经历知识（包含数学的思想和方法）的形成，以此促成学生学习过程中的“火热的思考”。

如在教学全等三角形时，通常教师是首先给出一些图片让学生观察，引导学生发现如果将它们叠在一起它们就能重合，从而得出结论：两个能够完全重合的图形称为全等图形。以上教学设计的实施并没有对学生理解全等图形的概念有不利的影响，但学生失去一个了解图形能够重合的变化过程，即缺少了过程性体验，也不利于后续形成有效的“数学化”。

图1

如图1 所示，使用超级画板软件制作的课件可以“化静为动”，通过对“平移”“旋转”“折叠”等变换过程的观察，学生“看”到两个图形能够重合。这里通过让图形自己说话，让学生通过自己的观察、讨论、总结来得到结论，往往要比观察静止图片的效果更好。此外，通过超级画板软件的直观演示，有利于学生深入理解全等图形的本质特征，并为今后学习全等图形的证明打下良好基础。

教师应该在全等三角形的教学中有意识地渗透“对应”的思想。而“对应”是一个比较抽象的概念，学生往往难以一步到位地完全理解和掌握。这种情况下，教师就可以充分发挥信息技术的优势，制作课件帮助学生理解这一概念。图2 是为介绍“对应”而设计的一个课件片段。教师点击动画按钮就可以使绿色的三角形慢慢移动到蓝色三角形的位置，从而在动态演示中帮助学生认识什么是“对应”。除了动画演示外，还可以通过拖动变量尺的滑条慢慢呈现变化过程，有意识地提示学生分别从边、角等方面进行观察总结，进而思考得到结论。以此体现新课程所倡导的让学生经历过程性体验的理念和要求。

再比如，初一的学生在遇到判断“前面带负号的数一定是负数吗”这个问题时，由于在小学阶段遇到的主要是具体的数，而到了初中开始出现用字母表示数，过去的学习经验和思维水平的局限导致部分学生在判断时出错。为了化解这个学习的难点，数学教师可以使用超级画板制作“-a 一定是负数吗”的课件，如图3 所示。首先测量出数轴上的任意一点a 的横坐标，修改测量文本的显示为红色的“a= ”，然后作出数轴上与这个点关于原点对称的点-a并测量其横坐标，再修改测量文本显示绿色的为“-a= ”。当拖动红色的点a 不断改变其值时，会发现a 与-a 的关系，从而让学生理解了“-”的意义，也让他们了解到a 代表的数可能是正数、负数、零，应该分类考虑[2]。

图2

图3

中学数学教学中要特别重视数学思想方法的教学，而且数学思想方法的教学应该体现在每一堂课和每一个数学问题的研究解决中。在解决上面“前面带负号的数是负数”问题时就体现了分类讨论的思想。但是，学生对这一思想的认识可能需要不断地深化。因此，课后还可将问题进行延伸，让学生自主探索a 与1/a、a 与2a 之间的大小关系。这样既巩固了知识和思想方法的掌握，又培养了学生的问题探究意识和能力。

中学数学里有些内容在过去是说不清的，如一张纸对折30 次后有多厚？这个问题很多时候被用来让学生受到震撼，以此说明经验的局限性。但230具体有多大，许多人并不了解。实际上这个问题属于数学的指数增长问题，它的很重要的一个意义在于帮助学生理解指数的爆炸性增长。没有计算机工具，人们可以用估算的方式得到近似数，但是使用超级画板，中学数学中面对的一切计算问题就都不再是问题了。与此问题相关的是比较31000和10003的大小。图4 所示是在超级画板中分别计算的31000和10003的结果。运算结果的呈现，学生可以立马从观察结果上领会“爆炸性”的意义，谁大谁小也显而易见。

图4

2 显示变化，消除疑惑

现实中，不仅是学生，一些中学数学教师也对数学中的一些问题心存疑惑。这些问题的形成有的与教材的编写有关，如中学数学教材中有许多规定，弄清这些规定的合理性并不是简单的事情。另一方面，有些问题与数学教学的工具有关。

如初中学习绘制二次函数图像时，为什么在描出五点后用“光滑的曲线”将这些点连接起来？如果利用直线段连接就无法做出二次函数的图形吗？由于二次函数图像是由无穷多个点组成的，而这无穷多个点组成的图像事实上是一条光滑的曲线抛物线，所以在五点作图时要用光滑的曲线连接。这里应该是先有“二次函数的图像是光滑的抛物线”，然后才有“用光滑曲线连接五个点”。传统教室里，教师用黑板、粉笔授课时用光滑曲线连接的合理性正在于此，而不是一个必须的规定。

图5

其实只要描点足够多，即使用直线段连接仍然可以做出二次函数的比较准确的图像。图5、图6 所示课件可用来说明“用光滑曲线连接”的合理性和正确性。图5 是在（-3，3）区间上描9 个点后用直线段连接这些点作出的y=x2图像，图6 则是（-3，3）区间上描100 个点后用直线段连接这些点作出的y=x2图像。从两个图像中一方面可以看出描点数的多少对函数图像准确性的影响，另一方面也可以看到哪怕是点之间用直线段连接，只要描点足够多，一样可以做出“准确”的二次函数图像，从而帮助学生加深对“函数图像实际上是点的集合”的认识。

图6

3 模拟实验，深化理解

概率是典型的源于生活和经验的科学，它有利于培养学生的随机意识，帮助学生理解偶然性和必然性的关系。中学数学教材中列举了转盘和蒲丰投针实验。这些内容紧密联系生活情境，无论是对于激发学生的数学学习兴趣，还是帮助他们加深对概率的认识，都有帮助。利用信息技术制作课件模拟这些实验，不仅可以将需要反复操作的实验简单化，而且能够多次重复。通过增加实验重复次数还能使实验结果更趋稳定和准确。

利用超级画板来模拟概率实验具有方便灵活的优点。比如在转盘实验的课件中（图7），除了在实验时可以让指针随机停止以外，还可以通过修改相关参数来调整指针转动的速度，而常规情况下用硬纸板制成的教具很难实现这个效果。通过建立动画和统计表格的关联，超级画板在实验的过程中还能够自动记录下实验的相关数据。如图8 是超级画板资源库中的投针试验课件，通过这个课件可以找到π 的近似值。

图7

图8

通过上面超级画板在初中数学教学中的几个应用案例，不难发现合理使用信息技术可以有效地提高教学效率，激发学生数学学习的兴趣，化解数学学习中的疑惑，促进数学课堂教学方式和学生学习方式的转变。

信息技术与中学数学整合的途径和方法是多样的，其效果也是某些传统教学手段难以比拟的。教师应在发挥传统教学优势的前提下，积极探索信息技术与数学课程的有效整合，以求提高数学教学的效率。

[1]张景中,彭翕成.数学教育技术[M].北京:高等教育出版社,2009.

[2]李传中,左传波.超级画板范例教程[M].北京:科学出版社,2004.