f-semiclean环上的Morita系统环

郭莉琴,邵海琴

(天水师范学院数学与统计学院,甘肃天水 741001)

【数学与应用数学研究】

f-semiclean环上的Morita系统环

郭莉琴,邵海琴

(天水师范学院数学与统计学院,甘肃天水 741001)

对clean环和semiclean环做了推广,给出了f-semiclean环的概念.讨论了f-semiclean环上的Morita系统环和三角矩阵环的f-semiclean性质.

满元素;f-semiclean环;Morita系统环;三角矩阵环

文中除特别声明之外,总假定R是有单位元的环.U(R)和Id(R)分别表示环R的单位群和由R的幂等元构成的集合,T表示Morita系统环.

对clean环的研究起源于模的消去问题,最早是由Nicholson在文献[1]中提出的.从此,clean环就成为环领域中一个比较热门的课题,并逐步成为环论的一个重要研究分支.文献[2]和[3]中给出了clean环的一些例子.文献[4]对clean环做了推广,给出了semiclean环的定义,研究了它的一些性质.文献[5]给出了f-clean环的概念,并给出了一些结果.

受以上文献中结果的启发,本文给出f-semiclean环的定义,并讨论了f-semiclean环上的Morita系统环和三角矩阵环的f-semiclean性质.

定义1[1]称环R的元素r是clean元,是指r=e+u,其中:e∈Id(R),u∈U(R).如果R的每个元素都是clean元,则称R是clean环.

定义2[4]称环R的元素r是semiclean元,是指r=a+u,其中:a是R的周期元(即am=an;m,n∈Z+,且m≠n),u∈U(R).如果R的每个元素都是semiclean元,则称R是semiclean环.

定义3[5]称环R的元素w是满元素,是指存在s,t∈R,使得swt=1.环R的所有满元素做成的集合记为K(R).

定义4[5]称环R的元素r是f-clean元,是指r=e+w,其中:e∈Id(R),w∈K(R).称R是f-clean 环,是指R的每个元素都是f-clean元.

定义5称环R的元素r是f-semiclean元,是指r=a+w,其中:a是R的周期元(即am=an;m,n∈Z+, 且m≠n),w∈K(R).称环R是f-semiclean环,是指R的每个元素都是f-semiclean元.

P.Ara,K.R.Goodearl和E.Pardo在文献[6]中研究了纯有限单环.如果R是非除环的纯有限单环,则对R的每个非零元x,存在s,t∈R,使得sxt=1.对纯有限单环R的元素x来说,要么x=0,要么x∈K(R).因此,纯有限单环是f-semiclean环,但它不是semiclean环.所以f-semiclean环是semiclean环的真推广.

引理1f-semiclean环的同态像是f-semiclean环.

定义6[5]设(A,B,W,V,ψ,φ)表示Morita系统环,其中:A,B是环;BWA,AVB是双模;ψ:VW→A, φ:WV→B是双模同态对子,且满足:

作成环,称为Morita系统环.

下面讨论f-semiclean环上的Morita系统环的性质.

定理2 设R是环,如果矩阵环Mn(R)和Mm(R)都是f-semiclean环,则三角矩阵环Tn+m(R)也是f-semiclean环.

因为Mn(R)和Mm(R)都是f-semiclean环,则存在A11的周期元P1和A22的周期元P2,A11的满元素W1和A22的满元素W2,使得

推论6设R是环,则R是f-semiclean环当且仅当三角矩阵环Tn(R)是f-semiclean环.

[1]Nicholson W K.Lifting idempotents and exchange rings[J].Trans.Amer.Math.Soc,1977,(2):269-278.

[2]Camillo V P,Yu H P.Exchange rings,units and idempotents[J].Comm.Algebra,1994,22(12):4737-4749.

[3]Camillo V P,Khurana D.A characterization of unit regular ring[J].Comm.Algebra,2001,29(5):2293-2295.

[4]Ye Y Q.Semiclean Rings[J].Comm.Algebra,2003,31(11):5609-5625.

[5]Li B J,Feng L G.f-clean rings and rings having many full elements[J].J.Korean Math.Soc,2010,47(2):247-261.

[6]Ara P,Goodearl K R,Pardo E.K0of purely infinite simple regular rings[J].K Theory,2002,26(1):69-100.

【责任编辑 牛怀岗】

Morita Context Ring over f-semiclean Ring

GUO Li-qin,SHAO Hai-qin
(School of Mathematics and Statistics,Tianshui Normal University,Tianshui 741001,China)

In this paper,clean rings and semiclean rings are generalized.The conception of f-semiclean ring is introduced. The properties of Morita context ring and fomal triangular matrix ring over f-semiclean ring are investigated.

full element;f-semiclean ring;Morita context ring;triangular matrix ring

O153.3

A

1009-5128(2014)07-0005-03

2013-11-13

天水师范学院中青年教师科研资助项目:特殊环与半环的分次和导子的研究(TSA1312)

郭莉琴(1977—),女,甘肃天水人,天水师范学院数学与统计学院讲师,理学硕士,主要从事环与代数研究.