混合序列下分位数估计的强相合及其Bahadur 表示

张文婷1,蔡际盼1,李永明

(1.广西师范学院 数学科学学院, 广西 南宁 530023;2.上饶师范学院,江西 上饶 334001)

引言

设{Xn; n≥1)是概率空间(Ω;F;P)上的随机变量序列, 具有相同的分布函数F(x)=P(X≤x).对于p∈(0，1),定义ζp=inf{x:F(x)≥p}为F(x)的p阶分位数, 记为F-1(p),其中函数F-1(t)(0

定义记Fu=σ(Xi,i∈u⊂N),N为自然数集.L2(Fu)表示所有Fu可测且二阶矩有限的随机变量全体,d(u,v)表示有限子集u和v的距离,令

1 基本假设和结论

下面我们给出一些基本假设:

(A2) F(x) 在ζp的某个邻域Np内可导,密度函数满足0

本文的主要结果如下:

定理1 假设(A1),(A2)成立,log n 表示以2为底的对数,当n→∞时, 有

定理2 满足引理5和定理1的条件,当n→∞时, 有

2 辅助结论

下面我们给出本文所需引理.

引理2[11]设F(x)是右连续的分布函数,则广义逆函数F-1(t), 在0

(1) F-1(F(x))≤x,-∞

引理3[12]令p∈(0,1),ζp,n=Fn-1(p)=inf{x:Fn(x)≥p},假设P(Xi=Xj)=0,i≠j. 那么

证明由于Fn(x) 是非降函数, 可得

=D1+D2.

(3.1)

(3.2)

根据微分中值定理, 有

(3.3)

因此, 由(3.1)-(3.3) 可得

引理得证.

引理6 满足引理5的条件, 当n→∞时, 有

证明根据引理5可得

引理证毕.

3 主要结论的证明

定理1的证明令k≥1, 根据子序列法要证结论成立只需证明

(4.1)

下面我们来证明(4.1)式. 由于

=H1+H2.

(4.2)

根据引理2,引理3,引理4和Markov不等式以及Taylor 公式, 有

(4.3)

(4.4)

因此, 由(4.2)(4.3)(4.4)式可得

故根据Borel-Cantelli 引理可得(4.1) 式成立, 从而该定理得证.

定理2的证明根据引理3, 有

Fn(ζp,n)-p=O(n-1),a.s..

(4.5)

由引理6可得

(4.6)

从而, 根据(4.5)(4.6) 式和定理1以及Taylor 公式可得

其中ηn是介于ζp,n与ζp之间的随机变量. 整理上式可得

定理证明完毕.

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