基于压缩感知的信号重构研究

何国栋，谢小娟，杨凌云，吴 彬，陈卫松

（安徽师范大学物理与电子信息学院，安徽芜湖241000）

0 引言

著名的Nyquist采样定理是信号处理的基础，它指出如果要实现信号的无失真重构，采样信号的频率必须为信号最高频率的2倍以上。但这在现实中是很不方便的，如果信号频率很高，则要求更高的采样频率，而且高采样率也会产生大量的冗余数据，给后期的存储、传输和处理带来沉重的负担。Candès，Tao和Donoho[1-4]等人于2006年提出了压缩感知理论，它建立在矩阵、概率、泛函和最优化等数学知识基础之上，是一种新的信号采集和处理理论。对可稀疏表示的信号以较低的采样率进行压缩采样，降低了采样数据的冗余性，仅获得了较少的观测数据，且可通过重构算法实现信号的精确重构[5-7]。压缩感知新颖之处在于它突破了传统的Nyquist采样定理，目前已经成为研究的热点，研究涉及的领域[8，9]包括图像处理、信号处理、医疗成像和无线通信等。

1 基本理论

压缩感知理论对信号的采样不同于Nyquist采样定理，它主要包括信号的稀疏表示、测量矩阵和信号的重构算法3个部分。信号的稀疏表示是压缩感知的理论基础，是压缩感知实现的前提条件;测量矩阵相当于一个传感器，它对信号进行观测，并得到较少的观测值，实现了信号的压缩采样;重构算法实现欠定方程的稀疏重构，恢复原来的信号。

1.1 信号的稀疏表示

一个信号含有较少的非零值就称为稀疏信号，但实际中的信号多为非稀疏的，如果N×1维信号x在某个N×N维正交基ψ下可以稀疏表示为:x=ψs，其中s只有K个非零值，其余N-K个值为0或近似为0，其中K＜＜N，则称信号是K-稀疏信号或可以稀疏表示的，正交基满足:ψTψ=ψψT=I，也称为稀疏字典。稀疏表示是压缩感知的基础，在压缩感知中使用的变换基有离散余弦变换基、快速傅里叶变换基、离散小波变换基以及冗余字典等。通过稀疏表示后，稀疏信号s可以表示为:

1.2 测量矩阵

测量矩阵φM×N相当于M个传感器，它是一个M×N（M＜＜N）维的矩阵，它与信号稀疏表示的正交基须不相关，将测量矩阵与原信号x相乘，获得M×1维压缩信号:

如式（2）所示，yM×1是一个M×1维的向量，即为通过压缩感知获得的原信号的观测值。ΘM×N称为感知矩阵，其方程个数远小于未知数的个数，是一个欠定方程，从该方程重构原信号一般很难得到准确解答，但大量的实验表明，如果s是稀疏信号，且方程的个数M和感知矩阵满足一定条件时，可以通过重构算法得到稀疏解。

感知矩阵必须满足约束等距性质（Restricted Isometry Property，RIP）[10]，如式（3）所示，有K-稀疏信号s，对于任意v∈R和常数δk∈（0，1），感知矩阵ΘM×N满足:

Candès指出，准确重构一个K-稀疏的信号，所需要的测量次数M要满足:M=o（kln（n）），满足这些条件，可通过相关重构算法实现信号的高概率重构。常用的测量矩阵有高斯随机矩阵、贝努利矩阵、Toeplitz矩阵等。

1.3 信号重构算法

压缩感知的重构是由M个测量值恢复出原信号x，由于这是个欠定方程组，一般使用lo范数（即向量中非零元素的个数）最优化求解，如式（4）所示:

Donoho指出，上式的求解是个NP-hard非凸优化问题，需要组合优化才能找到最优解，当N很大时，这种解法几乎无法找到最优解[11]。在满足一定条件下，可以用l1范数代替lo范数找到方程的最优解，转化为一个凸优化问题，如式（5）所示:

l1范数求解实现的算法有内点法和梯度投影法。压缩感知信号重构算法较多，其中重构速度较快的正交匹配跟踪算法也受到广泛关注，它是贪婪算法的一种，其基本思想是通过迭代从过完备原子库中选择与信号最匹配的原子来构建稀疏逼近，并通过正交化达到最优迭代，能够较快地实现信号的重构。

2 试验结果与分析

应用matlab对压缩感知进行重构仿真，选择三类具有代表意义的信号作为仿真原信号，分别为时域稀疏的超宽带信号、频域稀疏的正弦波叠加信号和二维的图像信号。

2.1 超宽带信号

超宽带无线通信技术，具有抗干扰能力强、低功耗和低成本等优点，现已成为无线传感网、射频标识等领域研究的热点。以高斯调制的正弦波脉冲超宽带信号为例，信号在时域大部分时间都为零，也即具有时域稀疏特性，满足压缩感知理论的要求。对超宽带信号进行仿真重构，实验中信号频率为5GHz，仿真结果如图1所示。由图1可见（为便于观看，放大了信号时域图形），仿真重构效果较好，重构误差为2.2576×10-6。

图1 超宽带信号与重构

2.2 正弦波叠加信号

正弦波信号频谱单一，是通信和信号处理常用的基本信号，它在频域具有稀疏特性。以两个正弦波叠加信号为例，对其进行压缩感知重构。原信号时域、频域图形以及重构结果如图2和图3所示，从时域和频域图中可以看出，仿真重构效果较好，重构误差为2.9572×10-6。

图2 两频率正弦波叠加信号时域和频域图

图3 正弦波叠加信号与重构

2.3 二维图像信号

以上2个实验都是局限在一维信号，现实中还有很多高维信号，如二维图像和三维图像信号等。图像信号在小波域分解也具有稀疏特性，满足压缩感知理论分析的要求。以二维“House”图像为例，对其进行压缩感知重构实验。重构结果如图4所示，重构图像其峰值信噪比（Peak Signal to Noise Ratio，PSNR）值为33.648，重构图像清晰，边界分明，主观评价重构效果较好。

图4 二维图像与重构

3 结束语

压缩感知是一种新颖的信号采样处理理论，将信号的采样与压缩统一，实现信号的压缩采样。理论分析对可稀疏表示的信号均可通过测量矩阵对信号进行压缩采样，并通过优化算法实现信号的重构。对压缩感知组成部分:稀疏表示、测量矩阵和重构算法进行了介绍，并选取三类具有代表意义的超宽带信号、正弦波叠加信号和二维图像信号，进行仿真分析。通过重构实验可以看出，压缩感知能够有效地重构原信号，且重构误差理想。可进一步研究将压缩感知应用到超宽带通信、信号处理和图像处理中，降低采样的数据量，减小高速率和高维信号系统的负担，提高系统的工作效率。

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