后方交会精度估算分析研究

唐渝

摘 要：文章采取数据模拟方法分析了最小二乘原理用于后方交会点位精度估算的准确性，发现其存在不适用的情况，为了确保后方交会点位精度满足工程测量的需要，文章提出了一种后方交会点位误差极值估算方法，该方法适用范围广泛，具有一定参考价值。

关键词：后方交会；全站仪；精度估算；误差区域；

控制网测量数据处理一般都会采用最小二乘原理进行平差及精度估算，对于后方交会的精度估算一些论文亦采用此种方法，然而本文通过分析研究发现最小二乘原理在全站仪后方交会精度估算中并不完全适用，某些情况下估算精度不能反应实际点位精度。下面本文将简单介绍两种基于最小二乘原理的点位精度估算方法，通过对比分析阐明这2种方法是否适用于后方交会点位精度估算，并提出一种利用计算机编程设计的后方交会点位精度极值的估算方法。

1 最小二乘原理平差过程及精度估算

首先按间接平差原理列出误差方程：

v=Bx-L 1-1

其次确定权阵P，观测值中含有角度和距离两种不同性质的值，一般按下列方法定权：设全站仪测角精度为m0，测距固定误差为ma，比例误差为mb，取水平角的测角中误差为单位权中误差，则角度观测值的权为，测边观测值的权为：

2 两种后方交会精度估算方法对比分析

为了便于分析，本文将以2点边角后方交会及精度较低的全站仪为例，用数据模拟法对公式1-6、1-7两种精度估算数据与实际点位偏差进行对比分析。

如图1所示，A、B两点为已知控制点，坐标分别为（750.6026，2784.488）（680.375，2866.2249），P点为设站点，距离观测值分别为SPA、SPB，方向观测值分别为LPA、LPB。若P点理论坐标P0为（638.4239，2580.876），则理论距离观测值S0PA = 232.4691 m，S0PB= 288.4161 m，设A点方向值L0PA = 0°00′10″，则理论B点方向观测值L0PB = 20°29′29.5″。

现假设全站仪测角精度为5”，测距精度为5mm+5ppm，将理论观测数据加上观测误差得到9组模拟观测数据，见表1，表中观测数据相对误差是逐渐增大的，然后对数据进行平差处理，以平差后坐标P与理论坐标P0计算可得实际点位偏差Mp0，按公式1-6和1-7，分别计算得到估算点位精度Mp1、Mp2，估算点位精度与实际点位偏差对比见图2。

通过表1及图2可知，在观测数据相对误差不断增大时，实际点位偏差亦不断增大，方法1估算的精度值呈波浪式增涨，方法2估算精度值基本不变。方法1从第2组数据开始实际点位偏差大于估算精度值，最小差值3.9mm，最大差值21.8mm；方法2从第6组数据开始实际点位偏差大于估算精度值，最小差值2.2mm，最大差值9mm。由分析可知：通常的控制网点位精度估算方法（即方法1）并不适合后方交会点位精度评定；方法2在一般情况下可以作为后方交会点位精度评定方法，但当观测数据相对误差较大时，采用其估算数据亦需慎重。

3 后方交会点位误差极值求法

当求出平差后的待定点坐标后，如果我们知道待定点真实坐标，则可以通过两点间距离公式求出实际的点位误差。本论文求后方交会点误差极值的方法就是遍历平差坐标周围的点，假设其为真实坐标，然后联合已知点反算出观测数据（观测距离、观测角度），只要反算的观测数据与实际观测数据之差小于等于先验观测误差，则该坐标可能为真实待定点坐标，遍历寻找出可以作为真实坐标最远的点，该点与平差坐标之间的距离即为后方交会点位误差极值。

为了便于介绍，此处还是以2点边角后方交会为例。后方交会待定点真实坐标可能出现的位置见图3最右侧阴影区域，该区域为图3中角度交会误差区域与距离交会误差区域的交集，图中虚线交点为平差后待定点坐标。

通过C# 编程生成后方交会点位精度极值估算程序，程序算例见表1，表中“Mp3（mm）”列为通过该程序算出的交会点位误差极值，点位误差极值与其它方法点位精度估算值及真实偏差对比见图2，由图可知真实偏差均小于该程序计算出的交会误差极值，当观测数据相对误差较大时，实际偏差会非常接近交会误差极值。

4 结语

传统的后方交会点位精度估算方法（即本文中的方法2）仅适合存在多余观测量的后方交会，在观测数据相对误差较大时此方法亦不适用，而且对于纯角度交会无法检测出危险圆，导致估算精度错误。本文提出的后方交会误差极值求法可以作为传统后方交会点位精度估算方法的补充，该方法适用范围广泛，既适用于有多余观测量的后方交会，亦适合无多余观测量的后方交会，若角度后方交会中存在危险圆的情况，该方法估算精度值会提示超限，从而避免使用错误精度估算值。通过图3还可以发现，Mp1线形与Mp3线形近似上下对称，造成该现象的原因，有待进一步分析研究。

参考文献

[1] 武汉测绘科技大学测量平差教研室.测量平差基础[M].北京：测绘出版社，1996.

[2] 程效军，缪盾.全站仪自由设站法精度探讨[J].铁道勘查，2008（06）.

[3] 何燕佑，许多文.关于全站仪自由设站原理及精度的探究[J].科技情报开发与经济，2009（29）.

[4] 闻道秋.测边和测角相结合的两已知点后方交会[J].东北测绘，1998（02）.

[5] 杨守菊，徐常亮.全站仪自由设站的应用及精度分析[J].甘肃科技，2008（19）.

摘 要：文章采取数据模拟方法分析了最小二乘原理用于后方交会点位精度估算的准确性，发现其存在不适用的情况，为了确保后方交会点位精度满足工程测量的需要，文章提出了一种后方交会点位误差极值估算方法，该方法适用范围广泛，具有一定参考价值。

关键词：后方交会；全站仪；精度估算；误差区域；

控制网测量数据处理一般都会采用最小二乘原理进行平差及精度估算，对于后方交会的精度估算一些论文亦采用此种方法，然而本文通过分析研究发现最小二乘原理在全站仪后方交会精度估算中并不完全适用，某些情况下估算精度不能反应实际点位精度。下面本文将简单介绍两种基于最小二乘原理的点位精度估算方法，通过对比分析阐明这2种方法是否适用于后方交会点位精度估算，并提出一种利用计算机编程设计的后方交会点位精度极值的估算方法。

1 最小二乘原理平差过程及精度估算

首先按间接平差原理列出误差方程：

v=Bx-L 1-1

其次确定权阵P，观测值中含有角度和距离两种不同性质的值，一般按下列方法定权：设全站仪测角精度为m0，测距固定误差为ma，比例误差为mb，取水平角的测角中误差为单位权中误差，则角度观测值的权为，测边观测值的权为：

2 两种后方交会精度估算方法对比分析

为了便于分析，本文将以2点边角后方交会及精度较低的全站仪为例，用数据模拟法对公式1-6、1-7两种精度估算数据与实际点位偏差进行对比分析。

如图1所示，A、B两点为已知控制点，坐标分别为（750.6026，2784.488）（680.375，2866.2249），P点为设站点，距离观测值分别为SPA、SPB，方向观测值分别为LPA、LPB。若P点理论坐标P0为（638.4239，2580.876），则理论距离观测值S0PA = 232.4691 m，S0PB= 288.4161 m，设A点方向值L0PA = 0°00′10″，则理论B点方向观测值L0PB = 20°29′29.5″。

现假设全站仪测角精度为5”，测距精度为5mm+5ppm，将理论观测数据加上观测误差得到9组模拟观测数据，见表1，表中观测数据相对误差是逐渐增大的，然后对数据进行平差处理，以平差后坐标P与理论坐标P0计算可得实际点位偏差Mp0，按公式1-6和1-7，分别计算得到估算点位精度Mp1、Mp2，估算点位精度与实际点位偏差对比见图2。

通过表1及图2可知，在观测数据相对误差不断增大时，实际点位偏差亦不断增大，方法1估算的精度值呈波浪式增涨，方法2估算精度值基本不变。方法1从第2组数据开始实际点位偏差大于估算精度值，最小差值3.9mm，最大差值21.8mm；方法2从第6组数据开始实际点位偏差大于估算精度值，最小差值2.2mm，最大差值9mm。由分析可知：通常的控制网点位精度估算方法（即方法1）并不适合后方交会点位精度评定；方法2在一般情况下可以作为后方交会点位精度评定方法，但当观测数据相对误差较大时，采用其估算数据亦需慎重。

3 后方交会点位误差极值求法

当求出平差后的待定点坐标后，如果我们知道待定点真实坐标，则可以通过两点间距离公式求出实际的点位误差。本论文求后方交会点误差极值的方法就是遍历平差坐标周围的点，假设其为真实坐标，然后联合已知点反算出观测数据（观测距离、观测角度），只要反算的观测数据与实际观测数据之差小于等于先验观测误差，则该坐标可能为真实待定点坐标，遍历寻找出可以作为真实坐标最远的点，该点与平差坐标之间的距离即为后方交会点位误差极值。

为了便于介绍，此处还是以2点边角后方交会为例。后方交会待定点真实坐标可能出现的位置见图3最右侧阴影区域，该区域为图3中角度交会误差区域与距离交会误差区域的交集，图中虚线交点为平差后待定点坐标。

通过C# 编程生成后方交会点位精度极值估算程序，程序算例见表1，表中“Mp3（mm）”列为通过该程序算出的交会点位误差极值，点位误差极值与其它方法点位精度估算值及真实偏差对比见图2，由图可知真实偏差均小于该程序计算出的交会误差极值，当观测数据相对误差较大时，实际偏差会非常接近交会误差极值。

4 结语

传统的后方交会点位精度估算方法（即本文中的方法2）仅适合存在多余观测量的后方交会，在观测数据相对误差较大时此方法亦不适用，而且对于纯角度交会无法检测出危险圆，导致估算精度错误。本文提出的后方交会误差极值求法可以作为传统后方交会点位精度估算方法的补充，该方法适用范围广泛，既适用于有多余观测量的后方交会，亦适合无多余观测量的后方交会，若角度后方交会中存在危险圆的情况，该方法估算精度值会提示超限，从而避免使用错误精度估算值。通过图3还可以发现，Mp1线形与Mp3线形近似上下对称，造成该现象的原因，有待进一步分析研究。

参考文献

[1] 武汉测绘科技大学测量平差教研室.测量平差基础[M].北京：测绘出版社，1996.

[2] 程效军，缪盾.全站仪自由设站法精度探讨[J].铁道勘查，2008（06）.

[3] 何燕佑，许多文.关于全站仪自由设站原理及精度的探究[J].科技情报开发与经济，2009（29）.

[4] 闻道秋.测边和测角相结合的两已知点后方交会[J].东北测绘，1998（02）.

[5] 杨守菊，徐常亮.全站仪自由设站的应用及精度分析[J].甘肃科技，2008（19）.

摘 要：文章采取数据模拟方法分析了最小二乘原理用于后方交会点位精度估算的准确性，发现其存在不适用的情况，为了确保后方交会点位精度满足工程测量的需要，文章提出了一种后方交会点位误差极值估算方法，该方法适用范围广泛，具有一定参考价值。

关键词：后方交会；全站仪；精度估算；误差区域；

控制网测量数据处理一般都会采用最小二乘原理进行平差及精度估算，对于后方交会的精度估算一些论文亦采用此种方法，然而本文通过分析研究发现最小二乘原理在全站仪后方交会精度估算中并不完全适用，某些情况下估算精度不能反应实际点位精度。下面本文将简单介绍两种基于最小二乘原理的点位精度估算方法，通过对比分析阐明这2种方法是否适用于后方交会点位精度估算，并提出一种利用计算机编程设计的后方交会点位精度极值的估算方法。

1 最小二乘原理平差过程及精度估算

首先按间接平差原理列出误差方程：

v=Bx-L 1-1

其次确定权阵P，观测值中含有角度和距离两种不同性质的值，一般按下列方法定权：设全站仪测角精度为m0，测距固定误差为ma，比例误差为mb，取水平角的测角中误差为单位权中误差，则角度观测值的权为，测边观测值的权为：

2 两种后方交会精度估算方法对比分析

为了便于分析，本文将以2点边角后方交会及精度较低的全站仪为例，用数据模拟法对公式1-6、1-7两种精度估算数据与实际点位偏差进行对比分析。

如图1所示，A、B两点为已知控制点，坐标分别为（750.6026，2784.488）（680.375，2866.2249），P点为设站点，距离观测值分别为SPA、SPB，方向观测值分别为LPA、LPB。若P点理论坐标P0为（638.4239，2580.876），则理论距离观测值S0PA = 232.4691 m，S0PB= 288.4161 m，设A点方向值L0PA = 0°00′10″，则理论B点方向观测值L0PB = 20°29′29.5″。

现假设全站仪测角精度为5”，测距精度为5mm+5ppm，将理论观测数据加上观测误差得到9组模拟观测数据，见表1，表中观测数据相对误差是逐渐增大的，然后对数据进行平差处理，以平差后坐标P与理论坐标P0计算可得实际点位偏差Mp0，按公式1-6和1-7，分别计算得到估算点位精度Mp1、Mp2，估算点位精度与实际点位偏差对比见图2。

通过表1及图2可知，在观测数据相对误差不断增大时，实际点位偏差亦不断增大，方法1估算的精度值呈波浪式增涨，方法2估算精度值基本不变。方法1从第2组数据开始实际点位偏差大于估算精度值，最小差值3.9mm，最大差值21.8mm；方法2从第6组数据开始实际点位偏差大于估算精度值，最小差值2.2mm，最大差值9mm。由分析可知：通常的控制网点位精度估算方法（即方法1）并不适合后方交会点位精度评定；方法2在一般情况下可以作为后方交会点位精度评定方法，但当观测数据相对误差较大时，采用其估算数据亦需慎重。

3 后方交会点位误差极值求法

当求出平差后的待定点坐标后，如果我们知道待定点真实坐标，则可以通过两点间距离公式求出实际的点位误差。本论文求后方交会点误差极值的方法就是遍历平差坐标周围的点，假设其为真实坐标，然后联合已知点反算出观测数据（观测距离、观测角度），只要反算的观测数据与实际观测数据之差小于等于先验观测误差，则该坐标可能为真实待定点坐标，遍历寻找出可以作为真实坐标最远的点，该点与平差坐标之间的距离即为后方交会点位误差极值。

为了便于介绍，此处还是以2点边角后方交会为例。后方交会待定点真实坐标可能出现的位置见图3最右侧阴影区域，该区域为图3中角度交会误差区域与距离交会误差区域的交集，图中虚线交点为平差后待定点坐标。

通过C# 编程生成后方交会点位精度极值估算程序，程序算例见表1，表中“Mp3（mm）”列为通过该程序算出的交会点位误差极值，点位误差极值与其它方法点位精度估算值及真实偏差对比见图2，由图可知真实偏差均小于该程序计算出的交会误差极值，当观测数据相对误差较大时，实际偏差会非常接近交会误差极值。

4 结语

传统的后方交会点位精度估算方法（即本文中的方法2）仅适合存在多余观测量的后方交会，在观测数据相对误差较大时此方法亦不适用，而且对于纯角度交会无法检测出危险圆，导致估算精度错误。本文提出的后方交会误差极值求法可以作为传统后方交会点位精度估算方法的补充，该方法适用范围广泛，既适用于有多余观测量的后方交会，亦适合无多余观测量的后方交会，若角度后方交会中存在危险圆的情况，该方法估算精度值会提示超限，从而避免使用错误精度估算值。通过图3还可以发现，Mp1线形与Mp3线形近似上下对称，造成该现象的原因，有待进一步分析研究。

参考文献

[1] 武汉测绘科技大学测量平差教研室.测量平差基础[M].北京：测绘出版社，1996.

[2] 程效军，缪盾.全站仪自由设站法精度探讨[J].铁道勘查，2008（06）.

[3] 何燕佑，许多文.关于全站仪自由设站原理及精度的探究[J].科技情报开发与经济，2009（29）.

[4] 闻道秋.测边和测角相结合的两已知点后方交会[J].东北测绘，1998（02）.

[5] 杨守菊，徐常亮.全站仪自由设站的应用及精度分析[J].甘肃科技，2008（19）.