几个同余恒等式的群论证明

潘俊尧　袁俊丽

【摘要】 同余关系是研究数论问题的基本出发点，本文应用群论中的sylow定理及特殊群的素数幂阶子群的个数定理得到几个同余恒等式，为初等数论及组合数学同余问题的研究提供新的思路.

【关键词】 同余关系；群论；sylow定理；同余恒等式

【资助基金】 南通大学教改课题——研究性教学方法在非师范生高等代数课程中的应用，代码：13050992

一、引言

设有限群的阶为N，设N=n·pm，其中p是N的素因子，且n和p未必互素.由群论中的sylow定理可知同余关系：

CpmN≡n（pm）·n（modnp）. （1）

对任何群恒成立，其中CpaN表示在N=n·pn个互不相同元素中任取pm个互不同的元素的组合数，n（pm）表示G中pm阶子群的个数.本文主要讨论当G为循环群、初等交换p-群、二面体群等特殊群时，通过该同余关系可以得到怎样的同余恒等式.

二、主要定理

定理1

1.定理1证明

四、结论

群论的研究角度是利用该同余关系分析群的素数幂阶子群个数问题，本文则应用该同余关系结合群素数幂阶子群个数的性质来研究同余恒等式，为同余恒等式的研究提供一个全新的思路.

【参考文献】

徐明曜.有限群导引（上册）[M].北京：科学出版社，1999.