一道对数函数题的错解辨析

罗岚方

【摘要】本文从一对数函数题入手，分析对数函数解题存在的问题，和学生辨析对数函数在解题中的知识点，从而巩固学生对数函数的知识。

【关键词】对数函数 错解 辨析

【中图分类号】O1 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2014）10-0119-01

在对数函数中有这样一道习题：已知关于x的方程lg■=lg■唯一实数解，求a的取值范围。

一些学生是这样解答的：解法1 lg■=lg■？圯4x2+4ax=4x-a-1？圯4x2+4x（a-1）+（a-1）=0 ①；由已知关于x的方程有唯一实数解？圯①式中△=16（a-1）■-16（a-1）=16（a-1）（a-2）=0？圯a=1或a=2.

解法2 ∵①式中有解 ∴△=16（a-1）■-16（a-1）=16（a-1）（a-2）≥0？圯a≥2或a≤1⑨； ∵4x2+4ax>0②，且4x-a-1>0③ ， ∴由②得：当a>0时x>0或x<-a④，当a<0时x>-a或x<0⑤；由③得：x>■⑥（由數轴表示为：当a>0时④为 ，当a<0时⑤为 ）；又∵由已知关于x的方程有唯一实数解，∴⑥与④或⑥与⑤有公共解，即■≥0⑦或■≥-a⑧，∴由⑦和⑨得a≥2或由⑧和⑨得■≤a≤1.

以上两种解法错在何处呢？让学生们来讨论：

解法1中单纯的考虑了二次函数有唯一解，△=0，忽略了对数函数的真数要大于0。解法2中注意到了对数的真数大于0，但对已知条件“有唯一实数解”的理解不正确。

实际上，原方程的左边真数为二次函数y■=4x2+4ax，右边的真数为一次函数y2=4x-a+1，“方程有唯一实数解”要求两图像在x轴上方有且仅有一个交点，我们可以从两者图像特点，结合对数知识着手分析。

对于二次函数y■=4x2+4ax中，△=16a2≥0，但当△=0时a=0，y2=4x，y1、y2在原点处有唯一交点，这样导致对数真数为0，须舍去，所以y1的图像为开口向上，与x轴有两个交点x1=-a和 x2=0的抛物线；而y2的图像为与x轴的夹角是锐角、交点为x■=■的直线（如图1或图2）。

（图1） （图2）

由数形结合的思想，正确解答如下：

解答3 令y1=4x2+4ax=0得x1=-a，x2=0

令y2=4x-a+1=0得x■=■由图1得

-a≤■<0

∴■≤a<1

由图2得

0≤■<-a

无解

∴所求a的取值范围为：■≤a<1.

钟不敲不响，人不学不灵；灯不拨不亮，理不辩不明。在教学辅导中学生们经常会提出这样或那样的问题，对于这些问题教师应该注重启发，注意引导，鼓励学生注意观察、猜想和研究，善于对比辨析，判断是非，辨别对错，探索正确答案，这对于“填鸭”式的教学更能让学生对相关数学知识印象深刻，更锻炼学生的学习能力。

参考文献

[1]高峰.《状元之路》，北京教育出版社，2003出版。

[2]宋文革.《一道适用于探究性学习的好题》[J]，《数学通讯》，2004年第9期：P15.16。